SISTEMA FAESA DE EDUCAÇÃO
ASSOCIAÇÃO EDUCACIONAL DE VITÓRIA
MATERIAL DE ESTUDO
para acompanhamento na sala de aula
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Professora Lúcia Helena Sagrillo Pimassoni
Agosto, 2017.
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Guias e Dicas
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Encontrar documentos
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Pesquisar documentos Store
Os melhores documentos à venda: Trabalhos de alunos formados
Videoaulas
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Quiz
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Comunidade
Pergunte à comunidade
Peça ajuda à comunidade e tire suas dúvidas relacionadas ao estudo
Ranking universidades
Descubra as melhores universidades em seu país de acordo com os usuários da Docsity
Guias grátis
Os eBooks que salvam estudantes!
Baixe gratuitamente nossos guias de estudo, métodos para diminuir a ansiedade, dicas de TCC preparadas pelos professores da Docsity
Material de Estudo-Probabilidade-2017, Notas de estudo de Engenharia Elétrica
Material de estudo Probabilidade e estatistica
Tipologia: Notas de estudo
2017
1 / 74
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Documentos relacionados
Pré-visualização parcial do texto
Baixe Material de Estudo-Probabilidade-2017 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!
SISTEMA FAESA DE EDUCAÇÃO
ASSOCIAÇÃO EDUCACIONAL DE VITÓRIA
MATERIAL DE ESTUDO para acompanhamento na sala de aula
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Professora Lúcia Helena Sagrillo Pimassoni
Agosto, 2017.
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
UNIDADE I – INTRODUÇÃO
I.1 Definição:
O Que é Estatística? É um conjunto de métodos para planejar experimentos, obter dados, organizá-los, resumi-los, analisá-los, interpretá-los e deles extrair conclusões.
I.2 Divisão da Estatística A estatística pode ser dividida em três grupos para seu estudo: A estatística descritiva Compreende a organização, o resumo e, em geral, a simplificação de informações. A finalidade é tornar as informações mais fáceis de entender, de relatar e de discutir. A teoria da probabilidade É uma ferramenta útil para analisar situações que envolvem o acaso. Ex.: Jogos de azar, decisão quanto a investimentos em determinados fundos e outros. A estatística inferencial
- Diz respeito à análise e interpretação de dados amostrais.
- É um processo pelo qual podemos conhecer uma população a partir de uma amostra desta mesma população (“não preciso comer um bolo inteiro para saber se é bom”).
- A idéia básica é efetuar determinada mensuração sobre uma parcela pequena, mas típica, de determinada “população” e utilizar essa informação para fazer inferência sobre a população toda.
I.3 Uso da Estatística
A estatística no curso de Engenharia tem como objetivo principal:
Desenvolver a habilidade na resolução de problemas, o que inclui a capacidade de reconhecer qual técnica se aplica à determinada situação e utilizá-la eficazmente na resolução do problema.
I.4 Histórico da Estatística O histórico da estatística deve ser lido no seguinte endereço eletrônico: ftp://ftp.usjt.br/pub/revint/191_41.pdf
Definição do Problema e objetivo da pesquisa. Organização da pesquisa Coleta dos dados Análise estatística do problema Conclusões
Amostragem e Inferência Estatística
Através do plano de amostragem é possível coletar uma amostra representativa da população e realizar inferência estatística.
“Um plano de amostragem consiste em obter uma regra de ação que, aplicada a uma série de lotes, permite aceitar lotes de certa qualidade, com um risco calculado”. (definição dada em controle de qualidade)
Em geral, quanto MAIOR a precisão, MAIOR é o CUSTO envolvido (maior tamanho de amostra global e, portanto, maior número de incrementos; maior número de pontos de coleta; melhores técnicas de preparação e melhores tecnologias de análise).
A NBR ISO sugere diversas tabelas para determinação de número mínimo de incrementos (amostras) para diversas situações nas indústrias.
