Matemática Financeira: Juros Compostos - Universidade de São Paulo, Notas de aula de Matemática Financeira

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Profa. Dra.Luciana C.Siqueira Ambrozini

Matemática

Financeira

Faculdade de Economia, Administração e

Contabilidade de Ribeirão Preto - FEA-RP

Juros Compostos

Matemática Financeira Considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital, formando o montante do período. Juros compostos Montante 1 = Capital + Juros 1 Montante 2 = Capital + Juros 1 (juros acumulados) + Juros 2 (juros sobre juros 1) Período 1 -> Período 2 -> Matemática Financeira Aplicação de R$ 1.000 e taxa composta de 10% a.m. Exemplo: Final mês 1 -> FV = R$ 1.000 x (1 + 0,10) = R$ 1. Final mês 2 -> FV = R$ 1.000 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) FV = R$ 1.000 x (1 + 0,10)² = R$ 1.

Matemática Financeira Cálculo dos juros: Juros = FV - PV

FV = PV (1 +i)

n

Juros = PV (1 +i) - PV

n

Juros = PV [(1 +i) - 1]

n

PV = FV/ (1+i)

Matemática Financeira Exemplo: Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% a.m.?

FV = R$ 27.500; n=1; i=1,7%

n

PV = 27.500 / (1 + 0,017)

12

PV = 22.463,

22.463,70 -> data 0

27.500 -> data futura

São valores equivalentes à

uma taxa composta de 1,7%

FV = PV (1 + i)

Matemática Financeira Exemplo: Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$ 40.000 que produz um montante de R$ 43.894,63 ao final de um quadrimestre.

PV= R$ 40.000; FV = R$ 43.894, 63; n=4; i=?

n

FV/PV = (1+i) 4

43.894,63/40.000 = (1+i)

Raiz quarta na HP

1,097366 ENTER

4 [1/x]; y^x

4

(1+i)

4 4

1 + i = 1,0235 = 0,0235 = 2,35%

Resolução na HP

Matemática Financeira Exemplo: Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$ 40.000 que produz um montante de R$ 43.894,63 ao final de um quadrimestre.

PV= R$ 40.000; FV = R$ 43.894, 63; n=4; i=?

40.000 CHS PV

43.894,63 FV

Raiz quarta na HP

1,097366 ENTER

4 [1/x]; y^x

i = 2,35%

4 n

Matemática Financeira Taxas equivalentes Em juros simples

Prazos

São equivalentes e proporcionais

Taxas

Taxa de 3% ao mês e 9% ao trimestre Em juros compostos

i = 1 + i – 1

q q

q = número de períodos de capitalização

Matemática Financeira Exemplo Qual a taxa equivalente composta mensal para uma taxa semestral de 1,66%? i 6 = 1 + 0,103826 - 1 6 i = 0,0166 ou 1,66% a.m.

Assim ,para um mesmo capital e prazo de

aplicação é indiferente (equivalente) o

rendimento de 1,66% a.m. ou 10,3826 a.s.

Matemática Financeira Taxas equivalentes Suponha um capital de $ 100.000 aplicado por 2 anos. i = 1,66% a.m. FV = 100.000 (1, 0166) = 148.457, 24 FV = 100.000 (1,103826) = 148.457, 4 Matemática Financeira Exemplo Um certo banco divulga a rentabilidade para uma aplicação financeira de 12% a.s. ou 2% a.m. i 6 = 6 1,12 – 1 = 1,91% a.m. Assim, uma aplicação de R$ 10.000, ao final de 6 meses, gera um montante de R$ 11.200 (10.000 x 1,12). 12% = Taxa de rentabilidade da operação para um período A base da taxa para uma periodicidade diferente, por exemplo, mensal, deve ser expressa em termos de taxa equivalente composta

Matemática Financeira Conversão de taxa efetiva em nominal Para efeitos de comparação de custos de para operações financeiras, faz-se necessário que as taxa sejam referenciadas segundo o mesmo critério de apuração de juros.

Exemplo: O banco A oferece crédito pessoal ao custo de 4,2% a.m. O

banco B diz que cobra uma taxa nominal somente de 4,12%.

Os juros da operação são calculados diariamente.

Com qual banco a operação é mais vantajosa?

Matemática Financeira Conversão de taxa efetiva em nominal Banco A

• Taxa efetiva: 4,2% a.m.
• Conversão em taxa nominal: 1 + 0,042 - 1 = 0,137234% a.d. x 30 = 4,12% a.m. 30 Banco B
• Conversão em taxa efetiva: 4,12/30 = 0,137333% a.d. (1 + 0,137333) - 1 = 4,2% a.m.
• Taxa nominal: 4,12% a.m. 30

Matemática Financeira Conversão de taxa efetiva em nominal Exemplo: Transformar a taxa efetiva de 48% a.a. em taxa nominal com capitalização mensal. (^12) 1 + 0,48 - 1 = 3,3210% a.m. x 12 = 39,852% a.a. Matemática Financeira Taxa efetiva e número de períodos de capitalização O que acontece com a taxa efetiva à medida que o número de período de capitalização de uma taxa de juros nominal aumenta?

• frequência de capitalização de uma mesma taxa nominal -> + rendimento acumulado Exemplo: taxa nominal de 18% a.a. Período de capitalização Nº de períodos Tx Efetiva anual Anual 1 18% Semestral 2 18,81% Quadrimestral 3 19,10% Trimestral 4 19,25% Mensal 12 19,56% Diário 360 19,72%

Matemática Financeira Convenção linear Exemplo: considere o capital de R$ 100.000 emprestados à taxa de 18% ao ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante deste empréstimo pela convenção linear. FV = PV (1 + i ) x [1 + i x (m/k)] FV = 100.000 x (1 + 0,18) x [1 + 0,18 x (9/12)] FV = 100.000 x 1,938778 x 1,135 = FV = R$ 220.051, n 4 Na HP: tirar o “c” STO EEX 100.000 CHS PV 4,75 n 18 i FV 220.051, Matemática Financeira Convenção exponencial Adota o mesmo regime de capitalização para todo o período, ou seja, utiliza capitalização composta para a parte inteira e fracionada. FV = PV (1 + i ) n + m/k FV = 100.000 x (1 + 0,18) FV = 100.000 x (1,18) FV = R$ 219.502, 4 + 9/ 4 + 0, Na HP: deixa o “c” STO EEX 100.000 CHS PV 4,75 n 18 i FV 220..502,

Matemática Financeira Capitalização contínua Usualmente, as operações financeiras são capitalizadas de forma finita e discreta, podendo chegar a uma capitalização de frequência diária. FV = PV x e I. n Por outro lado, pela capitalização contínua pode-se prever uma capitalização infinitamente frequente. e = número constante, base dos logarítimos neperianos (e=2,7182818284...) I = taxa de juro periódica, taxa instantânea Matemática Financeira Capitalização contínua Exemplo: admita uma aplicação de R$ 1.000 por dois anos, à taxa de 10% com capitalização contínua. Qual o montante apurado ao final desse período com capitalização contínua e nas condições de capitalização discreta de juros compostos? FV = PV x e I. n FV = R$ 1.000 x 2, 0,10 x 2 FV = R$ 1.221, FV = PV x (1 + i ) FV = R$ 1.000 x (0,10) FV = R$ 1.210, n 2