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Defini¸c˜oes e Nota¸c˜ao
- A transposta da matriz A, denotada por At, ´e a matriz cujas entradas s˜ao: (At)ij = Aji, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
- Vetores em IRm^ s˜ao identificados com matrizes coluna m × 1. Vetores s˜ao denotados por letras min´usculas, latinas ou gregas, em negrito, como por exemplo: ξ = (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 )t^ ou x = (x 1 , x 2 , x 3 )t. O i-´esimo vetor da base canˆonica de IRm^ ´e denotado por ei.
- O rotacional, o divergente, o gradiente e o laplaciano s˜ao denotados, respectivamente por: rot , div , ∇ e 4.
- O conjunto dos n´umeros reais ´e denotado por IR, o dos naturais por IN, ao passo que IR+^ denota (0, +∞) e Z+ denota IN ∪ { 0 }.
- O supremo de um subconjunto de IR, denotado por sup X, define-se como sendo o menor real que seja maior ou igual a todos os elementos de X. Analogamente, o ´ınfimo de um subconjunto de IR, denotado por inf X, define-se como sendo o maior real que seja menor ou igual a todos os elementos de X.
- Diz-se que um subconjunto de IRm^ ´e compacto se ele for fechado e limitado.
- O suporte de uma fun¸c˜ao f ´e o fecho do conjunto dos pontos onde ela ´e n˜ao nula.
- Cn(Ω) denota o conjunto das fun¸c˜oes definidas em Ω possuindo n de- rivadas cont´ınuas. Se n = 0, trata-se do conjunto das fun¸c˜oes cont´ı- nuas. C∞(Ω) denota o conjunto das fun¸c˜oes definidas em Ω infinit- amente diferenci´aveis.
- BC(Ω) denota o conjunto das fun¸c˜oes limitadas e cont´ınuas em Ω.
vii
- Cn 0 denota o conjunto das fun¸c˜oes em Cn^ e de suporte compacto. A- nalogamente, C 0 ∞ (Ω) denota o conjunto das fun¸c˜oes definidas em Ω infinitamente diferenci´aveis e de suporte compacto.
- O produto interno entre vetores de IRm^ ´e denotado por um ponto: “x · y”. Enquanto que o produto interno entre fun¸c˜oes ´e denotado por (f, g) ; e 〈l, f 〉 denota o valor do funcional linear l calculado na fun- ¸c˜ao f.
- Sendo (a, b) 3 s 7 → c(s) ∈ IR^3 uma parametriza¸c˜ao local de uma curva, o elemento de comprimento da curva ´e dl = |dc/ds| ds. E sendo (a 1 , b 1 ) × (a 2 , b 2 ) 3 (s 1 , s 2 ) 7 → a(s 1 , s 2 ) ∈ IR^3 , uma parametriza¸c˜ao local de uma superf´ıcie, o elemento de ´area da superf´ıcie ´e dS = |as 1 × as 2 | ds 1 ds 2.
viii
Cap´ıtulo 1
Euler e Navier-Stokes
1.1 Dedu¸c˜ao das Equa¸c˜oes
Consideremos uma por¸c˜ao de fluido (l´ıquido ou g´as) que, no instante t = 0, ocupa uma regi˜ao do espa¸co Ω 0 ⊆ IR^3. Uma maneira de descrever seu movimento ´e dar uma fun¸c˜ao fluxo φ(a, t) tal que, para cada a ∈ Ω 0 , a curva t 7 → φ(a, t) descreva a trajet´oria da part´ıcula que ocupa a posi¸c˜ao a no instante t = 0. Esta ´e a chamada descri¸c˜ao lagrangiana e os pontos de Ω 0 s˜ao chamados coordenadas materiais. Em vez de acompanharmos o movimento de cada part´ıcula, podemos dar a velocidade v(x, t) da part´ıcula que, no instante t, ocupa a posi¸c˜ao x. Esta ´e a chamada descri¸c˜ao euleriana e os pontos x s˜ao chamados coordenadas espaciais. A rela¸c˜ao v(φ(a, t), t) =
∂t φ(a, t) , a ∈ Ω 0 , (1.1)
segue-se imediatamente das defini¸c˜oes. Assim, conhecendo-se φ e sabendo-se inverter a fun¸c˜ao φt, definida por
φt(x) = φ(x, t) ,
obt´em-se v(x, t) pela f´ormula
v(x, t) =
∂t
[φ(φ− t 1 (x), t)].
