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Matemática Financeira
Autor: Prof. Dr. Lin Chau Jen
Janeiro de 2013
LISTA DE EXERCÍCIOS
Parte I)
JUROS SIMPLES
1.Calcule a taxa simples mensal proporcional de juros correspondente a:
a) 15% a.a.;
b) 7,2% ao quadrimestre;
c) 63,2% ao biênio.
Resposta: a) 1,25%; b) 1,80%; c) 2,63%.
- Calcule a taxa simples semestral proporcional de juros correspondente a:
a) 273% ao triênio;
b) 3,6% a.m.
Resposta: a) 45,5%; b) 21,60%.
- Calcule o montante de $63.000 aplicado por 3 semestres e 60 dias a uma taxa simples de 24%
a.a. (considere um mês com 30 dias). Resposta: $88..
- Após 7 meses aplicado, um capital inicial formou um montante de $13.000 e estima-se que, daqui
a 5 meses, esse montante já será de $19.500. Calcule o capital inicial aplicado e a taxa de juros,
considerando regime de juros simples. Resposta: $3.900, 33,3% a.m.
- Determine quanto renderá um capital de $24.000 aplicado durante um período de 11 meses à taxa
mensal de 4,5%, considerando regime de juros simples. Resposta: $11..
- Uma loja vende seus produtos com pagamento em duas prestações iguais, “sem juros”. A
primeira prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês após. Entretanto, um desconto de
10% é concedido se o cliente pagar a vista. Qual são os juros que, na realidade, essa loja cobra, nas
vendas a prazo? Resposta: 25% a.m.
- O preço a vista de uma mercadoria é de $1.000. O comprador pode, entretanto, pagar 20% de
entrada no ato e o restante em uma única parcela de $1.002 vencíveis em 90 dias. Admitindo-se o
regime de juros simples, qual é a taxa de juros anuais cobrada na venda a prazo? Resposta: 101%.
- Se aplicarmos determinada quantia durante oito meses, seu montante será de $63.000. Caso a
aplicação durasse 13 meses, o montante seria de $74.250. Qual é a taxa mensal (capitalização
simples) empregada? Resposta: 5,00%.
- Dois capitais foram aplicados a uma taxa de 72% a.a., sob regime de juros simples. O primeiro
pelo prazo de quatro meses e o segundo por cinco meses. Sabendo-se que a soma dos juros totalizou
$39.540 e que os juros do segundo capital excederam os juros do primeiro em 12.660, qual foi a
soma dos dois capitais? Resposta: $143.000.
JUROS COMPOSTOS
- Paulo conseguiu um empréstimo de $100.000 em um banco que cobra 5% ao mês de taxa de
juros. Quanto deverá pagar se o prazo do empréstimo for de cinco meses? Resposta: $127..
- Após quantos meses um capital empregado a 5% a.m. duplica seu valor? Resposta: 15 meses.
- Paulo emprestou a um amigo $2.500, o qual liquidou a dívida pagando $2.730 após dois meses.
Qual a taxa de juros envolvida na transação? Resposta: 4,5% a.m.
- Paulo tem uma dívida formada por três parcelas com vencimentos em dois meses, cinco meses e
seis meses, sendo os valores $800, $1.000 e $600, respectivamente. O credor, para quem o dinheiro
vale 10% ao mês, aceita que a dívida seja liquidada imediatamente, ou que o total seja pago em um
ano. Quanto José teria que pagar (a) agora e (b) em um ano? Resposta: a) $1.621; b) 5..
- Paulo deve a Carlos dois títulos de $20.000 cada um, vencíveis em três e cinco meses. Quanto
José deverá aplicar no banco para que possa pagar os títulos com este dinheiro? Considere que o
banco paga 7% ao mês? Resposta: $30..
- Em que prazo uma aplicação de $73.500, à taxa de 5,6% a.m., forma um montante de $105.000,
sob o regime de capitalização composta? Resposta: 6,55 meses.
- Uma pessoa tem condições de aplicar seu dinheiro a 2% a.m. no mercado de capitais,
capitalizável mensalmente. Se um amigo pedir-lhe emprestado $15.000 por um ano, quanto deverá
devolver para que sua aplicação seja equivalente nesse período? Resposta: $19..
