Material sobre números índices - Departamento de Estatística UFF, Notas de estudo de Estatística Aplicada

Baixe Material sobre números índices - Departamento de Estatística UFF e outras Notas de estudo em PDF para Estatística Aplicada, somente na Docsity!

Universidade Federal Fluminense

Instituto de Matemática e Estatística

Números Índices

Ana Maria Lima de Farias

Departamento de Estatística

Agosto 2015

Sumário

SUMÁRIO iii

7 Solução dos exercícios propostos 59

Capítulo 1

Índices Simples

1.1 Introdução

De forma simplificada, podemos dizer que um índice ou número índice é um quociente que expressa a variação relativa entre os valores de qualquer medida. Mais especificamente, iremos lidar com índices que medem variações verificadas em uma dada variável ao longo do tempo.

Quando lidamos com grandezas simples (um único item ou variável), o índice é chamado índice simples ; por outro lado, quando pretendemos fazer comparações de um conjunto de produtos ou serviços, estamos lidando com o que é chamado índice sintético ou índice composto. é neste segundo caso que temos a parte mais complexa do problema, uma vez que desejamos “uma expressão quantitativa para um conjunto de mensurações individuais, para as quais não existe uma medida física comum”^1.

Nestas notas de aula, será dada ênfase aos índices econômicos, que envolvem variações de preços, quantidades e valores ao longo do tempo. Muitos comentários e observações serão feitos tomando-se o preço como exemplo, mas tais comentários e observações análogos também serão válidos para quantidades e valores.

1.2 Relativos

Os relativos , ou índices simples fazem comparação entre duas épocas – época atual e época base – para um único produto.

1. Relativo de preço Denotando por p 0 e pt os preços na época base e na época atual (de interesse), define-se o relativo de preço - p 0 ;t - como: p 0 ;t = pt p 0

(^1) Ragnar Frisch (1936). The problem of index numbers , Econometrica.

1.3. TAXA DE VARIAÇÃO 3

Podemos escrever, também

p % =

pt p 0 − 1 = p 0 ;t − 1 (1.7)

e isso nos dá a relação entre a taxa de variação e o relativo.

EXEMPLO 1.1 Preço de arroz

Na tabela a seguir temos o preço (em unidades monetárias, u.m.) e a quantidade (em kg) de arroz consumida por uma família no último trimestre de determinado ano:

Outubro Novembro Dezembro Preço Quant. Preço Quant. Preço Quant. Arroz (kg) 2 5 2 8 3 8 Valor 2 × 5 = 2 × 8 = 16 3 × 8 = 24

Tomando Outubro como base, temos os seguintes relativos:

p O,N =

= 1 ; 0 q O,N =

p O,D =

= 1 ; 5 q O,D =

Não houve variação de preços entre Novembro e Outubro, isto é, o preço de Novembro é igual ao preço de Outubro, mas o preço de Dezembro é uma vez e meia o preço de Outubro, o que corresponde a um aumento de 50% – essa é a taxa de variação dos preços no período em questão, obtida de acordo com a equação (1.7):

50% = (1 ; 5 − 1) × 100%

Com relação à quantidade, tanto em novembro como em dezembro, houve um aumento de 60% com relação a outubro.

Os relativos são, em geral, apresentados multiplicados por 100. Assim, as séries de relativos de preço e quantidade com base Outubro = 100 são:

Relativos - Out=100 Out Nov Dez Preço 100 100 150 Quantidade 100 160 160

Com relação ao valor, temos que

v O,N =

× 100 = 160 = 1 ; 0 × 1 ; 6 × 100 = p O,N × q O,N × 100

v O,D =

× 100 = 240 = 1 ; 5 × 1 ; 6 × 100 = p O,D × q O,D × 100

4 CAPÍTULO 1. ÍNDICES SIMPLES

Se mudarmos a base para Dezembro, teremos:

p D,O = p O p D

= 0 ; 6667 ⇒ p % = (0 ; 6667 − 1) × 100 = − 33 ; 33%

p D,N = pN p D

= 0 ; 6667 ⇒ p % = (0 ; 6667 − 1) × 100% = − 33 ; 33%

q D,O = q O q D

= 0 ; 625 ⇒ q % = (0 ; 625 − 1) × 100% = − 37 ; 5%

q D,N = q N q D

= 1 ⇒ q % = (1 − 1) × 100% = 0%



1.4 Critérios de avaliação da fórmula de um índice

Os relativos satsifazem uma série de propriedades, que são propriedades desejadas e buscadas quando da construção de fórmulas alternativas de números índices. Vamos representar por I 0 ;t um índice qualquer – pode ser um relativo de preço ou um índice de preços qualquer, por exemplo (nas seções seguintes veremos a definição de outros índices). As propriedades ideais básicas são:

1. Identidade It;t = 1 (1.8)

Se a data-base coincidir com a data atual, o índice é sempre 1 (ou 100, no caso de se trabalhar com base 100).

2. Reversão (ou inversão) no tempo

I 0 ;t =

It; 0 ⇔ I 0 ;t × It; 0 = 1 (1.9)

Invertendo-se os períodos de comparação, os índices são obtidos um como o inverso do outro.

3. Circular I 0 ; 1 × I 1 ; 2 × I 2 ; 3 × · · · × It− 1 ;t = I 0 ;t (1.10) Se o intervalo de análise é decomposto em vários subintervalos, o índice pode ser obtido como o produto dos índices nos subintervalos. A propriedade circular é importante no seguinte sentido: se um índice a satisfaz e se conhecemos os índices nas épocas intermediárias, o índice de todo o período pode ser calculado sem que haja necessidade de recorrer aos valores que deram origem aos cálculos individuais. Note que, como decorrência desta propriedade, podemos escrever: I 0 ;t = I 0 ;t− 1 × It− 1 ;t (1.11)

Se o índice satisfizer também o princípio de reversibilidade, então (1.10) é equivalente a I 0 ; 1 × I 1 ; 2 × I 2 ; 3 × · · · × It− 1 ;t × It; 0 = 1

6 CAPÍTULO 1. ÍNDICES SIMPLES

1.5 Elos de relativo e relativos em cadeia

Na apresentação da propriedade circular, aparecem índices envolvendo épocas adjacentes. No caso de relativos, tais relativos são, às vezes, denominados elos de relativos , ou seja, os elos relativos estabelecem comparações binárias entre épocas adjacentes

pt pt− 1

qt qt− 1

vt vt− 1

A mesma propriedade circular envolve a multiplicação desses índices; para os relativos, tal operação é denominada relativos em cadeia e como a propriedade circular é satisfeita pelos relativos, tal multiplicação resulta no relativo do período.

elos relativos : p 1 ; 2 p 2 ; 3 p 3 ; 4 : : : pt− 1 ;t

relativos em cadeia : p 1 ; 2 × p 2 ; 3 × p 3 ; 4 × · · · × pt− 1 ;t = p 1 ;t

EXEMPLO 1.

Na tabela a seguir temos dados de preço para 5 anos e calculam-se os elos de relativos e os relativos em cadeia, ano a ano.

Ano Preço Elos relativos pt /pt− 1 Relativos em cadeia 1 200 2 250 250 / 200 = 1 ; 25 1 ; 25 = p 1 ; 2 3 300 300 / 250 = 1 ; 20 1 ; 2 × 1 ; 25 = 1 ; 5 = p 1 ; 3 4 390 390 / 300 = 1 ; 30 1 ; 2 × 1 ; 25 × 1 ; 3 = 1 ; 95 = p 1 ; 4 5 468 468 / 390 = 1 ; 20 1 ; 2 × 1 ; 25 × 1 ; 3 × 1 ; 2 = 2 ; 34 = p 1 ; 5

o que está em concordância com:

Ano Relativo de preço Base: Ano 1= 1 100 2 100 × 250 / 200 = 125 ⇒ 25% 3 100 × 300 / 200 = 150 ⇒ 50% 4 100 × 390 / 200 = 195 ⇒ 95% 5 100 × 468 / 200 = 234 ⇒ 134%



1.6 Mudança de base

Considere a seguinte série de relativos de preço com base 100 em 2010:

Ano 2010 2011 2012 2013 2014 Relativo 100 110 115 116 118

1.6. MUDANÇA DE BASE 7

Isso significa que

p 11 p 10

p 12 p 10

p 13 p 10

p 14 p 10

Suponhamos, agora, que queiramos colocar essa série com base em 2014, para atualizar o sistema de comparação. Como proceder? Na verdade, o que queremos é

pt p 14 ; t = 10 ; 11 ; 12 ; 13

Como os relativos satisfazem as propriedades de reversão e circular, temos que:

p 10 p 14

p 14 p 10

p 10 ; 14

p 10 ; 10 p 10 ; 14

p 11 p 14

p 11 p 10

×

p 10 p 14 = p 10 ; 11 ×

p 14 ; 10

p 10 ; 11 p 10 ; 14

p 12 p 14

p 12 p 10

×

p 10 p 14 = p 10 ; 12 ×

p 14 ; 10

p 10 ; 12 p 10 ; 14

p 13 p 14

p 13 p 10

×

p 10 p 14 = p 10 ; 13 ×

p 14 ; 10

p 10 ; 13 p 10 ; 14

p 14 p 14

p 14 p 10

×

p 10 p 14 = p 10 ; 14 ×

p 14 ; 10

p 10 ; 14 p 10 ; 14

Logo, a série de relativos na nova base é obtida dividindo-se a série original pelo valor do relativo no ano da base desejada.

Na Tabela 1.1 ilustra-se o procedimento geral de mudança de base de uma série de relativos.

Capítulo 2

Índices agregativos simples

Consideremos agora a situação em que temos mais de um produto e estamos interessados em estudar variações de preços ou quantidade para todos os produtos conjuntamente.

Vamos utilizar a seguinte notação:

- pit ; qit ; vti - preço, quantidade e valor do produto i no mês t ; - pi 0 ;t ; qi 0 ;t ; v 0 i;t - relativos de preço, quantidade e valor do produto i no mês t com base em t = 0 :

Note que o sobrescrito i indica o produto; vamos assumir que temos n produtos.

2.1 Índice agregativo simples (Bradstreet)

Uma primeira tentativa para resolver o problema de agregação de produtos diferentes foi o índice agregativo simples, que é a razão entre o preço, quantidade ou valor total na época atual e o preço, quantidade ou valor total na época base. Mais precisamente,

PA 0 ;t =

p^1 t + p^2 t + · · · + pnt p^10 + p^20 + · · · + pn 0

∑^ n i =

pit

∑ n i =

pi 0

∑^ n i = pit

n^ n ∑ i = pi 0 n

pt p 0

QA 0 ;t = q^1 t + q^2 t + · · · + qnt q^10 + q^20 + · · · + qn 0

∑^ n i =

qit

∑ n i =

qi 0

∑^ n i =

qit

n^ n ∑ i = qi 0 n

qt q 0

10 CAPÍTULO 2. ÍNDICES AGREGATIVOS SIMPLES

V A 0 ;t = v t^1 + v t^2 + · · · + vtn v 01 + v 02 + · · · + v 0 n

∑^ n i =

vti

∑ n i =

v 0 i

∑^ n i =

vti

n^ n ∑ i = v 0 i n

vt v 0

Então, o índice de Bradstreet é um relativo das médias aritméticas simples.

O índice de Bradstreet tem sérias limitações, a principal sendo o fato de se estar somando preços ou quantidades expressos em diferentes unidades. Tal limitação faz com que o índice de preço ou quantidade de Bradstreet não seja útil na prática, sendo apresentado aqui por razões históridas e também pelo fato de o índice de valor não apresentar esse problema, uma vez que todos os valores estão expressos na mesma unidade monetária. Na verdade, esse é o índice usado para comparar valores em diferentes épocas, independente de como se calculam os índices de preço e quantidade, ou seja, o índice de valor é definido como

V 0 ;t =

Vt V 0

∑^ n i =

pit qit

∑ n i =

pi 0 qi 0

Uma solução para resolver a limitação do índice agregativo de Bradstreet foi a proposta de se trabalhar com médias dos relativos de preço e quantidade, que são números adimensionais.