Reciprocamente, se o campo de velocidades v(x, t) for conhecido, obt´em-se φ(a, t) resolvendo-se, para cada a ∈ Ω 0 , a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria com
1
2 CAP´ITULO 1. EULER E NAVIER-STOKES
condi¸c˜ao inicial: (^)
d dt c^ =^ v(c, t)
c(0) = a
(equa¸c˜ao da trajet´oria), e definindo φ(a, t) como sendo igual ao valor da solu¸c˜ao de (1.2) no instante de tempo t. Nosso objetivo nesta se¸c˜ao ´e deduzir, a partir da segunda lei de Newton e do princ´ıpio da conserva¸c˜ao da massa, equa¸c˜oes diferenciais envolvendo o campo de velocidades v(x, t). Vamos admitir que a fun¸c˜ao fluxo φ existe e possui todas as propriedades de diferenciabilidade e invertibilidade que forem necess´arias. Mais precisamente, se Ωt ´e a regi˜ao do espa¸co ocupada pelo fluido no instante t, admitimos que
φt : Ω 0 −→ Ωt x 7 −→ φ(x, t)
´e diferenci´avel e possui inversa diferenci´avel. Se, por exemplo, v for de classe C^1 , tal hip´otese ser´a satisfeita para t suficientemente pequeno (Veja, por exemplo, [55]). As vezes, ser´` a necess´ario que φt possua mais de uma derivada, mas isso n˜ao ser´a dito explicitamente.
Derivada Material e Teorema do Transporte
Dada uma fun¸c˜ao f (x, t), x ∈ Ωt, e uma trajet´oria 1 c(t), calculemos a derivada em rela¸c˜ao ao tempo da fun¸c˜ao composta
fc(t) = f (c(t), t) ,
usando a regra da cadeia. Chamamos o resultado f (^) c′(t) de derivada de f ao longo de c. Obtemos:
f (^) c′(t) = ∇f (c(t), t) ·
dc dt (t) +
∂f ∂t (c(t), t)
( v · ∇f +
∂f ∂t
) (c(t), t).
(Denotamos o produto interno por · e o gradiente por ∇.) Definamos a derivada material de f pela f´ormula: Df Dt
= v · ∇f + ∂f ∂t
(^1) Isto ´e, c satisfaz (1.2) para algum a.
4 CAP´ITULO 1. EULER E NAVIER-STOKES
de vari´aveis tem dom´ınio de integra¸c˜ao independente do tempo, podemos portanto trocar a ordem de deriva¸c˜ao e integra¸c˜ao. Obtemos:
d dt
∫
Ωt
f (x, t) dx =
∫
Ω 0
∂t [f (φ(y, t), t)]J(y, t) dy
∫
Ω 0
f (φ(y, t), t)
∂J
∂t (y, t) dy. (1.6)
Tratemos logo da primeira integral que aparece do lado direito da igual- dade acima. A derivada no integrando ´e a derivada de f calculada ao longo de uma trajet´oria. Aparece ent˜ao a derivada material que acabamos de definir. Obtemos assim que esta primeira integral ´e igual a: ∫
Ω 0
Df Dt
(φ(y, t), t)J(y, t) dy ,
a qual, atrav´es da mudan¸ca de vari´aveis x = φt(y), vemos ser igual a ∫
Ωt
Df Dt (x, t) dx.