- Uma pessoa depositou determinado capital num banco, a juros compostos, com capitalização
mensal. Sabendo-se que, após 10 meses, o saldo era de $16.000, e que, após 15 meses da aplicação,
o saldo já era de $18.500, determine a taxa de juros. Resposta: 2,95% a.m.
- Guilherme possui uma pequena empresa de confecções cujo faturamento cresce 3% a.a. Calcule
em quanto tempo o faturamento: a) duplicará; b) estará 150% maior.
Resposta: a) 23,45 anos; b) 31,00 anos.
- Pedro obteve um montante de $30.000, resultante da aplicação de determinado capital por um
período de tempo, sob regime de capitalização composta, com juros de 3% a.m. Na mesma época,
Joaquim resgatou $43.500, fruto da aplicação de um capital igual ao de Pedro, durante o mesmo
período, a uma taxa composta de juros igual a 5% a.m.. Determine: a) o período de aplicação; b) o
capital inicial aplicado.
Resposta: a) 19,32 meses; b) 16..
- Uma pessoa deve a um banco dois títulos com valores de resgate de $2.500 e $6.000, vencíveis,
respectivamente, em 5 e 7 anos. Desejando antecipar a liquidação de toda a dívida para o valor atual
(data zero), determine o valor a pagar, considerando uma taxa de juros de 25% a.a.
Resposta: $2..
- Um dívida é composta de três pagamentos no valor de $3.500, $4.200 e $5.000, vencíveis em
60, 90 e 150 dias, respectivamente. Considere que o mês possui trinta dias. Conhecendo a taxa de
mercado, que é de 5% a.m., determine o valor da dívida caso os pagamentos sejam liquidados:
a hoje;
b daqui a 8 meses.
Resposta:.
- Determine o montante, ao fim de 4 meses, resultante da aplicação de um capital de $56.000, a
uma taxa de juros de 6,5% a.m., sob o regime de capitalização composta. Resposta: $72..
- Sabe-se que a taxa de juros cobrada de 2 em 2 meses por uma instituição financeira é de 8%.
- Para uma taxa de juros de 8,5% a.m. (capitalização composta), qual das duas alternativas de
pagamento apresenta menor custo para o devedor:
a) pagamento integral de $180.000 a vista;
b) $55.000 de entrada, $82.500 em 90 dias e $65.000 em 150 dias.
Resposta: parcelado.
- Um produto foi adquirido em 3 pagamentos trimestrais de $1.500 cada, sem pagamento na
entrada. Contudo, ele poderia ser adquirido pagando-se 15% de seu valor como entrada e o restante
ao cabo de 6 meses. Qual o valor da prestação vencível ao final de 6 meses, sabendo que a taxa
nominal de juros com capitalização mensal composta é de 28% a.a.? Resposta: $3..
PARTE II)
- Dados os diagramas de fluxos de caixa a seguir, calcule o que se pede:
(a) (b)
Resposta:.
- Qual deve ser a taxa global anual a ser cobrada por um banco que quer 1% ao mês além da
correção monetária que é prevista em 15% ao trimestre? Resposta: 97,08%.
- Qual a taxa efetiva anual de 30% a.a. com capitalização trimestral? Resposta: 33,6 % a.a.
- Qual a taxa efetiva mensal equivalente a 12% ao semestre? Resposta: 1,9% ao mês.
- Qual a taxa semestre equivalente a 10% ao mês? Resposta: 77,2% a.s.
- Qual a taxa equivalente mensal de 42% ao ano capitalizada trimestralmente?
Resposta 3,38% a.m.
- Qual é a taxa efetiva anual de 24% ao semestre capitalizada mensalmente? Resposta: 60,1%.
- Uma companhia planeja depositar $100.000 em um fundo no fim de cada cano, durante os
próximos três anos. Se o fundo paga uma taxa de juros de 6,0% ao ano, com capitalização
quadrimestral, quanto a companhia terá no fim do sexto ano? Resposta: $380..
- José tem os seguintes compromissos financeiros: (a) $40.000 vencíveis em 2 meses e (b) $55.
vencíveis em 5 meses. Após cumpri-los, ainda no 5
o
mês, ele deseja comprar um carro no valor de
$14.500. Determine o valor do capital a ser depositado na poupança com taxa de juros simples de
6% a.a. de modo que sejam sacados os compromissos sem deixar saldo final na conta. Resposta:.
