MARCELO FRANCISCO NOGUEIRA
São Paulo
2006
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Seminário apresentado na disciplina Métodos Quantitativos do programa de
Mestrado em Ciências Contábeis do Centro Universitário Álvares Penteado.
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Introdução à Probabilidade e Estatística: Métodos e Aplicações, Notas de estudo de Contabilidade
Métodos quantitativos aplicados à Contabilidade. Londrina: UEL, 2003, p. 1. 3 STEVENSON, William J. Estatística aplicada à administração. 1ª ed.
Tipologia: Notas de estudo
2022
Compartilhado em 07/11/2022
usuário desconhecido 🇧🇷
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MARCELO FRANCISCO NOGUEIRA
São Paulo 2006
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Seminário apresentado na disciplina Métodos Quantitativos do programa de
Mestrado em Ciências Contábeis do Centro Universitário Álvares Penteado.
SUMÁRIO
- LISTA DE TABELAS................................................................................................
- 2 INTRODUÇÃO......................................................................................................
- 3 ESTATÍSTICA DESCRITIVA ................................................................................
- 3.1 POPULAÇÃO E AMOSTRA...........................................................................
- 3.1.1 Rol...............................................................................................................
- 3.2 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL..........................................................
- 3.2.1 Média Simples.............................................................................................
- 3.2.2 Média Ponderada ......................................................................................
- 3.2.3 Mediana ....................................................................................................
- 3.2.4 Moda .........................................................................................................
- 3.3 MEDIDAS DA DISPERSÃO .........................................................................
- 3.3.1 Amplitude Total .........................................................................................
- 3.3.2 Variância ...................................................................................................
- 3.3.3 Desvio Padrão...........................................................................................
- 3.3.4 Coeficiente de Variação ............................................................................
- 3.6 DIAGRAMA DE FREQUÊNCIA....................................................................
- 3.6.1 Intervalos de classe...................................................................................
- 3.6.2 Representação gráfica ..............................................................................
- 3.7 DADOS AGRUPADOS.................................................................................
- 3.7.1 Média ........................................................................................................
- 3.7.2 Mediana ....................................................................................................
- 3.7.3 Moda .........................................................................................................
- 3.7.4 Variância e desvio padrão.........................................................................
- 4 PROBABILIDADE ...............................................................................................
- 4.1 EVENTOS ALEATÓRIOS ............................................................................
- 4.2 CÁLCULO DE PROBALIDADES .................................................................
- 4.3 PROBABILIDADE DOS EVENTOS..............................................................
- 4.3.1 Teorema da soma - eventos mutuamente excludentes.............................
- 4.3.2 Teorema da soma - eventos não mutuamente excludentes......................
- 4.3.3 Teorema da multiplicação - eventos independentes .................................
- condicional) ........................................................................................................ 4.3.4 Teorema da multiplicação - eventos dependentes (probabilidade
- ........................................................................................................................... 4.3.5 Teorema de Bayes - (teorema da probabilidade das causas ou partições)
- 4.3.6 Síntese ......................................................................................................
- 4.4 AMOSTRAGEM ...........................................................................................
- 4.4.1 Amostragem sem reposição......................................................................
- 4.4.1 Amostragem com reposição......................................................................
- 5 ANÁLISE COMBINATÓRIA ................................................................................
- 5.1 Arranjos simples...........................................................................................
- 5.2 Combinações simples ..................................................................................
- 5.3 PERMUTAÇÃO SIMPLES ...........................................................................
- 6 CONCLUSÃO .....................................................................................................
- 7 BIBLIOGRAFIA...................................................................................................
- Tabela 1 – Dados Brutos ................................................................................................ LISTA DE TABELAS
- Tabela 2 – Rol.................................................................................................................
- Tabela 3 – Média Ponderada........................................................................................
- Tabela 5 – Amplitude Total ...........................................................................................
- Tabela 6 – Variância Série B ........................................................................................
- Tabela 7 – Variância Série C ........................................................................................
- Tabela 8 – Desvio Padrão ............................................................................................
- Tabela 9 – Coeficiente de Variação ..............................................................................
- Tabela 10 – Distribuição de freqüência.........................................................................
- Tabela 11 – Distribuição de freqüência AKI-SE-TRABALHA ........................................
- Tabela 12 – Dados agrupados ajustados .....................................................................
