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FACULDADE DO NOROESTE PARANAENSE
MATEMÁTICA FINANCEIRA 1ª PARTE
CURSOS: ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS
Professor:
Ms. Antonio Tadeu de Paula
atpaul@seed.pr.gov.br
2011
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matematica financeira01, Notas de estudo de Contabilidade
apostila 01
Tipologia: Notas de estudo
2012
1 / 42
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FACULDADE DO NOROESTE PARANAENSE
MATEMÁTICA FINANCEIRA 1ª PARTE
CURSOS: ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS
Professor: Ms. Antonio Tadeu de Paula atpaul@seed.pr.gov.br 2011
Sumário
CAPÍTULO I – MATEMÁTICA FINANCEIRA E SEUS FUNDAMENTOS
Este capítulo introduz os conceitos básicos e os principais fundamentos que norteiam o estudo da Matemática Financeira. São apresentados, ainda, os conceitos de fluxo de caixa e as convenções e simbologias adotadas nas suas representações.
1. Objeto da disciplina O objeto de estudo da matemática financeira é o dinheiro. 2. Problema da disciplina Equacionar as diferentes operações que podem ser feitas com o seu objeto de estudo, o dinheiro. 3. Objetivo principal da disciplina Estudar o valor do dinheiro ao longo do tempo. Por conseqüência, nunca podem deixar de ser observados os seguintes fundamentos da Matemática Financeira: a) valores de uma mesma data são grandezas que podem ser comparadas e somadas (ou subtraídas) algebricamente. b) valores de datas diferentes são grandezas que só podem ser comparadas e somadas (ou subtraídas) algebricamente após serem movimentadas para uma mesma data, com a correta aplicação de uma taxa de juros. 4. Conceitos
4.1 Capital – PV O capital, para a matemática financeira, é qualquer valor expresso em moeda e disponível no momento presente , ou seja, momento em que se faz uma aplicação, momento em que se contrata um empréstimo ou o momento em que se adquire uma mercadorias.
4.2 Juro – J No cálculo financeiro, juro é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital (PV), por determinado tempo (n), a uma taxa combinada (i). Para o investidor é a remuneração do valor aplicado (PV), e para o tomador é o custo do valor tomado em empréstimo.
4.3 Taxa – i É a razão entre juros recebidos (ou pagos) no fim de um determinado intervalo de tempo (dias, meses, bimestres, trimestres, semestres, anos, etc.) e o capital inicialmente empregado, ou seja: i% = (J PV) x 100. De outra forma, a taxa pode representar o juro de uma unidade monetária durante um único período. A taxa de juro costuma ser apresentada sob uma das seguintes formas: percentual (Ex.: 3% ao mês); ou unitária (Ex.: 0,03 ao mês).
4.4 Prazo – n É o número de períodos (dias, meses, bimestres, trimestres, semestres, anos etc.) que divide o intervalo de tempo compreendido entre o início e o final de uma operação financeira.
Atenção! Taxa (i) e prazo (n) devem estar sempre na mesma unidade de tempo (dias, meses, bimestres, trimestres, semestres, anos etc.).
4.5 Montante – FV É o capital (PV) adicionado dos juros (J), ou seja: FV = PV + J.
4.6 Fluxo de caixa – conceitos e convenções básicas Denomina-se fluxo de caixa o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Podemos ter fluxo de caixa de empresas, de investimentos, de projetos, de operações financeiras, etc. A elaboração do fluxo de caixa é indispensável na análise de rentabilidades e custos de operações financeiras, e no estudo de viabilidade econômica de projetos e investimentos. A representação do fluxo de caixa é feita por meio de tabelas, quadros ou por meio de diagramas conforma apresentado na Figura 1.