Segundo GÓES, M. A. C. de; LUZ, A. B. da; POSSA, M. V. Amostragem (Comunicação técnica elaborada para a 4ª edição do livro de Tratamento de Minérios). Rio de Janeiro: CETEM, 2004:
“Uma amostragem mal conduzida pode resultar em prejuízos vultosos ou em distorções de resultados com consequências técnicas imprevisíveis”.
“A amostragem é, sem dúvida, uma das operações mais complexas e passíveis de introduzir erros, principalmente nas indústrias da mineração e metalurgia”.
“Uma boa amostragem não é obtida tendo-se como base apenas o juízo de valor e a experiência prática do operador”.
EXEMPLO DE APLICAÇÃO NA INDÚSTRIA: amostragem de material em vagões, caminhões ou containers, material em polpa onde ocorra sedimentação e não seja possível a homogeneização, amostragem de minério oriundo de diferentes frentes de lavra etc.
II.3 Tipos de Amostragem
1. Amostragem Intencional (não probabilística) : Seleciona elementos ou amostras que consideramos serem típicas ou representativas da população. Amostras de água poluída e não poluída. 2. Amostragem Probabilística : Associa a cada elemento da população uma chance (probabilidade) de fazer parte da amostra. Os resultados podem ser estendidos para a população com um determinado grau de confiança.
Tipos de amostragem probabilística
2.1 Amostragem Aleatória Simples : Todo elemento tem a mesma chance de ser escolhido. Faz-se uma lista dos elementos da população e sorteiam- se os elementos que farão parte da amostra. Pode-se utilizar a tabela de números aleatórios.
2.2 Amostragem Sistemática : os elementos da população apresentam-se ordenados e são retirados periodicamente, ou seja, são selecionados elementos de ordem k da população. Geralmente são se relacionam com as características da população. Exemplo: Suponha que é necessário constituir uma amostra de 30 alunos de uma sala de 90. Poderiam ser escolhidos, sequencialmente, os alunos cujo número na lista de
PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS
- Identifique o tipo de amostragem (aleatória, estratificada, sistemática e conglomerados) utilizada em cada um dos casos seguintes: a) Um psicólogo da FAESA faz uma pesquisa sobre o nível de agressividade dos alunos. Para o estudo o psicólogo escolheu 1000 alunos através de um sorteio pelo nº da matrícula. b) A indústria de chocolate seleciona um a cada 1000° bombom de sua linha de produção e faz um teste em relação ao sabor. c) Para estudar a satisfação dos alunos da FAESA foi coletada uma amostra de 30 alunos por curso. d) Para estudar a percepção de certa população em relação a uma indústria, foram sorteados alguns bairros com características similares e depois foram selecionados os elementos aleatoriamente.
- Suponha que em uma escola se queira tomar uma amostra sistemática de alunos do ensino fundamental. A quantidade de alunos no ensino fundamental é de 5000 alunos. Considere um tamanho de amostra de 200. Explique como faria todo o levantamento da amostra.
- Suponha que do total das empresas no setor de mármore do ES, 1500 estão com certificação ambiental e 500 não. Para realizar um estudo sobre as empresas será necessária uma coleta de amostra. Considere uma amostra de 150 empresas. Como seria a distribuição da amostra se fosse realizada uma amostragem estratificada proporcional ao tamanho do estrato?
UNIDADE 3 – ESTATÍSTICA DESCRITIVA
A Estatística Descritiva permite-nos organizar, resumir, descrever e compreender um conjunto de dados.
3.1 Variáveis
As características que observadas (ou medidas) em cada elemento da população, sob as mesmas condições são Variáveis. As variáveis originam valores que tendem a exibir certo grau de variabilidade quando se fazem mensurações repetidas. Ex.: quantidade de café servida no copo por uma máquina, idade dos estudantes de
engenharia, estado civil, etc. Assim, Dados Estatísticos são observações da realidade que nos cerca. Podem ser fatos ou números.
