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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Cláudio Messias da Silva
O principal objetivo de um curso básico de mecânica deveria se o de desenvolver no estudante de engenharia a habilidade de analisar um dado problema, de maneira simples e lógica, e aplicar na sua solução alguns princípios básicos e fundamentais, que tenham sido bem entendidos. Esta apostila é indicada para o curso de produção onde o estudo da mecânica dos materiais esta baseado no entendimento de alguns conceitos básicos e no uso de modelos simplificados. Este procedimento torna possível o desenvolvimento de todas as formulas necessárias, de uma maneira lógica e racional, e mostra claramente as condições em que podem ser aplicadas, com segurança, na análise e no projeto de estruturas reais de engenharia e em componentes mecânicos. Os diagramas de corpo livre são freqüentemente usados ao longo de todo o texto, para determinar forças externas e internas. O uso de figuras que mostram claramente as grandezas que aparecem nas equações e suas relações ajuda no entendimento da superposição de carregamentos e resultante, tensões e deformações.
INTRODUÇÃO
Diagrama de corpo livre: o conteúdo da estática esta baseado em um número surpreendentemente pequeno de conceitos fundamentais e envolve principalmente a aplicação dessas relações básicas a uma variedade de situações. Nessa aplicação, o método de análise é muito importante. Ao resolver um problema é essencial que as leis aplicáveis estejam cuidadosamente entendidas e que esses princípios sejam aplicados literalmente bem, começaremos com uma introdução aos vetores e aplicação dos mesmos, pois serão muito usados neste curso. Com a revisão de vetores realizada em sala de aula, resolvam os exercícios abaixo.
1.1 Determine o ângulo feito pelo vetor V = -10i + 24 j, com o eixo x positivo. 1.2 Uma força é especificada pelo vetor F = 80 i – 40 j + 60 k N. Calcule os ângulos feitos por F com os eixos x, y, z. 1.3 Qual o peso em Newtons de uma viga de 75 kg. 1.4 Determine o peso em Newtons de uma mulher cuja massa é 58,9 kg.
Sistemas de Forças
Estudaremos os efeitos de forças que atuam em estruturas e em equipamentos de engenharia. A experiência adquirida aqui ajudará você no estudo da mecânica e em outros tópicos como analise de tensões, projeto de estruturas e máquinas e escoamento de fluidos, estabelecendo
os fundamentos para o entendimento básico da estática e de todo conjunto da mecânica.
Força
Antes de lidar com um conjunto ou sistema de forças e necessário examinar as propriedades de uma única força com algum detalhe. Força é uma quantidade vetorial, porque seu efeito depende da direção e também do módulo da ação. Assim forças podem ser combinadas de acordo com a lei do paralelogramo da adição vetorial. A ação do cabo sob tração no suporte vide figura 1.
Figura 1
Esta força está representada pelo vetor força P , de módulo P. O efeito dessa ação no suporte depende de P , do ângulo θ e da localização do ponto de aplicação A. A variação de qualquer um desses três parâmetros alterará o efeito sobre o suporte, tal como a força em um dos parafusos que seguram o
suporte à base, ou a força interna e a deformação em qualquer ponto do material do suporte. Assim, a completa especificação da ação de uma força deve incluir seu modulo, direção e ponto de aplicação. Desse modo devemos tratá-la como um vetor fixo.
Princípio da Transmissibilidade
Quando se lida com a mecânica de um corpo rígido, ignoramos deformações no corpo e nos concentramos apenas nos efeitos externos resultantes das forças externas. Em tais casos, a experiência nos mostra que não é necessário restringir a ação de uma força aplicada a um determinado ponto. Por exemplo, a força P atuando na placa rígida na FIGURA 2.2 pode ser aplicada em A ou em B, ou em qualquer ponto em sua linha de ação, e os efeitos externos de P no suporte não se alterarão.
Ação e Reação – de acordo com a terceira lei de Newton, a ação de uma força é sempre acompanhada por uma reação igual e oposta. É essencial distinguir entre a ação e a reação em um par de forças.
Determinando os Componentes de uma Força
As dimensões nem sempre são dadas nas direções horizontais e verticais, os ângulos não precisam ser medidos no sentido anti-horário a partir do eixo x, e a origem das coordenadas não precisa estar na linha de ação de uma força. A figura 2 mostra alguns exemplos de decomposição de forças.