Vamos agora cuidar da ´ultima integral em (1.6). Devemos calcular a derivada do jacobiano,
∂J
∂t
∂t
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣
∂φ 1 ∂y 1
∂φ 1 ∂y 2
∂φ 1 ∂y 3 ∂φ 2 ∂y 1
∂φ 2 ∂y 2
∂φ 2 ∂y 3 ∂φ 3 ∂y 1
∂φ 3 ∂y 2
∂φ 3 ∂y 3
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣
no ponto (y, t). Comutando derivadas, usando (1.1) e a regra da cadeia, obtemos:
∂ ∂t
∂φi ∂yj
(y, t) =
∂yj
[vi(φ(y, t), t)] =
∑^3
k=
∂vi ∂xk
(φ(y, t), t) ∂φk ∂yj
(y, t).
Aplicando as propriedades usuais dos determinantes e omitindo, por en- quanto, os pontos onde as derivadas s˜ao calculadas, vem:
∂J
∂t
∑^3
k=
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣
∂v 1 ∂xk
∂φk ∂y 1
∂v 1 ∂xk
∂φk ∂y 2
∂v 1 ∂xk
∂φk ∂y 3 ∂φ 2 ∂y 1
∂φ 2 ∂y 2
∂φ 2 ∂y 3 ∂φ 3 ∂y 1
∂φ 3 ∂y 2
∂φ 3 ∂y 3
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣
1.1. DEDUC¸ AO DAS EQUAC˜ ¸ OES˜ 5
∑^3
k=
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣
∂φ 1 ∂y 1
∂φ 1 ∂y 2
∂φ 1 ∂y 3 ∂v 2 ∂xk
∂φk ∂y 1
∂v 2 ∂xk
∂φk ∂y 2
∂v 2 ∂xk
∂φk ∂y 3 ∂φ 3 ∂y 1
∂φ 3 ∂y 2
∂φ 3 ∂y 3
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣
∑^3
k=
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣
∂φ 1 ∂y 1
∂φ 1 ∂y 2
∂φ 1 ∂y 3 ∂φ 2 ∂y 1
∂φ 2 ∂y 2
∂φ 2 ∂y 3 ∂v 3 ∂xk
∂φk ∂y 1
∂v 3 ∂xk
∂φk ∂y 2
∂v 3 ∂xk
∂φk ∂y 3
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣
O primeiro destes trˆes somat´orios de determinantes ´e igual ao produto (∂v 1 /∂x 1 )J, pois os termos correspondentes a k = 2 e k = 3 s˜ao iguais a (∂v 1 /∂xk) vezes um determinante com linhas repetidas. Afirma¸c˜ao an´aloga vale para os outros dois somat´orios. Obtemos, ent˜ao:
∂J ∂t = J div v ,
onde o jacobiano e sua derivada s˜ao calculados no ponto (y, t) e o divergente div v ´e calculado no ponto (φ(y, t), t). Da´ı, vem: ∫
Ω 0
f (φ(y, t), t)
∂J
∂t (y, t)dy =
∫
Ω 0
f (φ(y, t), t)[(div v)(φ(y, t), t)]J(y, t)dy ,
que ´e igual, via a substitui¸c˜ao x = φt(y), a ∫
Ωt
f (x, t) div v(x, t) dx ,
o que demonstra (1.4).
Conserva¸c˜ao da Massa, Fluidos Incompress´ıveis
Denotaremos por ρ(x, t), ou simplesmente ρ, a densidade de massa do flui- do. Por defini¸c˜ao, ρ ´e uma fun¸c˜ao tal que a massa da por¸c˜ao de fluido que ocupa uma regi˜ao Ω no instante t ´e dada por ∫
Ω
ρ(x, t) dx.