- Sejam dados: a) capital inicial: $18.720; b) montante resgatado: $24.000; c) período de
capitalização: 4 meses. Considerando uma capitalização composta, calcule a taxa anual equivalente.
i = 6%a.a.
F =?
0 6 meses
P = $3.
i = 5,6%a.m.
F = $10.
0 15 anos
P =?
Resposta: 110,7%.
- Uma instituição financeira veicula na televisão a seguinte propaganda: “aplique $500 hoje e
receba $1.000 daqui a 7 meses”. Determine a taxa mensal e anual efetiva de juros (regime de juros
compostos) oferecida por essa instituição. Resposta: 10,41% a.m.; 228,1% a.a.
- Uma pessoa deposita $37.000 numa instituição financeira por 2 anos à taxa nominal de 20% a.a.
Calcule o montante composto, sabendo que no 1o ano, os juros são capitalizados bimestralmente e
que no 2
o
ano, a capitalização é trimestral. Resposta: $54..
- Uma pessoa aplica um capital de $3.000. Calcule o valor do resgate (valor futuro) nas seguintes
condições (considere sempre um regime de capitalização composta):
a) i = 38% a.a., n = 3 anos;
b) i = 2,5% a.m., n = 6 meses;
c) i = 0,2% a.d., n = 42 dias;
d) i = 15% a.s., n = 13 meses;
Resposta: a) $7.884; b) $3.479; c) $3.263; d) 4..
- Após um período de capitalização em regime composto, Carlos resgatou a quantia de $10.000.
Calcule:
a) a taxa de juros, considerando que n = 4 meses e P = $2.750;
b) o capital aplicado, sabendo que i = 32,5% a.a. e n = 6 meses;
c) o período de capitalização, sendo dados P = $4.500 e i = 0,3% a.d.
Resposta: a) 38,09% a.m.; b) $8.519; c) 267 dias.
- A caderneta de poupança é um dos investimentos mais difundidos entre os brasileiros. Em
programa de televisão, André observou que nos últimos anos ela pagou juros anuais de 6%. No
entanto, André sabe que esse investimento tem capitalização mensal e, por isso, resolveu calcular a
rentabilidade efetiva desse investimento. Qual o valor encontrado por André? Resposta: 6,17% a.a.
- Seja uma taxa nominal de 15% a.a. com capitalização trimestral. Calcule: a) a taxa efetiva
trimestral; b) a taxa efetiva anual. Resposta: a) 3,75% a.t.; b) 15,87% a.a.
- Um agiota empresta dinheiro para mensalistas apertados nas seguintes condições: “te dou
$5.000 e tu me devolverás $5.500 em uma semana”. Qual a taxa de juros anual envolvida na
transação? Resposta: 14.100% a.a.
PARTE III)
- Represente os fluxos de caixa abaixo por meio de séries combinados com valores isolados
(a)
200
20
40
30
10
b)
- Ache a série uniforme equivalente ao seguinte fluxo de caixa:
- a) Nos dez primeiros aniversários de Paulo, seu tio investirá $10.000 por ano em letras (letras de
$10.000). As letras rendem 40% ao ano e se destinam a financiar os estudos universitários de José,
bem como a ajudar no pagamento de seu primeiro carro por ocasião de sua formatura. Se José
retirar $1.500.000 no 18
o
aniversário, $1.700.000 no 19
o
, $3.900.000 no 20
o
, $5.100.000 no 21
o
e
$6.300.000 no 22
o
, quando irá sobrar no 23
o
aniversário para dar entrada na compra do carro? b) Se
a inflação for de 35% a.a., quanto representa esta quantia em moeda atual (na data do nascimento de
José)? Resposta: a) $11.298.000; b) $4.895..
- Uma pessoa deseja formar, em quatro anos, um fundo de aposentadoria através de depósitos
mensais em um banco que paga 7% ao ano de juros. Aposentando-se em seguida, se o valor da
aposentadoria for de $500 ao mês, qual deve ser o valor dos depósitos? Resposta: $1..
- Você é o dono de uma loja que pretende vender em três vezes sem entrada e sem acréscimo ou a
vista com X% de desconto. Após um estudo das demais variáveis envolvidas na transação, você
chegou à conclusão de que a taxa de juros deve ser de 10% ao mês. Qual deverá ser o valor de X?