“A técnica estatística depende da natureza do dado/variável”.
De acordo com sua natureza os dados podem ser classificados como: dados qualitativos ou quantitativos.
3.1.1 Dados qualitativos (ou categóricos): são aqueles nos quais as características de um elemento são fornecidas por um nome ou por um rótulo. Por exemplo, a cor da camisa de alunos pode ser branca, amarela, verde, vermelha, etc. O nome “branca” está caracterizando o elemento observado (neste caso, o aluno). Os dados qualitativos são classificados como:
a. Qualitativos Nominais: são dados que podem ser separados em categorias chamadas de não mensuráveis, por exemplo, estado civil, tipo de acomodação, marcas de carro, estado civil, tipo de transporte, e outros.
b. Qualitativos Ordinais: envolvem dados que podem ser dispostos em alguma ordem. O nível ordinal dá informações sobre comparações relativas, mas os graus de diferença não servem para cálculos. Os dados em nível ordinal não devem, pois, ser utilizados em cálculos. Ex.: Opinião em relação ao atendimento de navios por empresas de logística. Excelente bom fraco muito fraco
3.1.2 Dados quantitativos: são aqueles nos quais as características do elemento observado é uma quantidade. Por exemplo, s aldo em conta corrente de um determinado cliente, peso, estatura, resistência de certo material e material particulado em determinada hora. Os dados quantitativos são classificados como:
a. Quantitativos Discretos: assumem valores inteiros. Os dados discretos são resultantes da contagem de um número de itens. Resultam de um conjunto finito de valores. Ex.: nº de táxis que circulam na cidade de Vitória por dia, nº. de pessoas
Polígono de frequências Curvas de frequências e outros.
3.2.1 Tabela de Frequências É uma tabela na qual numa das colunas aparecem os valores observados da variável aleatória e nas demais colunas aparecem às frequências de ocorrência dos respectivos valores. Essas colunas contêm as seguintes frequências: Frequências observadas. Frequências acumuladas. Frequências relativas. Frequências relativas acumuladas.
Frequência observada (fi) é o número de vezes que cada valor se repete.
A Frequência relativa (fri) fornece a relação entre a frequência observada de um determinado valor e o número total de observações realizadas no experimento, ou seja, é a frequência observada divida pelo total de elementos.
Exemplo: Suponha que foi realizado um estudo com as “classes taxonômicas ” de algas planctônicas encontradas em 20 amostras de um corpo receptor da ETE de Jardim Camburi. O resultado foi o seguinte:
Bacillariophyceae Bacillariophyceae Cyanophyceae Euglenophyceae Cyanophyceae Euglenophyceae Bacillariophyceae Bacillariophyceae Bacillariophyceae Cyanophyceae Euglenophyceae Bacillariophyceae Cyanophyceae Bacillariophyceae Cyanophyceae Euglenophyceae Bacillariophyceae Bacillariophyceae Bacillariophyceae Bacillariophyceae
A Tabela de distribuição de frequências ficará assim:
Frequência acumulada (Fi) contabiliza as observações até o valor considerado. Pode ser calculada somente para variáveis numéricas.
11 55, 5 25, 4 20, 20 100,
Classes Bacil lariophyceae Cyanophyceae Eugl enophyceae Total
Frequênci a %
Exemplo: Nº de livros por aluno
Frequência relativa acumulada (Fri) fornece a relação entre a frequência acumulada e o nº. Total de observações realizadas.
3. 2.2 Gráfico de Barras/Colunas No eixo horizontal deve ser colocada a variável sob estudo. No eixo vertical a frequência (observada, acumulada ou relativa). É traçada, para cada valor (atributo) da variável, uma barra com comprimento proporcional à frequência. O eixo vertical e horizontal pode ser invertido, ou seja, a variável pode ser colocada no eixo vertical e a frequência no eixo horizontal (gráfico de barras).