- Tabela 13 – Probalidades, alguns exemplos ................................................................
1 RESUMO
A Estatística é ferramenta gerencial utilizada há séculos, porquanto o homem sempre teve o desejo de mensurar, descrever fenônemos numéricos e procurar conceber o que ocorreria no futuro. A estatística descritiva, seja por meio da representação tabular ou da representação gráfica ajuda a entender melhor os dados colhidos em uma determinada pesquisa. Já, a estatística indutiva, surgiu com a curiosidade humana a respeito dos jogos, sobretudo os jogos de azar, quando alguém se perguntava: qual a chance de ganhar? Hoje, essas ferramentas constituem parte indissociável de qualquer processo decisorial, servindo, no aspecto descritivo, como elemento de melhora da qualidade das informações e, no aspecto indutivo, como meio de economia e otimização de tempo, porquanto permite inferir sobre uma população a partir de uma amostra.
A Estatística é ferramenta indispensável de uma Pesquisa Científica, sobretudo no que pertine à apresentação e análise dos dados coletados, de sorte a justificar as conclusões obtidas.
3 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Descrever a informação advinda dos dados colhidos em uma pesquisa é a finalidade da Estatística Descritiva. SPIEGEL^4 aduz que, em sentido mais restrito, o termo Estatística é usado para designar os próprios dados ou números deles derivados como, por exemplo, médias. O primeiro passo para que se possa caminhar em direção à informação é organizar os dados, em conformidade com a população e/ou com a amostra em estudo. MEDRI (p. 1) ensina que na pesquisa científica coleta-se as características de pessoas, animais, empresas, indústrias, sistemas de produção, fenômenos físicos ou químicos, com a finalidade de verificar as hipóteses lançadas sobre uma população. Essa coleta é feita com base em uma amostra, lembrando aqui o ensinamento de STEVENSON.
3.1 POPULAÇÃO E AMOSTRA
População ou universo, corresponde a todo o grupo passível de exame. SPIEGEL (p. 1) retrata que uma população pode ser finita ou infinita. Destaca como exemplo que a produção de parafusos em uma fábrica em determinado dia é uma população finita ao passo em que todos os resultados (cara ou coroa) em sucessivos lances de uma moeda constituem uma população infinita. Na conceituação de COSTA (p. 25), população é qualquer conjunto de informações que tenham, entre si, uma característica comum. Importa, assim, a variável estudada, seja ela qual for. Amostra, por seu turno, é uma parcela retirada da população para estudo, segundo uma técnica adequada, de sorte a caracterizar-se como representativa. COSTA (p. 26) chega a dizer que a amostra nada mais é que uma redução da população a dimensões menores, sem perda das características essenciais.
(^4) SPIEGEL, Murray. Estatística. 2ª ed. São Paulo: Mc Graw-Hill do Brasil, 1985, p. 1.
Tabela 2 – Rol
3.2 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
A média, assim como a mediana e a moda são medidas de tendência central, ou seja, são usadas para indicar um valor que tende a tipificar, ou a representar melhor, um conjunto de números, conforme ensina STEVENSON (p. 19). COSTA (p. 56), por seu turno, prefere conceituar as medidas de tendência central como estatísticas, cujos valores estão próximos do centro de um conjunto de dados. MEDRI (p. 22) prefere afirmar que as medidas de tendência central são aquelas que produzem um valor em torno do qual os dados observados se distribuem, e que visam sintetizar em um único número o conjunto de dados. Essa última definição, que remete ao aspecto da distribuição dos dados, parece ser a mais correta, porque as medidas de tendência, não necessariamente representam melhor o conjunto, ao final de uma análise e porque a noção de centro, não significa, necessariamente, proximidade.
3.2.1 Média Simples
Denomina-se como média simples ou média aritmética o resultado da divisão da soma de todos os n valores amostrados pelo número de elementos amostrados. Em termos numéricos, pode-se representar a média da seguinte forma:
média de uma mostra x =∑ nx
média de uma população μ=∑ Nx
Utilizando-se os dados colhidos na empresa AKI-SE-TRABALHA^6 , pode-se calcular a média da seguinte forma:
- Soma dos elementos = 98,
- Número de elementos do rol = 43
- Média = 2, x =^9843 ,^70 = 2 , 30
STEVENSON (p. 20), discorrendo sobre a média apresenta suas propriedades, quais sejam:
- A média de um conjunto de números pode ser sempre calculada.