Figura 1 – Diagrama de fluxo de caixa de uma operação financeira
A representação de um fluxo de caixa na forma de diagrama deve respeitar as seguintes convenções: a) a escala horizontal representa o tempo, dividido em períodos descontínuos, expresso em dias, meses, trimestres, semestres ou anos. Os pontos 0, 1, …, 6 substituem as datas de calendário, e são estipulados em função da necessidade de indicarem as posições relativas entre as diversas datas. Dessa forma, o ponto “0” representa a data inicial (hoje), o ponto “1” indica o final do 1.º período e assim por diante; b) os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais; c) os valores monetários só podem ser colocados no início ou no final de cada período, dependendo da convenção adotada (antecipado ou postecipado). Nenhum valor pode ser colocado ao longo dos períodos, uma vez que eles não são contínuos. Assim, quando os períodos correspondem a trimestres, não há condição de se indicar um valor ao longo do trimestre. Uma solução possível, nesse caso, é diminuir a unidade de tempo dos períodos, por exemplo, para meses ou dias; d) saídas de caixa correspondem aos pagamentos e são representadas por setas apontadas para baixo. Na calculadora financeira esta representação é feita com o sinal negativo;
CAPÍTULO II – SISTEMA CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
O regime de juros simples é utilizado no mercado financeiro, notadamente nas operações de curto prazo, em função da simplicidade de cálculo e também para reduzir ou aumentar ficticiamente a verdadeira taxa de juros das operações, o que facilita a tarefa de colocação dos produtos junto aos investidores e/ou tomadores de recursos financeiros.
1. Juros simples (crescimento linear)
Neste sistema, a taxa de juro incide somente sobre o capital inicial; não incide, pois, sobre os juros acumulados durante o prazo da operação. Para exemplificar, consideremos que um capital de R$ 1.000,00 tenha sido aplicado a uma taxa de 36% ao ano durante 4 anos.
Tabela 1 Ano Saldo no Início de Cada Ano (em R$)
Juros do ano (em R$) (PV x i)
Saldo no Final de Cada Ano (em R$) 1 2 3 4
0,36 x 1.000,00 = 360, 0,36 x 1.000,00 = 360, 0,36 x 1.000,00 = 360, 0,36 x 1.000,00 = 360,
Se observarmos a coluna do saldo final na tabela 1, onde está apresentado o montante ao final de cada um dos períodos, veremos que seu crescimento se dá de forma que cada valor é igual o valor anterior, somado de um valor constante, R$ 360,00 (PV x i). Este aspecto é de fundamental importância, pois é a própria definição de uma progressão aritmética de razão P x i, e associada com ela temos uma linearidade que é transferida para a capitalização simples. Essa linearidade tem uma série de efeitos práticos, como o fato da taxa anual ser igual à taxa mensal multiplicada por doze (ex.: 1% ao mês x 12 = 12% ao ano), ou dos juros mensais serem iguais aos anuais divididos por doze (ex.: R$ 360,00 12 = R$ 30,00). Em outras palavras, traduz-se na validade da regra de três simples no regime de capitalização simples.
1.1 Cálculo do juros simples
1.1.1 Fórmula
J = PV x i x n
Onde: J: juro (corresponde a função INT na calculadora HP 12C); PV: valor presente (ou valor inicial de um empréstimo, ou valor inicial de uma aplicação, ou valor financiado de uma mercadoria); i: taxa unitária periódica de juros (ou tx. Percentual de juros dividida por 100); e n: número de períodos de capitalização de juros.
Importante: A taxa (i) e o prazo (n) devem referir-se à mesma unidade de tempo. Quando o cálculo de juro simples for efetuado com o uso da calculadora HP 12C, a taxa (i) deve ser percentual anual e o prazo (n) deve ser em dias, pois, a fórmula
usada por essa calculadora é: 360
n 100
i% J^ PV .
1.1.2 Exercícios demonstrativos
a.) Uma pessoa aplica R$ 1.000,00 a uma taxa de juro simples de 6% ao mês pelo prazo de quatro meses. Calcular o valor dos juros.
