Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Os melhores documentos à venda: Trabalhos de alunos formados
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Comunidade
Peça ajuda à comunidade e tire suas dúvidas relacionadas ao estudo
Descubra as melhores universidades em seu país de acordo com os usuários da Docsity
Guias grátis
Baixe gratuitamente nossos guias de estudo, métodos para diminuir a ansiedade, dicas de TCC preparadas pelos professores da Docsity
A resolução de sistemas de equações lineares utilizando o método de eliminação de gauss. Através de exemplos, é explicado como manipular sistemas de equações lineares e representá-los matricialmente. Além disso, é apresentado o algoritmo do método de eliminação de gauss com substituição regressiva.
O que você vai aprender
Tipologia: Notas de estudo
1 / 42
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Marina Andretta
ICMC-USP
21 de mar¸co de 2012
Baseado no livro An´alise Num´erica, de R. L. Burden e J. D. Faires.
Estamos interessados em resolver o problema de encontrar uma solu¸c˜ao
para um sistema de equa¸c˜oes lineares da forma
E 1 : a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 nxn = b 1 ,
2 : a 21 x 1
En : an 1 x 1 + an 2 x 2 + ... + annxn = bn,
com a ij e b j constantes dadas.
Queremos determinar os valores de x 1 , x 2 , x 3 e x 4 que satisfa¸cam as
equa¸c˜oes
1 : x 1
2 : 2 x 1
E 3 : 3 x 1 − x 2 − x 3 + 2 x 4 = − 3 ,
4 : −x 1
Primeiramente, usamos a equa¸c˜ao E 1 para eliminar a inc´ognita x 1 das
equa¸c˜oes E 2 , E 3 e E 4.
Isso ´e feito executando os seguintes passos:
4
1
4
Fazemos isso executando os passos (E 3 − 4 E 2 ) → (E 3 ) e
4
2
4
O sistema resultante ´e
1 : x 1
E 2 : − x 2 − x 3 − 5 x 4 = − 7 ,
3 : 3 x 3
E 4 : − 13 x 4 = − 13.
Agora o sistema se tornou triangular e ele pode ser resolvido usando um
processo de substitui¸c˜ao regressiva.
Pela equa¸c˜ao E 4 , temos que x 4 = 1.
Substituindo o valor de x 4 na equa¸c˜ao E 3 , temos que
x 3 =
13 − 13 x 4
Para realizar as opera¸c˜oes descritas no exemplo anterior, n˜ao precisamos
escrever todas as equa¸c˜oes a cada passo, j´a que as vari´aveis n˜ao se
alteram. Os ´unicos valores que mudam de um passo a outro s˜ao os
coeficientes das vari´aveis e os valores no lado direito das equa¸c˜oes.
Por isso, para facilitar a nota¸c˜ao, escrevemos os sistemas usando matrizes.
Usando este formato, um sistema do tipo
a 11 x 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 nxn = b 2 ,
a n 1 x 1
fica escrito como Ax = b, onde
a 11 a 12
... a 1 n
a 21 a 22... a 2 n
a n 1 a n 2
... a nn
, x =
x 1
x 2
x n
, b =
b 1
b 2
b n
Note que o sistema do exemplo, usando a nota¸c˜ao de matriz aumentada,
fica
Usando as opera¸c˜oes para tornar o sistema triangular, temos as seguintes
matrizes aumentadas:
Primeiramente, forme a matriz aumentada
A = [A, b] =
a 11 a 12
... a 1 n a 1(n+1)
a 21 a 22... a 2 n a 2(n+1)
a n 1 a n 2
... a nn a n(n+1)
com a i(n+1) = b i , 1 ≤ i ≤ n.
Se a 11
= 0, as opera¸c˜oes correspondentes a (E j
aj 1
a 11
1
j ) s˜ao
executadas para cada j = 2, 3 , ..., n, para que os coeficientes de x 1 nas
linhas diferentes de 1 passem a ser nulos.
Embora os elementos das linhas 2, 3 , ..., n depois destas opera¸c˜oes sejam
possivelmente diferentes dos elementos correspondentes na matriz
original, eles ser˜ao denotados da mesma forma, apenas para facilitar a
nota¸c˜ao.
Executamos, ent˜ao, este mesmo procedimento para i = 2, 3 , ..., n − 1,
efetuando a opera¸c˜ao (Ej − (
aji
a ii
)Ei ) → (Ej ) para cada
j = i + 1, i + 2, ..., n, somente quando a ii
A matriz
A representa um sistema linear que tem o mesmo conjunto
solu¸c˜ao do sistema original (1).
Como o novo sistema ´e triangular,
a 11 x 1
a 22 x 2 + ... + a 2 nxn = b 2 ,
a nn x n = b n
podemos utilizar a substitui¸c˜ao regressiva para resolvˆe-lo.
Isolando x n na n-´esima equa¸c˜ao, temos
x n
a n(n+1)
ann
Isolando x n− 1 na (n − 1)-´esima equa¸c˜ao, temos
x n− 1
a (n−1)(n+1)
− a (n−1)n
x n
a (n−1)(n−1)