- Para um dado conjunto de números, a média é única.
- A média é sensível a (ou afetada por) todos os valores do conjunto. Assim, se um valor se modifica, a média também se modifica.
- Somando-se uma constante a cada valor do conjunto, a média ficará aumentada do valor dessa constante. Assim, somando-se 4,5 a cada valor de um conjunto, a média ficará aumentada de 4,5. Analogamente, subtraindo-se cada valor do conjunto uma constante, ou multiplicando-se ou dividindo-se por ela cada valor do conjunto, a média fica reduzida dessa constante, ou multiplicada ou dividida por ela.
- A soma dos desvios dos números dos números de um conjunto a contar da média é zero.
______________
(^6) Conforme a tabela 2 do item 3.
3.2.3 Mediana
A mediana é o ponto (ou elemento) eu divide o rol em duas partes iguais. Caso o número de elementos do rol seja ímpar, a mediana será o elemento central do rol. Na hipótese do número de elementos ser par, a mediana terá dois valores centrais e corresponderá à média entre esses dois valores. Suponhamos o seguinte rol, constituído de 10 elementos:
13,1 – 13,1 – 13,1 – 13,2 – 13,3 – 13,5 – 13,5 – 13,7 – 13,7 – 13,
Os elementos centrais são os números 13,3 e 13,5, donde a mediana corresponde à média entre esses dois valores, ou seja, 13,4. Em outra situação, o rol anterior é acrescido de um elemento, qual seja, o número 14,0, passando a ter 11 elementos e a compor-se da seguinte forma:
13,1 – 13,1 – 13,1 – 13,2 – 13,3 – 13,5 – 13,5 – 13,7 – 13,7 – 13,9 – 14,
Verifica-se que, nesse caso, a mediana é, exatamente, o elemento central, no caso, 13,5. São propriedades da mediana:
- Existe somente uma mediana para um conjunto de dados.
- A mediana não é afetada pelos valores extremos como a média aritmética, por isso, se diz que a mediana é uma medida robusta.
- Sempre que o rol estiver constituído em progressão aritmética (PA), a média será equivalente à mediana.
3.2.4 Moda
Nesse aspecto, MEDRI (p. 23) e STEVENSON (p. 23) concordam na conceituação, definindo, simplesmente, que a moda é o valor que ocorre com maior freqüência num conjunto. Conseqüência desse conceito é que se todos os elementos do conjunto forem diferentes entre si, não haverá moda.
A moda não é fruto de um cálculo, ela resulta de uma observação e, por essa razão, não se presta, diretamente, à análise matemática. Contudo, o valor da moda chama atenção sempre que estiver próximo ou coincidir com a média ou com a mediana, posto que reforçará a tendência central da apuração.
3.3 MEDIDAS DA DISPERSÃO
Apurado um valor médio para os elementos de um rol torna-se necessário examinar as medidas de dispersão dos demais elementos em relação à tendência central, como meio de definir a variabilidade que os dados apresentam entre si. COSTA (p. 78) prefere chamar essas medidas como Medidas de Variabilidade Somente não haverá dispersão quando todos os elementos do rol forem iguais, como ensina MEDRI (p. 25). As medidas de dispersão, assim, apresentam o grau de agregação dos dados. Tomemos um exemplo numérico proposto por MEDRI (p. 26) para destacar a importância da análise das medidas de dispersão ou de variabilidade.