Dados: n = i = PV = J =?
b.) Foram aplicados R$ 800,00 por 180 dias, que renderam R$ 192,00. Qual é a taxa percentual mensal de juro simples dessa operação?
Dados: n = i =? PV = J =
c.) Em quantos meses uma aplicação de R$ 3.000,00 gera R$ 900,00 de juros, considerando-se uma taxa de juro linear de 30% ao trimestre?
Dados: n =? i = PV = J =
d.) Uma aplicação que remunera a uma taxa de juro linear de 2% ao mês, após 120 dias, rendeu R$ 400,00. Qual o valor inicial dessa aplicação?
Dados: n = i = PV =? J =
n = i = PV =? FV =
b.) Em quantos meses um investidor conseguiria dobrar o seu capital financeiro em uma aplicação que remunera à taxa de 60% ao ano no regime de capitalização simples?
Dados: n =? i = PV = FV =
c.) Um papel cujo valor de resgate é R$ 75.600,00 vence daqui a 60 dias. Se quero ganhar uma taxa de juro linear de 48% ao ano, qual é o valor presente pelo qual devo vender o papel?
Dados: n = i = PV =? FV =
d.) Qual a taxa percentual mensal de juro simples que faz um principal de R$ 20.000,00 formar um montante de R$ 26.000,00 daqui a vinte meses?
Dados: n = i =? PV = FV =
e.) Uma pessoa aplica R$ 8.000,00 por 75 dias a uma taxa linear de 24% ao ano. Calcular o montante.
Dados: n = i = PV = FV =?
1.3 Exercícios de fixação
1.) Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a juro simples, durante 3 anos, à taxa de 12% ao ano. Calcular os juros e o montante dessa operação.
2.) Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2% ao mês?
3.) Qual será o montante de uma aplicação de R$ 16.000,00 a juros simples, durante 5 meses, à taxa de 80% a.a.?
4.) Um cliente aplicou R$ 30.000,00 a juro simples, pelo prazo de 6 meses, e recebeu R$ 9.000,00 de juros. Qual a taxa percentual mensal da aplicação?
5.) Numa aplicação de R$ 3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% a.a., o montante recebido foi de R$ 4.800,00. Determinar o prazo anual da aplicação.
6.) Uma pessoa aplicou uma certa quantia a juro simples à taxa de 1,8% ao mês, pelo prazo de 4 meses. Calcular o juro auferido nessa aplicação sabendo-se que o montante recebido foi de R$ 5.360,00.
7.) Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.500,00, ou então a prazo com R$ 450,00 de entrada mais uma parcela de R$ 1.200,00 após 4 meses. Qual a taxa mensal de juro simples do financiamento.
8.) Uma motocicleta é vendida à vista por R$ 2.400,00, ou então a prazo com 20% de entrada mais uma parcela que deverá ser paga dois meses após a data da compra. Sabendo-se que a empresa cobra uma taxa linear de 3% ao mês, qual é o valor da parcela?
9.) No regime de juro simples, durante quantos anos um capital deve ser aplicado à taxa de 8% a.a. para que duplique?
10.) Um aplicador investiu R$ 2.800,00 a uma taxa de juro simples de 17% ao mês durante dois meses. Qual é o montante?
11.) Foram aplicados R$ 8.000,00 pelo período de 183 dias, que renderam R$ 10.000,00 de juros. Considerando o sistema de capitalização simples, determinar as taxas de juros mensal e anual dessa aplicação?
12.) Determinar o valor dos juros simples de uma aplicação de R$ 80.000,00, por 96 dias à taxa de 3,2% ao mês.
13.) Qual a taxa de juro simples cobrada, se uma pessoa aplicou o capital de R$ 7.000,00 pelo prazo de 1 ano e 9 meses e resgatou o montante de R$ 9.280,00?
FV = Valor futuro (ou valor nominal). Valor do título na data do seu vencimento; i = taxa unitária periódica de desconto “por fora” (ou taxa percentual periódica de desconto “por fora” dividida por 100); e n = número de períodos antes do vencimento.