Resposta: 17,10%.
- Como diretor financeiro de uma escola, você quer oferecer uma alternativa para que os alunos
possam efetuar os pagamentos das taxas escolares em cinco mensalidades iguais sem entrada e não
mais em uma entrada mais três prestações. Se a taxa de juros a ser considerada na transação é de 4%
ao mês, em quantos por cento esta mudança irá alterar o valor da mensalidade?
Resposta: 15,2% a menos.
- Paulo comprou uma casa financiada em 100 prestações mensais. A primeira prestação custa
i = 10%
i = 10%0 190
40
20
30
10
10
$50.000, a segunda $49.700, a terceira $49.400, e assim sucessivamente, diminuindo
periodicamente de $300. Sabendo que a taxa foi de 1,5% ao mês, calcule: a) o valor financiado; b)
qual seria a prestação caso ela fosse uma série uniforme.
Resposta: a) $2.000.000; b) $38..
- Um televisor está custando cerca de $1.500 à vista. O comprador se propõe, entretanto, a dar
uma entrada de $500 e a pagar o restante em 10 prestações mensais, consecutivas e iguais. Se os
juros cobrados forem de 5% ao mês, de quanto será cada pagamento mensal? Resposta: 129,50.
- Você participou do “Jogo do Milhão” e recebeu como prêmio $1.000.000. Imaginou o seguinte
esquema: aplicar em uma instituição que paga 2% ao mês e, durante 24 meses, viajar pelo mundo
todo. Para tanto, pretende efetuar retiradas mensais de $30.000. O saldo será retirado em 2 parcelas
anuais, sendo a 1
a
um ano após o último saque mensal. Qual o valor das retiradas se eles forem
nominalmente iguais? E se elas forem equivalentes? Resposta: $493.422; $441.284 e $559.548.
- Uma mercadoria é vendida a vista por $200.000 ou a prazo na seguinte condição: entrada de
$40.000 e mais cinco parcelas mensais. Determinar o valor máximo de cada parcela mensal se o
mercado financeiro oferece juros compostos de 6% a.m. Resposta: $37.983.
- Um equipamento cujo valor a vista é de $33.000 pode ser pago por meio de uma entrada e 18
prestações mensais e consecutivas de $2.000. Se há um período de três meses para início do
pagamento das prestações, qual é o valor da entrada, considerando-se uma taxa de juros efetiva
composta de 5% a.m.? Resposta: 11.795.
- Os gastos mensais para operação e manutenção de determinado equipamento são de $5.000 no
primeiro mês, sendo acrescidos de $600 mensais até o 30
o
mês, inclusive, estabilizando-se daí por
diante e permanecendo inalterados até o final da vida útil, que é de 3 anos. Esse equipamento foi
adquirido por $40.000. Qual o valor dos custos (compra, operação e manutenção) na data 0 se a taxa
de juros for de 4% ao mês? Resposta: $290.207.
- Quanto deverá ser investido agora por uma empresa para que ela possa atender ao desembolso
de despesas da ordem de $10.000.000 ao final do 1
o
ano, $8.000.000 ao final do 2
o
ano, $6.000.
ao final do 3
o
ano, $4.000.000 ao final do 4
o
ano e $2.000.000 ao final do 5
o
ano, se a taxa de juros é
de 30% ao ano (efetiva)? Resposta: $17.097.
Parte IV)
SISTEMA FRANCÊS
- Uma pessoa consegue um empréstimo de $100.000 a ser pago em 20 prestações iguais e
semestrais a uma taxa efetiva de 50% a.a. Calcule: (a) a taxa semestral; (b) o valor das prestações.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
- Considere um empréstimo de $100.000 a ser pago pelo Sistema de Amortização Constante em 20
prestações semestrais, sendo a taxa de 22,5% ao semestre. (a) Qual o valor da primeira prestação?;
(b) Qual o valor da última prestação?
VALOR PRESENTE LÍQUIDO
- Uma empresa de participação dispõe de $150 mil e conta com duas oportunidades para investir
além de deixar seus recursos em uma aplicação financeira que rende 10% ao mês. A empresa
considera essa taxa sua TMA. As duas oportunidades de investimento são lotes disponíveis de
diversos títulos bancários que deverão apresentar um rendimento médio da seguinte forma.