Repetição Série A Série B Série C 1 45 41 25 2 45 42 30 3 45 43 35 4 45 44 40 5 45 45 45 6 45 46 50 7 45 47 55 8 45 48 60 9 45 49 65 Média 45 45 45 Mediana 45 45 45
Tabela 4 – Média Ponderada Pode-se observar que enquanto a série A não apresenta qualquer variabilidade entre os seus elementos, as séries B e C apresentam dispersão, sendo
Tomando como exemplo os dados da tabela 4, para as séries B e C, temos:
xi x (xi - x) (xi - x)^2 41 45 -4 16 42 45 -3 9 43 45 -2 4 44 45 -1 1 45 45 0 0 46 45 1 1 47 45 2 4 48 45 3 9 49 45 4 16 9 0 60 Variância = 7,
Tabela 6 – Variância Série B
xi x (xi - x) (xi - x)^2 25 45 -20 400 30 45 -15 225 35 45 -10 100 40 45 -5 25 45 45 0 0 50 45 5 25 55 45 10 100 60 45 15 225 65 45 20 400 9 0 1500 Variância = 187,
Tabela 7 – Variância Série C
3.3.3 Desvio Padrão
De modo sintético, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, ou seja:
s = s^2 ou 1
= ∑^ −
n s xi x
Para as séries A, B e C, indicadas na Tabela 4, teríamos os seguintes desvios padrões:
Ítem Série A Série B Série C Variância 0,0 7,5 187, Desvio Padrão 0,0 2,7 13,
Tabela 8 – Desvio Padrão
3.3.4 Coeficiente de Variação
Após calcular o desvio padrão a pergunta que segue é a seguinte: o desvio é grande ou pequeno. Essa questão é relevante quando se quer saber a precisão do método indicado em uma pesquisa. Contudo, em valores nominais a questão não pode ser respondida posto que depende da grandeza dos números envolvidos. Com efeito. Em uma base de observação com valores médios de 10.000 e moda e mediana nessa mesma faixa, um desvio de 10 é irrisório. Contudo, esse mesmo desvio para valores cuja observação média típica é 50 torna-se bastante elevado. Para responder a indagação primitiva é necessário utilizar o Coeficiente de Variação, que, conforme MEDRI (p. 27), é um número adimensional, isto é, um número puro e é usualmente expresso em porcentagem. Quanto menor o coeficiente de variação, mais homogêneo é o conjunto analisado. A fórmula de cálculo do Coeficiente de Variação é a seguinte: CV = xs. 100
3.6.1 Intervalos de classe
Quando se trabalha com um grande volume de dados brutos e se quer utilizar o sistema de diagramas de freqüência é necessário agrupar os dados coletados em intervalos. Esses intervalos são chamados de intervalos de classe e devem ser definidos com cuidado eis que, como recomenda MEDRI (p. 16) "poucos intervalos podem resultar em perda da informação. Por outro lado, muitos intervalos não resumem a informação". Assim, a questão crucial em relação aos intervalos de classe é definir a amplitude dos mesmos, para o que devem ser observados os seguintes passos^7 : 1) Encontrar o menor e o maior valor do conjunto de dados e calcular a amplitude entre eles por: At = nº do maior - nº do menor 2) Não existindo um critério rígido para estabelecer o número ideal de intervalos, sugere-se que não se utilize menos de 6 e não mais de 15 intervalos. A experiência tem demonstrado que se pode fixar o número de intervalos como: K = n ou K = 1 + 3,3.log n , para uma amostra de
tamanho n 3) Uma vez determinado o número de intervalos, o tamanho destes é dado por C = AtK No exemplo destacado na Tabela 1, atinente à empresa AKI-SE- TRABALHA há um conjunto de 43 dados. Os intervalos de classe poderiam ser obtidos da seguinte forma:
At = nº do maior - nº do menor ∴ At = 4,2 - 0,8 = 3, K = n ∴ K = 43 = 6,56 ≅ 7 C = AtK^ ∴ C = 37 ,^4 ≅ 5
______________
(^7) MEDRI, op. cit., p. 17.
Segundo esses intervalos a distribuição de freqüência dos dados colhidos na referida empresa ficaria desse modo:
Depósitos bancários (milhares R$)
Freqüência absoluta
Ponto médio Freqüência relativa %
Freqüência acumuada
0,8 I-- 1,3 4 1,05 9,30% 4
1,3 I-- 1,8 7 1,55 16,28% 11
1,8 I--2,3 11 2,05 25,58% 22
2,3 I-- 2,8 8 2,55 18,60% 30
2,8 I--3,3 8 3,05 18,60% 38
3,3 I-- 3,8 2 3,55 4,65% 40
3,8 I-- 4,3 3 4,05 6,98% 43
Total 43 100,00%
Tabela 11 – Distribuição de freqüência AKI-SE-TRABALHA
3.6.2 Representação gráfica
O diagrama mencionado no item anterior também poderia ser demonstrado em formato gráfico, sendo que as duas formas mais freqüentes são o histograma e o polígono de freqüência. Temos: a) Histograma