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Funções Definidas Por Mais de Uma Sentença: Funções Modulares e Inequações Modulares, Slides de Cálculo

Este documento aborda as funções definidas por mais de uma sentença, com ênfase em funções modulares e inequações modulares. Ele apresenta exemplos de funções, propriedades do módulo de um número, e gráficos para ilustrar as concepções. Além disso, ele fornece exercícios para prática.

O que você vai aprender

  • Quais são os exercícios para prática sobre funções modulares e inequações modulares?
  • Como determinar o domínio e conjunto imagem de uma função modular?
  • Quais são as propriedades do módulo de um número?
  • Como definir uma função modular?
  • Quais são as desigualdades básicas de inequações modulares?

Tipologia: Slides

2020

Compartilhado em 18/08/2020

alexander-luthor
alexander-luthor 🇧🇷

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FUNÇÕES DEFINIDAS POR MAIS DE UMA SENTANÇA
Exemplos de funções com mais de uma sentença
Função Modular
Gráficos
Equações Modulares
Inequações Modulares
Domínio
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
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FUNÇÕES DEFINIDAS POR MAIS DE UMA SENTANÇA

 Exemplos de funções com mais de uma sentença  Função Modular  Gráficos  Equações Modulares  Inequações Modulares  Domínio

Exemplos de funções de mais de uma sentença

 1) f(x) =ቊ

 Para x ≥ 1  x = 1 y =3 (bolinha fechada)  X = 2 y = 3  Para x < 1  x = 1 y = 2 (bolinha aberta)  x = 0 y = 2  Df = R , Imf = {2 ,3}

MÓDULO DE UM NÚMERO

 Módulo de x ∈ 𝑅, indicado por |x| é o número real não negativo tal que:  x| = ቊ

 Exemplo: |2| =2, |-2| = - (-2) = 2  Propriedades:  1) |x| ≥ 0 para todo x ∈ R  2) |x| 2 = x 2 para todo x ∈ R  3) Se a ∈ R+ |x| ≤ a → - a ≤ x ≤ a  4) Se a ∈ R+ |x| ≥ a → x ≤ - a ou x ≥ a

FUNÇÃO MODULAR

 É a função f de R em R dada por f(x) = |x|  f(x) = |x| = ቊ

 x =0, y =0 x = 1, y = 1  x = 0, y = 0 (bolinha aberta)  x = - 1, y = - (-1) =  Df = R Imf = [0, +∞[

GRÁFICOS

 Dadas as funções, elimine o módulo, esboce o gráfico, determine o seu domínio e o conjunto imagem.  f(x) = |x| + x  f(x) = ቊ

 f(x) = ቊ

 Para 𝑥 ≥ 0 , y = 2x  x = 0 y = 2.0 = 0 x = 1 y = 2.1 = 2  Para x < 0, y = 0 x = 0 , y = x =-1, y = 0  Df = R Imf = [0, + ∞[

Gráficos

 f(x) = | x^2 – 4x|  f(x) = ቊ

2 − 4𝑥 𝑠𝑒 𝑥 2 − 4𝑥 ≥ 0 − 𝑥 2 − 4𝑥 𝑠𝑒 𝑥 2 − 4𝑥 < 0

f(x) = ቊ

2 − 4𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 4 − 𝑥 2

  • 4𝑥 𝑠𝑒 0 < 𝑥 < 4  𝑥 2 − 4𝑥 = 0→ x = 0 ou x = 4  Df = R e Imf =[0, +∞[

Gráficos

 f(x) = |x+1| + |2x-1|  |x + 1 |= ቊ

→ |x+1| = ቊ

 |2x – 1| = ቊ

→ |2x-1| = ൞

1 2 −2𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 < 1 2  - 1 1/  (^) |x+1| - x- 1 - x+1 (^1) 1/2 x+ |2x-1| - 2x+1 - 2x+1 2x - 1 |x+1| + |2x – 1| - 3x - x+2 3x

Continuação

 f(x) =

1 2 −𝑥 + 2 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 < 1 2 −3𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < − 1  Para x ≥ 1 2 y = 3x  x = 1 2 y = 3 2 x = 1 y =3.1 = 3  Para − 1 ≤ 𝑥 < 1 2 y = - x + 2  x = - 1 y =-(-1) + 2 = 3  x = 1 2 y = - 1 2

3 2  Para x< - 1 y = - 3x  x = - 1 y = - 3(-1) = 3 x = - 2 y = - 3.(-2) = 6  Df = R e Imf = [ 3 2 , +∞[

Equações Modulares

 2) |x| = - 4 ∄ 𝑥 S={ }  3) |3x – 4| = 6  3x - 4 = ± 6 → 3x - 4 = - 6 ou 3x - 4 = 6 → 3x = - 2 → x = − 2 3 ou 3x = 10 → x = 10 3  S = { − 2 3 , 10 3 }  4) |x^2 – 2x - 5| = 3  x^2 - 2x - 5 = - 3x^2 - 2x – 2 = 0x = 𝟐± 𝟒+𝟖 𝟐 = 𝟐±𝟐 𝟑 𝟐 → x= 1 - 𝟑 ou x = 1 + 𝟑 ou x^2 - 2x - 5 = 3x^2 - 2x - 8 = 0x = 𝟐± 𝟒+𝟑𝟐 𝟐 = 𝟐±𝟔 𝟐 → x = - 2 ou x = 4  S= {1 - 3 , 1 + 3 , - 2,4}

Equações Modulares

 5) |10 - 2x| = 3x - 5  Observação: 3x – 5 ≥ 0 precisa ser não negativo  - (10-2x) =3x – 5 → - 10 +2x = 3x – 5 → - x = 5 → x = - 5  Ou 10-2x = 3x – 5 → - 5x = - 15 → x = 3  substituindo x = - 5 em 3x - 5 temos: 3.(-5)-5 = - 15 < 0 desconsiderar.  substituindo x = 3 em 3x – 5 temos: 3.3 - 5 = 4 > 0 considerar.  S = {3}

Equações Modulares

 7) 7) |2x – 5| = |3 – x|  2x – 5 = ±( 3 − 𝑥)  2x – 5 = - (3 – x) → 2x – 5 = - 3 + x → x = 2  ou 2x - 5 = 3 – x → 3x = 8 → x = 8 3

Inequações Modulares

Inequações Modulares  a ∈ 𝑅+ , |x| ≤ a → - a ≤ x ≤ a  |x| ≥ a → x ≤ - a ou x ≥ a  Exemplos:  1) |x| < 5  - 5 < x < 5 S = ]-5, 5[   2) |x| ≥ 8  x ≤ - 8 ou x ≥ 8 S = ]−∞ , - 8] U [8, +∞[

Inequações modulares

 5) |x^2 – x – 4 | ≤ 2  - 2 ≤ x 2

  • x – 4 ≤ 2 → x 2 - x – 4 ≥ - 2 e x 2 - x - 4 ≤ 2  1) x^2 – x – 2 ≥ 0 e 2) x^2 – x – 6 ≤ 0  x 2
  • x - 2 = 0 x 2
  • x – 6 = 0  x = 1 ± 1 + 8 2

1 ± 3 2 x = 1 ± 1 + 24 2

1 ± 5 2  x = - 1 ou x = 2 x = - 2 ou x = 3

Continuação

 S = [-2, - 1] U [2, 3]