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Este documento aborda as funções definidas por mais de uma sentença, com ênfase em funções modulares e inequações modulares. Ele apresenta exemplos de funções, propriedades do módulo de um número, e gráficos para ilustrar as concepções. Além disso, ele fornece exercícios para prática.
O que você vai aprender
Tipologia: Slides
1 / 32
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Exemplos de funções com mais de uma sentença Função Modular Gráficos Equações Modulares Inequações Modulares Domínio
1) f(x) =ቊ
Para x ≥ 1 x = 1 y =3 (bolinha fechada) X = 2 y = 3 Para x < 1 x = 1 y = 2 (bolinha aberta) x = 0 y = 2 Df = R , Imf = {2 ,3}
Módulo de x ∈ 𝑅, indicado por |x| é o número real não negativo tal que: x| = ቊ
Exemplo: |2| =2, |-2| = - (-2) = 2 Propriedades: 1) |x| ≥ 0 para todo x ∈ R 2) |x| 2 = x 2 para todo x ∈ R 3) Se a ∈ R+ |x| ≤ a → - a ≤ x ≤ a 4) Se a ∈ R+ |x| ≥ a → x ≤ - a ou x ≥ a
É a função f de R em R dada por f(x) = |x| f(x) = |x| = ቊ
x =0, y =0 x = 1, y = 1 x = 0, y = 0 (bolinha aberta) x = - 1, y = - (-1) = Df = R Imf = [0, +∞[
Dadas as funções, elimine o módulo, esboce o gráfico, determine o seu domínio e o conjunto imagem. f(x) = |x| + x f(x) = ቊ
f(x) = ቊ
Para 𝑥 ≥ 0 , y = 2x x = 0 y = 2.0 = 0 x = 1 y = 2.1 = 2 Para x < 0, y = 0 x = 0 , y = x =-1, y = 0 Df = R Imf = [0, + ∞[
f(x) = | x^2 – 4x| f(x) = ቊ
2 − 4𝑥 𝑠𝑒 𝑥 2 − 4𝑥 ≥ 0 − 𝑥 2 − 4𝑥 𝑠𝑒 𝑥 2 − 4𝑥 < 0
f(x) = ቊ
2 − 4𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 4 − 𝑥 2
f(x) = |x+1| + |2x-1| |x + 1 |= ቊ
→ |x+1| = ቊ
|2x – 1| = ቊ
→ |2x-1| = ൞
1 2 −2𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 < 1 2 - 1 1/ (^) |x+1| - x- 1 - x+1 (^1) 1/2 x+ |2x-1| - 2x+1 - 2x+1 2x - 1 |x+1| + |2x – 1| - 3x - x+2 3x
f(x) =
1 2 −𝑥 + 2 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 < 1 2 −3𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < − 1 Para x ≥ 1 2 y = 3x x = 1 2 y = 3 2 x = 1 y =3.1 = 3 Para − 1 ≤ 𝑥 < 1 2 y = - x + 2 x = - 1 y =-(-1) + 2 = 3 x = 1 2 y = - 1 2
3 2 Para x< - 1 y = - 3x x = - 1 y = - 3(-1) = 3 x = - 2 y = - 3.(-2) = 6 Df = R e Imf = [ 3 2 , +∞[
2) |x| = - 4 ∄ 𝑥 S={ } 3) |3x – 4| = 6 3x - 4 = ± 6 → 3x - 4 = - 6 ou 3x - 4 = 6 → 3x = - 2 → x = − 2 3 ou 3x = 10 → x = 10 3 S = { − 2 3 , 10 3 } 4) |x^2 – 2x - 5| = 3 x^2 - 2x - 5 = - 3 → x^2 - 2x – 2 = 0 → x = 𝟐± 𝟒+𝟖 𝟐 = 𝟐±𝟐 𝟑 𝟐 → x= 1 - 𝟑 ou x = 1 + 𝟑 ou x^2 - 2x - 5 = 3 → x^2 - 2x - 8 = 0 → x = 𝟐± 𝟒+𝟑𝟐 𝟐 = 𝟐±𝟔 𝟐 → x = - 2 ou x = 4 S= {1 - 3 , 1 + 3 , - 2,4}
5) |10 - 2x| = 3x - 5 Observação: 3x – 5 ≥ 0 precisa ser não negativo - (10-2x) =3x – 5 → - 10 +2x = 3x – 5 → - x = 5 → x = - 5 Ou 10-2x = 3x – 5 → - 5x = - 15 → x = 3 substituindo x = - 5 em 3x - 5 temos: 3.(-5)-5 = - 15 < 0 desconsiderar. substituindo x = 3 em 3x – 5 temos: 3.3 - 5 = 4 > 0 considerar. S = {3}
7) 7) |2x – 5| = |3 – x| 2x – 5 = ±( 3 − 𝑥) 2x – 5 = - (3 – x) → 2x – 5 = - 3 + x → x = 2 ou 2x - 5 = 3 – x → 3x = 8 → x = 8 3
Inequações Modulares a ∈ 𝑅+ , |x| ≤ a → - a ≤ x ≤ a |x| ≥ a → x ≤ - a ou x ≥ a Exemplos: 1) |x| < 5 - 5 < x < 5 S = ]-5, 5[ 2) |x| ≥ 8 x ≤ - 8 ou x ≥ 8 S = ]−∞ , - 8] U [8, +∞[
5) |x^2 – x – 4 | ≤ 2 - 2 ≤ x 2
1 ± 3 2 x = 1 ± 1 + 24 2
1 ± 5 2 x = - 1 ou x = 2 x = - 2 ou x = 3