A hip´otese de que a massa se conserva se traduz na equa¸c˜ao ∫
Ω 0
ρ(x, 0) dx =
∫
Ωt
ρ(x, t) dx ,
v´alida para todo t ≥ 0, onde Ωt ´e a imagem de Ω 0 por φt, e Ω 0 ´e arbitr´ario. Assumindo como hip´otese que ρ tem derivadas cont´ınuas, e aplicando ent˜ao o Teorema do Transporte, temos:
0 =
d dt
∫
Ωt
ρ(x, t) dx =
∫
Ωt
( Dρ Dt
) (x, t) dx.
1.1. DEDUC¸ AO DAS EQUAC˜ ¸ OES˜ 7
Se um fluido tem densidade constante, independente do tempo e do espa¸co, a equa¸c˜ao em (1.7) implica que o fluido satisfaz (1.9) e, portanto, tamb´em a condi¸c˜ao de incompressibilidade (1.8). Chamaremos o fluido de incompress´ıvel se ρ for constante. Seria mais natural definir como incom- press´ıvel o fluido que satisfizesse (1.8) ou (1.9). N˜ao o fazemos por mera conveniˆencia: quase sempre, nestas notas, trataremos somente do caso de densidade constante. Note que temos apenas uma “quase-rec´ıproca”: se vale (1.9), ent˜ao (1.7) implica que ρ ´e constante ao longo das trajet´orias das part´ıculas. Da´ı, se ρ(x, 0) for independente de x, ρ(x, t) ser´a independente de x e de t.
Conserva¸c˜ao do Momento
O momento (linear) de uma por¸c˜ao de fluido que ocupe, no instante t, a regi˜ao Ωt ´e dado pela integral 4
∫
Ωt
ρ(x, t)v(x, t) dx.
Pela segunda lei de Newton, a derivada em rela¸c˜ao ao tempo desta quanti- dade ´e igual a for¸ca total atuando em Ωt. Esta ´e iguala soma das for¸cas externas que atuam no fluido (peso, for¸ca de Coriolis ou mesmo for¸cas ele- tromagn´eticas) e das for¸cas internas, exercidas sobre Ωt pelo restante do fluido. Suporemos conhecido o somat´orio das for¸cas externas por unidade de massa, que ser´a denotado por f (x, t). 5 Isto ´e, a for¸ca externa total atuando na por¸c˜ao de fluido que, no instante t, ocupa a regi˜ao Ωt ´e dada por (^) ∫
Ωt
ρ(x, t)f (x, t) dx.
No caso de apenas o peso ser consider´avel, f ´e constante e igual a acelera¸c˜ao da gravidade. Quantoas for¸cas internas, supomos serem elas for¸cas de contato ou tens˜oes. Desprezamos ent˜ao a¸c˜oes a distˆancia entre as part´ıculas do fluido e supomos existir um campo de tens˜oes τ (x, t, n) que dˆe a for¸ca de contato por unidade de ´area atuando numa superf´ıcie perpendicular a n no ponto x, no instante t. Mais precisamente, a for¸ca exercida pelo resto do fluido na
(^4) Uma vez que ρ d´a a massa por unidade de volume, ρv d´a o momento por unidade de volume, assim como ρ|v|^2 /2 d´a a densidade de energia cin´etica. (^5) A rigor, dever´ıamos escrever f (x, v, t), para incluir casos como o de for¸cas magn´eticas, por exemplo. Isto em nada alteraria a dedu¸c˜ao que se segue.
8 CAP´ITULO 1. EULER E NAVIER-STOKES
por¸c˜ao de fluido que, no instante t, ocupa a regi˜ao fechada Ωt, delimitada pela superf´ıcie ∂Ωt, ´e dada por
∫
∂Ωt
τ (x, t, n) dSx ,
onde n denota o vetor unit´ario normal a ∂Ωt, apontando para fora. O campo de tens˜oes n˜ao ´e independente das outras grandezas f´ısicas do problema. Na verdade, vamos obter uma equa¸c˜ao diferencial envolvendo τ , ρ, v e f. Um teorema de Cauchy (veja [28], par´agrafo 7) garante que, se o fluido satisfizer a segunda lei de Newton, ent˜ao τ tem de depender linearmente de n, ou seja, existe uma fun¸c˜ao matricial S(x, t) tal que
τ (x, t, n) = S(x, t)n.