Figura 2
Considere duas forças F 1 e F 2 que estão concorrentes em um ponto O. Observando a figura
3 mostra a linha de ação de F 2 deslocada de O para a extremidade de F 1 , ao adicionar-se os vetores força F 1 e F 2 , podemos escrever.
R = F 1 + F 2 = (F1x i + F1y j ) + (F2x i + F2y j )
Onde pode-se concluir
Rx = F1x+F2x=ΣFx Ry = F1y+F2y=ΣFy
Figura 3
Exercícios
A força F tem um módulo de 500 N. expresse F como um vetor, em termos dos vetores unitários i e j. Identifique os componentes escalares de F em x e y.
A inclinação da força F de 5,2 kN é especificada como mostrado na figura. Expresse F como um vetor, em termos dos vetores unitários i e j.
A força F de 1800 N é aplicada na extremidade da viga em I. Expresse F
A força de 600 N aplicada ao suporte em A deve ser substituída por duas forças, Fa na direção a-a e Fb na direção b-b, que produzem juntas o mesmo efeito sobre o suporte que a força de 600 N. determine Fa e Fb.
Deseja-se remover o pino da madeira pela aplicação de uma força ao longo de seu eixo horizontal. Um obstáculo A evita um acesso direto, de modo que duas forças, uma de 1,6 kN e a outra P , são aplicadas por cabos, como mostrado. Calcule o módulo de P necessário para assegurar uma resultante T direcionada ao longo do pino. Determine também o módulo de T.
Em que ângulo deve uma força de 800 N ser aplicada, para que a resultante R das duas forças tenha um módulo de 2000 N?
O cabo AB evita que a barra AO gire no sentido horário em torno do pivô O. Se a tensão trativa no cabo vale 750 N, determine os componentes n e t dessa força, atuando no ponto A da barra.
Os cabos de sustentação AB e AC estão presos no topo da torre de transmissão. A força trativa no cabo AC vale 8 kN. Determine a força trativa T necessária no cabo AB , tal que o efeito líquido das duas forças trativas nos cabos seja uma força apontada para baixo no ponto A. Determine o módulo R destas força.
Momento
Além da tendência de mover um corpo na direção de sua aplicação, uma força pode também girar um corpo em relação a um eixo. O eixo pode ser qualquer linha, que não intercepte ou não seja paralela à linha de ação da força. Essa tendência à rotação é conhecida como momento M da força. O momento é também denominado como torque.
Momento em Torno de um Ponto
A figura 3 mostra um corpo bidimensional submetido a uma força F , atuando em seu plano.
Figura 4
O módulo do momento, ou a tendência da força de girar o corpo em torno do eixo O-O perpendicular ao plano do corpo, é proporcional tanto ao módulo da força quanto ao braço de alavanca d, que é a distância perpendicular do eixo à linha de ação da força. Assim sendo, o módulo do momento é definido como
M = Fd
O momento é um vetor M perpendicular ao plano do corpo. O sentido de M depende da direção na qual F tende a girar o corpo. A regra da mão direita, figura 3/c é usada para identificar esse sentido.
Teorema de Varignon
Um dos princípios mais úteis da mecânica é o teorema de Varignon, que diz que o momento de uma força em relação a qualquer ponto é igual à soma dos momentos dos componentes dessa força em relação ao mesmo ponto.
O Produto Vetorial
Em alguns problemas bi e tridimensionais será necessário um enfoque vetorial PR o calculo de momentos. O momento de F em relação ao ponto pode ser calculado pela expressão de produto vetorial
M = r x F
Onde r é um vetor de posição que vai do ponto de referencia do momento, para qualquer ponto na linha de ação de F.
Exemplo Calcule o modulo do momento da força de 600 N em relação ao ponto O da base. Sala de aula.
Como se pode observar pela figura existe dois vetores um o vetor distância e o vetor força sendo assim pode-se calcular o M O usando o sistema de coordenadas juntamente com os procedimentos para avaliar produtos vetoriais.
MO = r x F = (2 i + 4 j ) x ((600 cos 40º) i – (600 sem 40º) j ) = -2610 N.m K.
