Modelo de Romer: Microeconomia da Inovação, Notas de estudo de Crescimento

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Modelo de Romer - II

Mauro Rodrigues (USP)

Introdução

Nesta aula discutiremos a microeconomia por trás do modelo de Romer Firmas buscam realizar inovação, introduzindo novos produtos na economia I (^) Investem em pesquisa e desenvolvimento desses produtos Quando um novo produto é introduzido, patentes protegem o desenvolvedor I (^) Detentor da patente torna-se monopolista daquele novo produto Atividade de pesquisa é motivada pela busca por esses lucros extraordinários I (^) Taxa de inovação (e crescimento da economia) é função da lucratividade do setor de pesquisa

Estrutura do modelo

Figura: Estrutura do modelo

Modelo

Bem final é produzido usando trabalho e um conjunto de insumos diferenciados (bens intermediários):

Y = L^1 Y− α( x (^) 1 α + x (^) 2 α + ... + x (^) Aα ) = L^1 Y−α

A

i= 1

x (^) iα

I (^) L Y : trabalho alocado na produção do bem final I (^) x i : quantidade do bem intermediário i ∈ { 1 , 2 , ..., A } usado na produção do bem final Conjunto de bens diferenciados { 1 , 2 , ..., A } I (^) Introdução de novos bens corresponde a um aumento em A Note que x i está elevado à potência α ∈ ( 0 , 1 ) I (^) Bens intermediários não entram como substitutos perfeitos na função de produção I (^) Aumentar A contribui para elevar o produto

Bem Final

Agora considere um contínuo de bens intermediários: i ∈ [ 0 , A ]

Y = L^1 Y−α

∫ (^) A

0

x (^) iα di

I (^) Trocar soma por integral I (^) Interpretação continua a mesma Introduzindo índice t , representando o tempo

Y t = L^1 Yt−α

∫ (^) At

0

x (^) itα di

I (^) A t cresce ao longo do tempo I (^) t ∈ [ 0 , ∞) – tempo contínuo

Bem Final

Setor do bem final é caracterizado por concorrência perfeita I (^) Firmas tomam preços como dados F (^) p it : preço do bem intermediário i ∈ [ 0 , A t ] F (^) w t : salário F (^) Preço do produto final normalizado em 1 I (^) Decidem quanto produzir e contratar de insumos Problema da firma:

max LYt ,{xit }i∈[ 0 ,At ]

L^1 Yt−α

∫ (^) At

0

x (^) itα di − w t L Yt −

∫ (^) At

0

p it x it di

Condições de primeira ordem:

x it : α L^1 Yt− α x (^) itα −^1 − p it = 0

L Yt : ( 1 − α) L − Ytα

∫ (^) At

0

x (^) itα di − w t = 0

Bens intermediários

Produtor do bem i é monopolista I (^) Monopólio garantido por uma patente perpétua Mas, para começar a produzir o bem, precisa adquirir patente gerada no setor de pesquisa I (^) Paga uma única vez pela patente I (^) Pode utilizá-la infinitas vezes

Decisão em dois estágios: (^1) Comprar patente (^2) Caso adquira patente, quanto produzir e que preço cobrar

Bens intermediários

Segundo Estágio (caso possua patente) Produto gerado utilizando apenas de capital Função de produção linear:

x it = Bk it

I (^) k it : quantidade de capital utilizada pelo produtor do bem i I (^) Por simplicidade, suponha B = 1 Custo do produtor i = C i = rk i I (^) r : taxa de aluguel do capital/taxa de juros (por simplicidade exógena) I (^) Custo marginal = r Produtor do bem i escolhe preço e quantidade, de modo a maximizar lucro I (^) Como é monopolista, sua restrição é a curva de demanda de i – equação (2)

Bens intermediários

Como α ∈ ( 0 , 1 ), produtor cobra preço acima do custo marginal r (monopolista) Todos os produtores cobram o mesmo preço I (^) Mesmo custo marginal I (^) Mesma elasticidade da demanda (portanto, mesmo markup) Logo, produzem mesma quantidade: x it = x Têm mesmo lucro π = px − rx = ( p − r ) x

Como r = α p , então: π = ( 1 − α) px

Usando a demanda pelo bem intermediário p = α L^1 Y− α x α−^1 , segue que: π = ( 1 − α)[α L^1 Y− α x α−^1 ] x = ( 1 − α)α L^1 Y− α x α

Aquisição de patente

Primeiro Estágio Firma decide se adquire ou não patente em t I (^) Precisa despender P At uma única vez em t (preço da patente) A patente dá direito a um fluxo de lucros futuros, induzidos pelo poder de monopólio I (^) Patente perpétua, dando direito a esses lucros do período t em diante Em tempo discreto, o valor presente desses lucros seria:

V t = πt +

πt+ 1 1 + r

πt+ 2 ( 1 + r )^2

∞

s=t

πs ( 1 + r )s−t

Em tempo contínuo, esse valor é:

V t =

∫ (^) ∞

t

e −r^ (s−t)πs ds

Setor de pesquisa

Gera conhecimento novo utilizando trabalho (pesquisadores) I (^) Setor desenvolve ideias para novos bens I (^) Produto do setor = adição de novos bens ( A ˙t ) I (^) Esse processo gera patentes, que são vendidas aos potenciais empreendedores do setor de bens intermediários Pesquisadores podem utilizar todo o conhecimento corrente ( A t ) para gerar conhecimento novo I (^) Aumenta a produtividade da pesquisa corrente I (^) Externalidade

Função de produção de conhecimento novo

A^ ˙t = λ A t L At

I (^) L At : trabalhadores alocados ao setor de pesquisa

Setor de pesquisa

Firmas no setor atuam em concorrência perfeita: I (^) Tomam P At e w t como dados Lucro de uma empresa no setor de pesquisa

P At λ A t L At − w t L At

Firma escolhe L At. No ótimo:

w t = P At λ A t (4)

Observação: trabalho é móvel entre setores do bem final e pesquisa: I (^) Logo, salário praticado nos dois tem que ser o mesmo

Duas observações

Taxa de crescimento de longo prazo determinada pela quantidade de trabalho alocada no setor de pesquisa Da função de produção de pesquisa

A^ ˙t = λ A t L At

Supondo L At = L A constante no tempo, temos a taxa de crescimento dada por:

g =

A ˙t A t

= λ L A

Resta agora determinar a quantidade de trabalho em cada setor – bem final e pesquisa. Lembrando que:

L Y + L A = L

I (^) L : força de trabalho (constante)

Equilíbrio

Salário pago no setor de pesquisa (eq. (1)):

w t = ( 1 − α) L − Ytα

∫ (^) At

0

x (^) itα di = ( 1 − α) L − Y α A t x α

Salário pago no setor de pesquisa (eqs. (3) e (4)):

w t = P At λ A t =

( 1 − α)α L^1 Y− α x α r

λ A t

Igualando:

( 1 − α) L − Y α A t x α^ =

( 1 − α)α L^1 Y− α x α r

λ A t

L − Y α=

α L^1 Y−α r

λ

Portanto: L Y =

L^1 Y−α L − Yα

r αλ