(Em particular, τ (x, t, −n) = −τ (x, t, n), o que ´e consequˆencia da terceira lei de Newton.) A segunda lei de Newton ent˜ao fica expressa pela seguinte integral, de onde omitimos os argumentos (x, t) das fun¸c˜oes que aparecem nos integran- dos: d dt
∫
Ωt
ρv dx =
∫
Ωt
ρf dx +
∫
∂Ωt
Sn dSx.
Podemos calcular a derivada do lado esquerdo desta equa¸c˜ao aplicando o Teorema do Transporte a cada componente. Quanto `a integral de superf´ıcie, ela pode ser transformada numa integral de volume usando o Teorema da Divergˆencia. Obtemos, ent˜ao:
∫
Ωt
[ D Dt (ρv) + ρvdiv v − ρf − Div S
] dx = 0 , (1.10)
onde Div S denota o vetor que tem a i-´esima componente igual ao divergente do i-´esimo vetor-linha de S. Usando (1.7), ´e f´acil verificar a igualdade
D Dt
(ρv) + ρvdiv v = ρ Dv Dt
de onde, usando a equa¸c˜ao em (1.10) e o fato de seu integrando ser cont´ınuo e Ωt arbitr´ario, resulta a Equa¸c˜ao da Conserva¸c˜ao do Momento:
ρ
Dv Dt = ρ f + Div S. (1.11)
10 CAP´ITULO 1. EULER E NAVIER-STOKES
da velocidade de uma dada part´ıcula ´e igual a (^) DtD v, como vimos quando tratamos da derivada material. Uma outra maneira de completar as equa¸c˜oes em (1.12) e (1.7) ´e intro- duzir uma equa¸c˜ao de estado, ou seja, supor que existe uma fun¸c˜ao
r : (0, ∞) −→ IR
tal que p = r(ρ). Para um g´as ideal a temperatura constante, p ´e diretamente proporcional a ρ. Em modelos f´ısicos mais realistas, torna-se necess´ario introduzir novas vari´aveis tais como temperatura, entropia, energia interna (veja [28], par´agrafos 19 e 20).
Equa¸c˜oes de Navier-Stokes
Ao tentarmos obter formas para a matriz S que incluam for¸cas de viscosida- de, argumentos f´ısicos e matem´aticos 7 (veja [32], [25] e [28, par´agrafo 16]), permitem-nos concluir que, em primeira aproxima¸c˜ao, S deve ser dada por
S = −pI + μ′(div v)I + μ(G + Gt) , (1.13)
onde, μ e μ′^ s˜ao constantes, Gt^ denota a transposta de G, que denota a matriz ∇v :
G = ∇v =
∂v 1 ∂x 1
∂v 1 ∂x 2
∂v 1 ∂x 3 ∂v 2 ∂x 1
∂v 2 ∂x 2
∂v 2 ∂x 3 ∂v 3 ∂x 1
∂v 3 ∂x 2
∂v 3 ∂x 3
Para completar o sistema formado pelas equa¸c˜oes em (1.7), (1.11) e (1.13), temos duas sa´ıdas, tal como no caso n˜ao-viscoso. Ou procuramos uma equa¸c˜ao de estado p = r(ρ), ou supomos que o fluido ´e incompress´ıvel. Vimos que, neste caso, o divergente de v ´e nulo. Isto implica em duas simplifica¸c˜oes: O termo μ′div v desaparece e vale (verifique) a igualdade
Div (G + Gt) = 4 v. (^7) Aqui vai um esbo¸co desses argumentos. E’ fisicamente razo´avel supor que S + pI dependa apenas das derivadas espaciais de v, pois n˜ao h´a atrito em um fluxo com velo- cidade uniforme. Como em rota¸c˜oes r´ıgidas tamb´em n˜ao h´a movimento relativo entre as part´ıculas, S +pI n˜ao deve depender da parte anti-sim´etrica do gradiente de v, mas apenas de (G + Gt)/2 (veja a se¸c˜ao seguinte, especialmente a discuss˜ao ap´os (1.22)). Usando-se que esta dependˆencia deve ser invariante por transforma¸c˜oes ortogonais (rota¸c˜oes dos eixos coordenados) e desprezando-se termos de segunda ordem, chega-se a (1.13).