Exercícios
- A placa retangular é formada por quadrados de 1 m, como mostrado. Uma força de 75 N é aplicada no ponto A na direção mostrada. Determine o momento dessa força em relação ao ponto B e em relação ao ponto C.
A força P de 30 N é aplicada perpendicular à parte BC da barra dobrada. Determine o momento de P em relação ao ponto B e em relação ao ponto A.
A força exercida pelo amortecedor AB sobre a porta vale 40 N e está direcionada ao longo da linha AB. Essa força tende a manter a porta fechada. Calcule o momento dessa força em relação à dobradiça O. Que força Fc normal ao plano da porta, deve ser exercida sobre a porta pelo batente em C de modo que o momento combinado das duas forças em relação a O seja zero?
Uma força de 200 N é aplicada na extremidade da chave de boca para apertar um parafuso que fixa a roda ao eixo. Para a posição mostrada da chave, determine o momento M produzido por essa força em relação ao centro O da roda.
Determine o ângulo θ que vai maximizar o momento M o da força de 200 N em relação ao eixo em O.
Determine o ângulo θ que vai maximizar o momento M o da força de 200 N em relação ao eixo em O. Calcule também Mo.
Um vento soprando na direção normal ao plano da placa retangular exerce uma pressão uniforme de 175 N/m^2 na direção mostrada na figura. Determine o momento da força resultante em relação ao ponto O. Dê seu resultado como um vetor, usando as coordenadas mostradas.
A força de 120 N é aplicada a uma extremidade da chave curva, como mostrado. Se α = 30º, calcule o momento de F em relação ao centro O do parafuso. Determine o valor de α que maximizaria o momento em relação a O.
A presilha no topo de um mastro suporta as duas forças mostradas. Determine o módulo de T que não causará momento no ponto O (momento nulo).
- Substitua a força de 4 kN atuando no ponto A por um sistema força - binário em O.
3) O sistema força – binário indicado está
aplicado a um pequeno eixo no centro de uma placa retangular. Substitua esse sistema por uma força única e especifique a coordenada do ponto no eixo y pelo qual passa a linha de ação dessa força resultante.
4) A vista de topo de uma porta giratória esta
mostrada. Duas pessoas se aproximam simultaneamente da porta e exercem forças de módulo igual, como mostrado. Se o momento resultante em relação ao eixo de rotação da porta em O vale 25 N.m, determine o módulo da força F.
5) Durante um teste no solo, tanto com o
rotor principal quanto com o rotor da cauda em operação uniforme, uma força aerodinâmica de 400 N é exercida sobre o rotor da cauda em P, como mostrado. Determine o sistema força – binário equivalente no ponto O.
6) Cada hélice de um navio de duas hélices
desenvolve um empuxo na velocidade máxima de 300 kN. Ao manobrar-se o navio, uma hélice está girando a toda velocidade para frente e a outra a toda velocidade no sentido reverso. Que empuxo P deve cada rebocador exercer no navio para contrabalançar o efeito de giro causado pelas hélices do navio?
7) No projeto do gancho de um guindaste, a
ação da força F aplicada na seção critica do gancho é uma força trativa direta e um binário em B. se o módulo do binário e 4000 N.m, determine o módulo de F.
8) O sistema consistindo na barra AO, duas
polias idênticas e uma fita fina, esta submetido a duas forças trativas de 180 N, como mostrado na figura. Determine o sistema força – binário equivalente no ponto O.
9) Uma chave de roda é usada para apertar
um parafuso de cabeça quadrada. Se forças de 250 N forem aplicadas à chave, como mostrado, determine o módulo F das forças iguais exercida nos quatro pontos de contato na cabeça de 25 mm do parafuso, de modo que seu efeito externo no parafuso seja equivalente ao das duas forças de 250 N. Considere que as forças são perpendiculares aos lados planos da cabeça do parafuso.
10) Uma força de 400 N, fazendo um ângulo θ
= 20º, é aplicada à barra esbelta soldada. Determine o sistema força – binário autuando na solda no ponto A, e no ponto O.
Substitua o binário e a força mostrada por uma única força F aplicada no ponto D. Localize D determinando a distância b.
Quando faz uma curva para a esquerda, um motorista exerce duas forças de 6 N em um volante, como mostrado. Determine o momento associado com essas forças.