2.2 Índice da média aritmética simples (índice de Sauerbeck)

Sauerbeck propôs que se trabalhasse com a média aritmética dos relativos, dando origem aos seguintes índices:

- p 0 ;t - índice de preço baseado na média aritmética simples dos relativos

p 0 ;t =

p^10 ;t + p^20 ;t + · · · + pn 0 ;t n

∑^ n i =

pi 0 ;t

n

- q 0 ;t - índice de quantidade baseado na média aritmética simples dos relativos

q 0 ;t =

q^10 ;t + q^20 ;t + · · · + qn 0 ;t n

∑^ n i =

qi 0 ;t

n

2.3 Índice da média harmônica simples

A mesma idéia se aplica, trabalhando com a média harmônica dos relativos.

12 CAPÍTULO 2. ÍNDICES AGREGATIVOS SIMPLES

e os índices de valor são

V 1 ; 2 =

× 100 = 125 ; 41

V 1 ; 3 =

× 100 = 163 ; 24

Como os relativos satisfazem a propriedade da identidade, no período base todos são iguais a 1 ou 100, se estivermos trabalhando com base 100. Para os demais períodos, os relativos com base 1 em t 1 = 1 são:

Relativos - t 1 = 1 Produto t 2 t 3 P Q P Q Carne (kg) 8 ; 5 / 8 ; 5 = 1 ; 0 12 / 10 = 1 ; 2 9 / 8 ; 5 = 1 ; 0588 15 / 10 = 1 ; 5 Feijão (kg) 1 ; 8 / 1 ; 2 = 1 ; 5 6 / 5 = 1 ; 2 1 ; 8 / 1 ; 2 = 1 ; 5 7 / 5 = 1 ; 4 Pão (unid,) 0 ; 12 / 0 ; 10 = 1 ; 2 220 / 200 = 1 ; 1 0 ; 14 / 0 ; 10 = 1 ; 4 240 / 200 = 1 ; 2

e os índices de preço, com base t 1 = 100, baseados nas três médias são:

p 1 ; 2 =

× 100 = 123 ; 33

p 1 ; 3 =

× 100 = 131 ; 96

pH 1 ; 2 =

1 1 ; 0 +^

1 1 ; 5 +^

1 1 ; 2

× 100 = 120 ; 00

pH 1 ; 3 =

1 1 ; 0588 +^

1 1 ; 5 +^

1 1 ; 4

× 100 = 129 ; 01

pG 1 ; 2 = 3

1 ; 0 × 1 ; 5 × 1 ; 2 × 100 = 121 ; 64

pG 1 ; 3 = 3

1 ; 0588 × 1 ; 5 × 1 ; 4 × 100 = 130 ; 52

Para quantidade, temos os seguintes índices:

q 1 ; 2 =

× 100 = 116 ; 67

q 1 ; 3 =

× 100 = 136 ; 67

qH 1 ; 2 =

1 1 ; 2 +^

1 1 ; 2 +^

1 1 ; 1

× 100 = 116 ; 47

qH 1 ; 3 =

1 1 ; 5 +^

1 1 ; 4 +^

1 1 ; 2

× 100 = 135 ; 48

2.5. PROPRIEDADES DOS ÍNDICES AGREGATIVOS SIMPLES 13

qG 1 ; 2 = 3

1 ; 2 × 1 ; 2 × 1 ; 1 × 100 = 116 ; 57

qG 1 ; 3 = 3

1 ; 5 × 1 ; 4 × 1 ; 2 × 100 = 136 ; 08

Já o índice agregativo de Bradstreet é:

PA 1 ; 2 =

× 100 = 106 ; 33

PA 1 ; 3 =

× 100 = 111 ; 63

QA 1 ; 2 =

× 100 = 110 ; 698

QA 1 ; 3 =

× 100 = 121 ; 86

Note que, no índice de quantidade, estamos somando valores expressos em kg e em unidades simples e no índice de preço, estamos somandos valores em R$/kg e R$/unidade. A partir de agora, não iremos mais trabalhar com os índices agregativos de Bradstreet.