1.1. DEDUC¸ AO DAS EQUAC˜ ¸ OES˜ 11
A equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao do momento (1.11) se escreve ent˜ao como:
ρ
Dv Dt = ρf − ∇p + μ 4 v , (1.15)
conhecida como a equa¸c˜ao de Navier-Stokes. A constante μ ´e chamada o coeficiente de viscosidade 8 e seu inverso o n´umero de Reynolds. Um fluido viscoso e incompress´ıvel ´e descrito ent˜ao pelas equa¸c˜oes em (1.15) e (1.9) Estudando exemplos de solu¸c˜oes, consideraremos quase sempre f ≡ 0. Isto ´e equivalente a tomar f constante, no seguinte sentido. Um par (v,p) ´e solu¸c˜ao de (1.15) e (1.9) com f ≡ 0 se e somente se (v,p]) ´e solu¸c˜ao de (1.15) e (1.9) com f ≡ f 0 , onde
p](x, t) = p(x, t) + f 0 · x.
(Verifique esta afirma¸c˜ao.) Em particular, v ≡ 0 e p(x, t) = ρg · x, onde g ´e a acelera¸c˜ao da gravidade, ´e uma solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Navier-Stokes, para f constante e igual a g. Corresponde a um l´ıquido em repouso, na presen¸ca da gravidade. (Veja o Exerc´ıcio 15) Para futura referˆencia, escrevemos aqui as equa¸c˜oes de Euler e de Na- vier-Stokes, para a conserva¸c˜ao do momento, na ausˆencia de for¸cas externas.
ρ ∂v ∂t
- ρ(v · ∇)v = −∇p (Euler) (1.16)
ρ ∂v ∂t
- ρ(v · ∇)v = −∇p + μ 4 v (Navier-Stokes) (1.17)
Exerc´ıcio 2 a) Encontre a press˜ao p(x, t) que, juntamente com o campo de velocidades nulo v(x, t) ≡ 0 , resolve (1.12) e (1.15), para f = g + ω^2 r. Aqui, supomos que a acelera¸c˜ao da gravidade g ´e paralela ao eixo x 3 , ω ´e uma constante e r = (x 1 , x 2 , 0) ´e o vetor radial das coordenadas cil´ındricas. Mostre que as superf´ıcies de n´ıvel da press˜ao s˜ao parabol´oides de revolu¸c˜ao. b) Interprete fisicamente o resultado acima, e conclua que a superf´ıcie de separa¸c˜ao entre o ar e um l´ıquido girando num tubo cil´ındrico com velocidade angular constante, sem movimento relativo entre as part´ıculas do fluido nem entre o fluido e o recipiente, ´e um parabol´oide de revolu¸c˜ao. (Dicas: A press˜ao na superf´ıcie de separa¸c˜ao ´e constante, igual `a press˜ao atmosf´erica. O campo f dado no item (a) ´e a soma da acelera¸c˜ao da gravidade com a “acelera¸c˜ao centr´ıfuga”.)
(^8) Sobre o significado f´ısico da constante de viscosidade, consulte [20].