Importante: A taxa (i) e o prazo (n) devem referir-se à mesma unidade de tempo.
2.1.3 Exercícios demonstrativos
a.) Qual a taxa percentual mensal de desconto comercial simples utilizada numa operação de 112 dias, cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e o valor atual é de R$ 550,00?
Dados:
n = i =? PV = FV = Df =
b.) Uma duplicata no valor de R$ 6.800,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de R$ 5.100,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples cobrada pelo banco é de 6,50% ao mês, determinar o prazo de vencimento da duplicata. Dados:
n =? i = PV = FV = Df =
c.) Considerando o regime simples de capitalização, calcular o valor nominal de um título, pagável em 1 ano e 6 meses, cujo desconto “por fora”, a 18% ao ano, é de R$ 270,00. Dados:
n = i = FV =? Df =
d.) Calcular o valor do desconto comercial de três títulos no valor de R$ 2.400, cada um, com vencimentos para 30, 60 e 90 dias respectivamente, sendo que a taxa de desconto simples cobrada pelo banco é de 14% ao mês. Dados:
n =
i = FV = Df =?
e.) Três duplicatas com os valores de R$ 1.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 2.000,00, com vencimentos para 25, 28 e 37 dias respectivamente, são apresentadas para descontos simples. Se o banco está cobrando uma taxa de 4% ao mês, qual é o valor do desconto “por fora”?
Dados:
n = i = FV = Df =?
2.2 Desconto “por dentro” Desconto calculado sobre o valor presente (ou valor atual, ou valor descontado) do título.
2.2.1 Cálculo do desconto
Dd = PV x i x n
Nesta equação há duas incógnitas, pois o desconto “por dentro” (Dd) e o valor presente (PV) são valores desconhecidos. Mas, sendo o valor presente a diferença entre o valor futuro e o desconto (PV = FV – Dd), pode-se substituir, na fórmula acima, PV por FV – Dd. Dessa forma,
Dd = (FV – Dd) x i x n Dd = FV x i x n – Dd x i x n Dd + Dd x i x n = FV x i x n Dd x (1 + i x n) = FV x i x n
( 1 ixn)
FV i n Dd
Onde:
Dd = Desconto “por dentro” (ou racional, ou real, ou exato, ou matemático); FV = Valor futuro (ou valor nominal). Valor do título na data do seu vencimento; i = taxa unitária periódica de desconto “por dentro” (ou taxa percentual periódica de desconto “por dentro” dividida por 100); e n = número de períodos antes do vencimento.
Importante:
A taxa (i) e o prazo (n) devem referir-se à mesma unidade de tempo.
n =? i = PV = FV = Dr =
d.) Uma nota promissória de R$ 1.650,00 foi descontada a uma taxa de juro simples de 4% ao mês. Qual o tempo de antecipação de pagamento do título, se o valor creditado na conta do cliente foi de R$ 1.400,00?
Dados:
n =? i = PV FV = Dd =
2.3 Desconto “por fora” x Desconto “por dentro”
Df = FV x i x n e Dd = ( 1 ixn)
FVxixn
Uma simples comparação das duas fórmulas permite verificar que o desconto “por fora” é sempre maior que o desconto “por dentro”. Assim,
Df – Dd = FV x i x n – 1 ixn
FVxixn
Df – Dd = 1 ixn
FVxixnx( 1 ixn) FVxixn
Substituindo FV x i x n por Df,
Df – Dd = 1 ixn
D (^) fx( 1 ixn) Df
Df – Dd = 1 ixn
D (^) f Dfxixn Df
Df – Dd = xixn 1 ixn
Df
Df – Dd = Dd x i x n
Na prática, apenas o desconto comercial é utilizado. Entretanto, seu emprego se dá em operações de curto prazo. Vamos mostrar a validade desta afirmação. Um cliente desavisado entra em um banco e descobre que a taxa simples de desconto “por fora” praticada por essa instituição é de 15% ao mês e manifesta o interesse de descontar um título no valor de R$ 10.000,00 pelo prazo de sete meses. Qual deverá ser o valor recebido?