Exemplo: Figura 1. Título da figura.
Classes
BacillariophyceaeCyanophyceae Euglenophyceae
Frequência
12
10
8
6
4
2
3.2.3 Gráfico de Setores Consta de um círculo dividido em setores, cada setor relacionado a um valor da variável a ser representada.
Nº de livros frequência observada (fi) frequência acumulada (Fi) 3 2 2 5 1 2+1 = 3 6 3 3 + 3 = 6 8 1 6 + 1 = 7 Total 7 -
Intervalo fechado: 1 |---| 8 = 1,2,3,4,5,6,7, Intervalo fechado à esquerda: 1|--- 8 = 1,2,3,4,5,6, Intervalo fechado à direita: 1 ---| 8 = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Uma tabela de frequência em classe possui os seguintes termos:
Classes: são os intervalos de variação da variável. Denotamos por k o nº de classes da distribuição. Limites de Classe: são os extremos de cada classe sendo li o limite inferior e Li o limite superior da classe i. Amplitude de um intervalo de Classe: é obtida pela diferença entre o limite superior e o limite inferior dessa classe.
Frequência simples ou absoluta (fi): é o nº de observações contidas em cada classe. Como montar uma tabela de frequência para dados contínuos?
1. Determinar o número de classes: , onde n é o nº de observações. Caso
k não seja inteiro arredondar para o inteiro mais próximo.
2. Determinar a amplitude ou largura de cada classe: Identifica-se o maior e o menor valor do conjunto de dados, assim a largura da classe pode ser determinada por:
Exemplo: Um gerente de uma loja mandou realizar um estudo a respeito do valor das compras feitas por seus clientes. Foi colhida uma amostra aleatória de 50 compras realizadas por seus clientes e o resultado foi o seguinte:
k n
N declasses
Amplitude daclasse Maior valordosdados Menor valordosdados º
^
315,10 129,00 174,80 202,30 218,20 224,50 236,10 249,20 269,00 284, 328,00 228,30 238,00 289,00 252,40 270,80 142,50 175,40 204,30 219, 152,40 186,80 149,30 180,40 208,40 219,90 161,80 195,40 211,50 220, 169,70 199,10 213,00 215,80 221,90 229,10 239,20 259,30 271,60 293, 232,80 242,50 262,80 274,50 296,10 235,40 246,70 265,10 281,00 302,
VALORES DAS COMPRAS (R$)
Amplitude=Li - li
1. Determinar o número de classes = k n 50 7 , 07 7
- Determinar a amplitude de cada classe
28 , 4 29 7
^328 ^129 Númerodeclasses
Amplitude daclasse Maiorvalor Menorvalor
OBS.: A amplitude da classe foi arredondada para cima, pois o número de classes já havia sido arredondado para baixo.
Para se formar as classes tomam-se o menor valor do conjunto de dados, 129, e soma a ele a amplitude, 29, obtendo assim o limite superior da classe 158, os outros limites são obtidos sempre se somando a amplitude, 29, até formar 7 classes. A frequência observada é obtida contando-se a quantidade de elementos no intervalo, ou seja, de 129 a 159 (não incluindo esse extremo) existem 4 valores, e assim sucessivamente. As outras frequências são obtidas da mesma forma que para dados não agrupados em classe. Classes Frequência observada 129 |-- 158 4 158 |-- 187 6 187 |-- 216 8 216 |-- 245 14 245 |-- 274 9 274 |-- 303 7 303 |-- 332 2 Total 50
3.2.5 Histogramas Cada classe é representada por um retângulo. A base do retângulo é o intervalo de classe. A altura do retângulo é proporcional à frequência da classe. A área do histograma é proporcional à soma das frequências, se usarmos a frequência relativa a área sob a curva vale 1.
A figura abaixo mostra um exemplo de histograma.
SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Classifique cada uma das variáveis abaixo e indique uma forma de representação gráfica: a) Tipos de defeitos em placas de aço. b) Resistência de certo tipo de cimento. c) Grau de satisfação da população em relação à reimplantação da Samarco no Município de Anchieta (muito satisfeito, satisfeito, pouco satisfeito, insatisfeito). d) Nº de amostras de água contaminadas em um lote coletado pela Cesan. e) Tempo para fazer um teste (min) f) Número de alunos aprovados por turma g) Nível de escolaridade h) Material particulado na atmosfera (μg/m^3 ) i) Gastos com alimentação (R$) j) Nº de acertos em uma prova objetiva k) Religião l) Valor de um imóvel (R$) m) Nº de peças defeituosas por lote n) Classificação em um concurso.
2) A força de remoção para um conector é medida em um teste de laboratório. Dados para 40 corpos de prova são mostrados a seguir.
150 185 195 205 212 225 241 249 165 190 195 205 213 235 245 250 168 190 198 205 218 236 245 260 170 194 199 210 220 237 245 270 180 194 200 210 220 238 248 280
Monte uma distribuição de frequências em classe. Desenhe o histograma e o polígono de frequências.
3) Considerando a distribuição de frequência da viscosidade para um produto químico observado de hora em hora (amostra de 250 horas). Calcule a frequência observada, frequência acumulada e a frequência relativa acumulada.
Viscosidade f (^) i (%) 40 |-- 44 20 44 |-- 48 10 48 |-- 52 37 52 |-- 56 18 56 |-- 60 15 Total 100
4) Elabore uma tabela de frequência baseada no gráfico abaixo:
5) Elabore uma tabela de frequência baseada no histograma e considerando uma amostra de estaturas (cm) de 20 alunos da turma:
de todos os valores contidos na classe. Assim na determinação das medidas de posição para dados agrupados em classe, cada classe será representada pelo seu ponto central, ou seja, xi será o ponto médio da classe.
Calcula-se a média aritmética para dados agrupados multiplicando cada ponto médio de classe pela respectiva frequência da classe somando-se os produtos e sendo, então, a soma dividida pelo número total de observações. Assim,
Sendo f i a frequência absoluta e xi o ponto médio da classe se os valores estiverem organizados em classe.
Exemplo: Considere que uma pesquisa sobre os valores das compras efetuadas em uma loja de vestuário Trinca localizada em um dos shoppings da cidade utilizou uma amostra de 480 compras, escolhidas aleatoriamente. Encontre o valor médio de compra para as duas situações abaixo:
2. A média ponderada
Ao calcularmos uma média, podemos cometer enganos, se ignorarmos o fato de que as grandezas em questão não têm a mesma importância em relação ao fenômeno que está sendo estudado, por exemplo, a situação em que o professor informe à classe que haverá dois exames valendo cada um 30% do total de pontos do curso, e um exame final valendo 40%. O cálculo da média deve considerar os pesos desiguais os exames.
A média ponderada é uma média na qual cada valor se encontra ponderado de acordo com sua importância no grupo total.
Valores (R$) Nº. de clientes 100 123 145 60 200 77 350 120 400 100 Total 480
n
i i
n i i i
f
X f
X
1
1
n
i
i
n
i
i i w
w
X w
X
1
1
Onde,
n i i^ i
Xw
1
é a soma dos produtos de cada x pelo seu peso correspondente
n i i
w
1
é a soma dos pesos.
EX.: notas de alunos
3. A média geométrica
Sejam X 1 , X 2 , X 3 , ..., Xn. A média geométrica de X é definida por:
Mg n^ x 1. x 2. x 3 .... xn
Exemplo: Calcular a média geométrica dos valores: 3, 6, 12, 24, 48
Mg ^5 3 6 12 24 48 ^5248832 12
Exame inicial Peso 1 =3 Trabalho 1 Peso 2 =1 Trabalho 2 Peso 3=
Prova final Peso 4 = ponderada^ Média