1.2. EXEMPLOS E COMENT ARIOS´ 13
Figura 1.1: Fundo de um rio
´e uma solu¸c˜ao de (1.15) e (1.9) no semi-espa¸co { x 2 ≥ 0 } com condi¸c˜ao de fronteira v(x 1 , 0 , x 3 ) = 0 e velocidade m´axima de escoamento em x 2 = 1, (digamos que a altura m´axima do rio seja igual a 1, e que a´ı ocorra a velocidade m´axima de escoamento). Este ´e um modelo simplificado para a cinem´atica do escoamento n˜ao-turbulento de ´agua em um rio largo, longe das margens, o fundo do rio coincidindo com o plano x 1 x 3. As trajet´orias das part´ıculas s˜ao retas paralelas ao eixo x 1. A for¸ca que impulsiona a ´agua, ´e a componente da for¸ca da gravidade na dire¸c˜ao tangente ao fundo do rio.
Exemplo 4 (Deforma¸c˜ao) Seja D uma matriz sim´etrica de tra¸co nulo e v(x) = Dx. E’ um c´alculo simples verificar que o divergente de v ´e nulo e que vale a igualdade (v · ∇)v = D^2 x.
Pode-se ver ent˜ao que (v(x), p(x) ), com
p(x) = −
ρ 2 xtD^2 x ,
´e solu¸c˜ao de (1.16) e (1.9). Como 4 v ≡ 0, tamb´em (1.17) ´e satisfeita. Vamos descrever as trajet´orias das part´ıculas supondo que a matriz ´e diagonal,
D =
λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3
.
14 CAP´ITULO 1. EULER E NAVIER-STOKES
Figura 1.2: Jato (Deforma¸c˜ao)
O caso geral pode ser transformado neste, atrav´es da mudan¸ca de vari´aveis x = U y, onde U ´e uma matriz ortogonal tal que U −^1 DU ´e diagonal. Tal U existe, pelo Teorema Espectral (veja [8], Teorema 9.3.1). As equa¸c˜oes das trajet´orias ficam ent˜ao desacopladas:
dxi dt
= λixi , i = 1, 2 , 3.
Para uma dada condi¸c˜ao inicial x(0) = a, a solu¸c˜ao ´e
x(t) = (a 1 eλ^1 t, a 2 eλ^2 t, a 3 eλ^3 t)t^.
Como o tra¸co de D ´e nulo, temos: λ 1 + λ 2 + λ 3 = 0. Para fixar id´eias, suponhamos que λ 1 ´e positivo e λ 2 e λ 3 s˜ao negativos. Vemos ent˜ao que as part´ıculas se aproximam rapidamente do eixo x 1 e se afastam rapidamente do plano x 2 x 3. Esta ´e uma aproxima¸c˜ao grosseira de um jato.
Exemplo 5 (Rota¸c˜ao) Dado ω ∈ IR^3 , consideremos o campo vetorial
v(x) = ω × x ,
onde × denota o produto vetorial. E’ f´acil verificar que v tem divergente nulo e que vale a igualdade:
(v · ∇)v = (x · ω)ω − |ω|^2 x.
Por inspe¸c˜ao vemos ent˜ao que se tomarmos para press˜ao
p(x) = ρ
[ −
(x · ω)^2 +
|ω|^2 |x|^2
]
16 CAP´ITULO 1. EULER E NAVIER-STOKES
Exerc´ıcio 6 a) Dada uma matriz 3 × 3 anti-sim´etrica A, mostre que existe um ´unico ξ ∈ IR^3 tal que Ax = ξ × x, para todo x ∈ IR^3. (Dica: ξ 1 = a 32 , ξ 2 = a 13 e ξ 3 = a 21 ) b) Se Ω ´e a parte anti-sim´etrica da matriz-gradiente de um campo de vetores v(x) em IR^3 , ent˜ao
Ωx =
(rot v) × x , x ∈ IR^3.
c) Mostre que, se Ω ´e uma matriz anti-sim´etrica e D uma matriz sim´e- trica de tra¸co nulo, ent˜ao temos:
(DΩ + ΩD)x = −(Dξ) × x , x ∈ IR^3 , (1.21)
onde ξ ´e o vetor tal que Ωx = ξ × x , x ∈ IR^3.