Dados:
n = 7 meses i = 15% ao mês
PV =?
FV = R$ 10.000,
Df = FV x 100
i% x n Df = 10.000,00 x 100
x 7
Df = 10.000,00 x 0,15 x 7 Df = 10.500,
Assim,
PV = FV - Df PV = 10.000,00 – 10.500, PV = – R$ 500,
O resultado mostra que o cálculo é empírica, e não pode ser aplicado a prazos longos. O gráfico abaixo mostra uma comparação entre os descontos “por fora” e “por dentro” em função do tempo de vencimento de um título.
*Para i igual a 10%.
2.3.1 Exercício demonstrativo
a.) O desconto simples comercial de um título excedeu o seu desconto simples racional em R$ 1,44. Sabendo-se que a taxa empregada foi de 2% ao mês e que o título tem vencimento para 6 meses, calcular o valor nominal do título.
Dados:
Df – Dd = FV =? n = i =
13.) Admitindo-se que sejam apresentados a um banco, para desconto simples, três títulos no valor de R$ 900,00 cada um, vencíveis em 30, 60 e 90 dias, respectivamente. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 9% ao mês, calcular o valor total do desconto “por fora” e o valor líquido correspondente a ser creditado na conta do cliente.
14.) Sejam três títulos de R$ 1.100,00, R$ 900,00 e R$ 1.350,00 com prazos de 90, 46 e 25 dias, respectivamente. Se estes títulos forem descontados a uma taxa de 6% ao mês, determinar o valor total do desconto “por fora” considerando o regime simples de capitalização.
15.) Três duplicatas no valor de R$ 850,00 cada uma, com vencimento para 60, 90 e 120 dias, são apresentadas para desconto simples. Se o banco está cobrando uma taxa de 5% ao mês, qual é o valor do desconto bancário?
CAPÍTULO III – SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
1. Juro composto
No regime de juros compostos, a taxa de juros incide sobre o capital acrescido dos juros acumulados do período anterior.
1.1 Fórmulas para o cálculo do Montante (FV) e dos Juros (J)
De 0 a 1 (n = 1) PV 0 aplicado à taxa i J 1 = PV 0 x i x n FV 1 = PV 0 + J 1 então FV 1 = PV 0 + PV 0 x i x n FV 1 = PV 0 x (1 + i)
De 1 a 2 (n = 1) PV 1 aplicado à taxa i J 2 = PV 1 x i x n FV 2 = PV 1 + J 2 então FV 2 = PV 1 + PV 1 x i x n FV 2 = PV 1 x (1 + i) como PV 1 = PV 0 x (1 + i) então FV 2 = PV 0 x (1 + i)^2
De 2 a 3 (n = 1) PV 2 aplicado à taxa i J 3 = PV 2 x i x n FV 3 = PV 2 + J 3 então FV 3 = PV 2 + PV 2 x i x n FV 3 = PV 2 x (1 + i) como PV 2 = PV 0 x (1 + i)^2 então FV 3 = PV 0 x (1 + i)^3
De 3 a 4 (n = 1) PV 3 aplicado à taxa i J 4 = PV 3 x i x n FV 4 = PV 3 + J 4 então FV 4 = PV 3 + PV 3 x i x n FV 4 = PV 3 x (1 + i) como PV 3 = PV 0 x (1 + i)^3 então FV 4 = PV 0 x (1 + i)^4
FV = PV x (1 + i)n^ J = FV – PV J = PV x [ ( 1 i)n^ 1 ]
Onde: FV: valor futuro (ou montante no final de n períodos de capitalização); PV: valor presente (ou valor inicial de um empréstimo, ou valor inicial de uma aplicação, ou valor financiado de uma mercadoria);