Análise Vetorial
Prof Daniel Silveira
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Análise Vetorial: Conceitos, Operações e Coordenadas, Notas de aula de Mecânica Aplicada
Documento que apresenta conceitos básicos da análise vetorial, incluindo vetores, álgebra vetorial e produtos escalar e vetorial. Além disso, são abordadas as coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas, e suas relações entre si. O documento também inclui exercícios para prática.
O que você vai aprender
- Quais são as coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas e como se relacionam entre si?
- Como se converte um vetor de coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas ou esféricas?
- Qual é a definição de um vetor na análise vetorial?
- Como se calcula o produto escalar entre dois vetores?
- Quais são as quatro operações básicas da álgebra vetorial?
Tipologia: Notas de aula
2020
1 / 32
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Análise Vetorial Prof Daniel Silveira
Introdução
Objetivo^
Revisão de conceitos de análise vetorial A análise vetorial facilita a descriçãomatemática das equações encontradas noeletromagnetismo
Vetores e Álgebra Vetorial
Adição de vetores r A
r B
B
A
r
r
B
A
r
r
r A
r B
Regra do paralelogramo
^
Adição é comutativa
A
B
B
A
r
r
r
r^
^
Adição é associativa
(^
)^
(^
)^
C B A C B A r
r
r
r
r
r^
=
Vetores e Álgebra Vetorial
Subtração de vetores
r A
r B
B
A
r
r
− Basta inverter o sentido do segundo vetor e somar
(^
)
B
A
B
A
r
r
r
r^
Sistemas de Coordenadas Cartesianas
Método mais simples para descrever um vetor Sistema tri-dimensional^
Três eixos formando ângulos retos entre si (x, y e z) ^
Um ponto é dado pelo valor constante de x, y e z(coordenadas escalares) ^
Um vetor é dado pela soma de suas componentes ao longodos 3 eixos coordenados
x
z
) (^3) , y (^2) , (^1) ( p
x
z
y
r r
r^ x
r y
r^ z
z y x
r^
r r r
r^
=
Vetores unitários
Vetores de módulo unitário na direção de cada eixo eno sentido crescente Para obter a componente do vetor em cada eixo,basta multiplicar
cada vetor unitário por um escalar x
z
y
z r a x r a
y r a
z
y
x^
az
ay
ax
z y
x
r^
r r r r r r
r^
Vetores e Álgebra Vetorial
Produto escalar^ r^ A
- O resultado do produto é um escalar
r B
- Projeção de um vetor na direção do outro emultiplicação dos módulos
θ
AB
B
A
B
A
θ
cos
r
r
r
r^
A
B
B
A
r
r
r
r^
- Multiplicação do módulo de A na direção de Bpelo módulo de B
Vetores e Álgebra Vetorial
Produto escalar utilizando coordenadas retangulares^ pois sabemos que Produtor escalar de um vetor por ele mesmo
z z
y y
x x^
a A a A a A A r
r
r
r^
z z
y y
x x^
a B a B a B B r
r
r
r^
z z
y y
x x^
B A B A B A B A
⋅^
r r
2
0 cos
A
A A
A A
r
r r
r r^
=
= ⋅
⋅^
z y
z x
y
x^
a a a a a a r r r r r r
⋅^
z z
y
y
x x^
a a a a a a r r
r
r
r r^
0 (^2) /
cos
90 cos
=
=
π
o
1 0 cos
=
Vetores e Álgebra Vetorial
Produto vetorial r A • O resultado do produto é um vetor perpendicular aoplano contendo os vetores A e B, cujo sentido seguea regra da mão direita
r B
- O módulo do vetor resultante é numericamente igualà área do paralelogramo definido pelos dois vetores
θ
AB
n^
B
A
a
B
A
θ
sen
r
r
r
r
r^
×
(^
A
B
B
A
r
r
r
r
×
×
z
y
x^
a
a
a
r
r
r^
×
Vetores e Álgebra Vetorial
Produto vetorial utilizando componentes cartesianas^ sabemos quetemos
z z
y y
x x^
a A a A a A A r
r
r
r^
z z
y y
x x^
a B a B a B B r
r
r
r^
+ × + × + × = ×
z x z x y x y x x x x
x^
a a B A a a B A a a B A B A r r r r r r r r
z
y
x^
a
a
a
r
r
r^
×
0 = × = × = ×
z
z
y
y
x
x^
a a a a a a r
r
r
r
r
r^
1 (^2) /
sen
90 sen
=
=
π
o
0 0 sen
=
+ × + × + × +
z y z y y y y y x y x
y^
a a B A a a B A a a B A r r r r r r
+ × + × + × +
z z z z y z y z x z x
z^
a a B A a a B A a a B A r r r r r r
z
x
y^
a
a
a
r
r
r^
×
(^
)^
(^
)^
(^
)^
z x y y x y z x x z x y z z
y^
a B A B A a B A B A a B A B A B A r
r
r
r
r^
− + − + − = ×
Sistemas de coordenadas Prof Daniel Silveira
Introdução
Objetivo^
Revisão de sistemas de coordenadascilíndricas e esféricas Os sistemas facilitam cálculos emproblemas que possuem geometriacilíndrica ou esférica
Coordenadas cilíndricas circulares
Vetores unitários^
Perpendicularesentre si ^
Não são eixos, sãofunções dascoordenadas ^
Regra do triedrodireito
z a a a
r r r^
φ ρ
z a
a
a
r
r
r^
×
φ
ρ
Coordenadas cilíndricas circulares
cos
x Relação entrecoordenadasretangulares e cilíndricas^ ou
sen
y
z
z^
2
2
y
x^
−
y x 1
tan
φ
z
z^