Consideremos agora o comportamento de um fluido qualquer, em regime estacion´ario, nas proximidades de um ponto fixo x 0. Podemos escrever (expans˜ao de Taylor):
v(x 0 + h) = v(x 0 ) + (∇v)h + r(h) ,
onde r(h) ´e da ordem de |h|^2. Tomando h muito pequeno, decompondo ∇v em suas partes sim´etrica e anti-sim´etrica, D e Ω, e usando o item b do exerc´ıcio acima, obtemos:
v(x 0 + h) ≈ v(x 0 ) + Dh +
ω × h , (1.22)
onde ω = rot v, e ω e D s˜ao calculados no ponto x 0. Tomando x 0 como origem e h no lugar de x para descrever as trajet´orias das part´ıculas, vemos que o campo v pode ser aproximadamente decomposto em trˆes parcelas: uma respons´avel pela transla¸c˜ao do fluido (as trajet´orias associadas a um campo uniforme de velocidades s˜ao retas), outra respons´a- vel pela deforma¸c˜ao do fluido, e a terceira pela rota¸c˜ao. A presen¸ca de um rotacional n˜ao nulo indica, portanto, a presen¸ca de rota¸c˜ao.
Exerc´ıcio 7 Denota-se por v ⊗ v a matriz ((vivj )) 1 ≤i,j≤ 3. Mostre que as equa¸c˜oes em (1.16) e (1.9) s˜ao equivalentes a
ρ
∂v ∂t
- ρDiv (v ⊗ v) = −∇p + μ 4 v (1.23)
div v = 0.
(O divergente de uma matriz foi definido ap´os (1.10).)
1.3. IDENTIDADES VETORIAIS, LEI DE BERNOULLI 17
Exerc´ıcio 8 Seja (v(x, t), p(x, t)) solu¸c˜ao de (1.16) e (1.9). Mostre que, dados reais positivos α e β, definindo
vα,β (x, t) = αv
( x β
α β
t
) ,
existe pα,β tal que (vα,β , pα,β ) tamb´em ´e solu¸c˜ao das mesmas equa¸c˜oes.
Exerc´ıcio 9 Mostre que um campo de velocidades independente da coor- denada x 3 (v 1 (x 1 , x 2 , t), v 2 (x 1 , x 2 , t), v 3 (x 1 , x 2 , t))t
´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Navier-Stokes (1.17) se e somente se (v 1 , v 2 ) ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Navier-Stokes bidimensional, isto ´e,
ρ
∂t
( v 1 v 2
)
( v 1
∂x 1
∂x 2
) ( v 1 v 2
) = −∇p + μ 4
( v 1 v 2
) ,
e v 3 ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao
ρ
∂v 3 ∂t
( v 1
∂x 1
∂x 2
) v 3 = μ 4 v 3.
(Observe que esta ´ultima equa¸c˜ao ´e linear, se v 1 e v 2 forem conhecidos. Neste caso, e se μ = 0, a equa¸c˜ao pode ser resolvida pelo m´etodo das carac- ter´ısticas, descrito no Apˆendice A.)
1.3 Identidades Vetoriais, Lei de Bernoulli
Extremamente ´util para a dedu¸c˜ao de identidades vetoriais ´e a introdu¸c˜ao do pseudo-tensor anti-sim´etrico de Levi-Civita (veja [1]):
ijk =
0 se i = j ou j = k ou k = i 1 se (i, j, k) ∈ {(1, 2 , 3), (2, 3 , 1), (3, 1 , 2)} − 1 se (i, j, k) ∈ {(2, 1 , 3), (3, 2 , 1), (1, 3 , 2)}
Se x e y s˜ao vetores de IR^3 , ´e f´acil verificar que a i-´esima componente do produto vetorial x × y ´e dada pela soma
(x × y)i =
∑^3
j=
∑^3
k=
ijk xj yk.