Resumindo os outros índices: Preço Quantidade Valor t 1 t 2 t 3 t 1 t 2 t 3 t 1 t 2 t 3 Média aritmética 100 123 ; 33 131 ; 96 100 116 ; 67 136 ; 67 Média geométrica 100 121 ; 64 130 ; 52 100 116 ; 57 136 ; 08 Média harmônica 100 120 ; 00 129 ; 01 100 116 ; 47 135 ; 48

Podemos ver que p ≥ pG^ ≥ pH

uma consequência direta da relação entre as médias aritmética, geométrica e harmônica de números positivos. 

2.5 Propriedades dos índices agregativos simples

2.5.1 Identidade

A propriedade de identidade é obviamente satisfeita por todos os índices agregativos simples.

2.5.2 Reversibilidade

Vamos mostrar com os dados do Exemplo 2.1 que os índices das médias aritmética e harmônica simples não satisfazem a propriedade de reversibilidade. Para isso, vamos calcular

2.6. RELAÇÕES ENTRE ÍNDICES AGREGATIVOS SIMPLES 15

2.5.4 Decomposição das causas

Vamos analisar agora a propriedade da decomposição das causas para esses índices. Esta propriedade exige que o produto do índice de preço pelo índice de quantidade seja igual ao índice simples de valor V 0 ;t definido em (2.1)

Usando os dados do Exemplo 2.1, temos:

p 99 ; 00 × q 99 ; 00 = 1 : 2333 × 131 : 96 = 162 ; 75 6 = V 99 ; 00 = 125 ; 41

Logo, o índice de média aritmética simples não satisfaz o critério de decomposição das causas.

pH 99 ; 01 × qH 99 ; 01 = 129 : 01 × 135 : 48 = 174 ; 78 6 = V 99 ; 01 = 163 ; 24

Analogamente, concluímos que o índice de média harmônica simples também não satisfaz o critério de decomposição das causas.

pG 99 ; 00 × qG 99 ; 00 = 1 : 2927 × 116 : 57 = 150 ; 69 6 = V 99 ; 00 = 125 ; 41 pG 99 ; 01 × qG 99 ; 01 = 1 : 3976 × 136 : 08 = 190 ; 18 6 = V 99 ; 01 = 163 ; 24

Logo, o índice de média geométrica simples não satisfaz o critério de decomposição das causas.

2.5.5 Resumo das propriedades dos índices agregativos simples

A seguir temos o resumo das propriedades dos índices:

Índice agregativo Critério simples Identidade Reversibilidade Circularidade Decomposição das causas Média Aritmética Sim Não Não Não Média Harmônica Sim Não Não Não Média Geométrica Sim Sim Sim Não

2.6 Relações entre índices agregativos simples

Note que

p 0 ;t =

p^10 ;t + · · · + pn 0 ;t n

p^1 t p^10 +^ · · ·^ +^

pnt pn 0 n

pt; 0 =

p^1 t; 0 + · · · + pnt; 0 n

p^10 p^1 t^ +^ · · ·^ +^

pn 0 pnt n

Logo, 1 p 0 ;t

n p^1 t p^10 +^ · · ·^ +^

pnt pn 0

n 1 p^1 t; 0 +^ · · ·^ +^

1 pnt; 0

16 CAPÍTULO 2. ÍNDICES AGREGATIVOS SIMPLES

ou seja, 1 p 0 ;t

= pHt; 0 (2.8)

Analogamente, obtemos que 1 pt; 0 = pH 0 ;t (2.9)