Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Os melhores documentos à venda: Trabalhos de alunos formados
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Comunidade
Peça ajuda à comunidade e tire suas dúvidas relacionadas ao estudo
Descubra as melhores universidades em seu país de acordo com os usuários da Docsity
Guias grátis
Baixe gratuitamente nossos guias de estudo, métodos para diminuir a ansiedade, dicas de TCC preparadas pelos professores da Docsity
Aperfeiçoando o uso da Matematica, fonte CRC/CE
Tipologia: Notas de estudo
1 / 38
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Ao longo dos tempos constatou-se que o problema econômico dos governos; das instituições; das organizações e dos indivíduos, decorria da escassez de produtos e/ou serviços, pelo fato de que as necessidades das pessoas eram satisfeitas por bens e serviços
cuja oferta era limitada. Ao longo do processo de desenvolvimento das sociedades, o problema de satisfazer as necessidades foi solucionado através da especialização e do processo de troca de um bem pelo outro, conhecido como escambo. Mais tarde surgiu um bem intermediário, para este processo de trocas que foi a moeda. Assim, o valor monetário ou preço propriamente dito, passou a ser o denominador comum de medida para o valorizar os bens e os serviços e a moeda um meio de acúmulo deste valor constituindo assim a riqueza ou capital.
Constatou-se assim, que os bens e os serviços poderiam ser consumidos ou guardados para o consumo futuro. Caso o bem fosse consumido ele desapareceria e, caso houvesse o acúmulo, surgiria decorrente deste processo o estoque que poderia servir para gerar novos bens e/ou riqueza através do processo produtivo. E começou a perceber que os estoques eram feitos não somente de produtos, mas de valores monetários também, que se bem administrado poderiam aumentar gradativamente conforme a utilidade temporal.Surge-se daí a preocupação e a importância do acúmulo das riquezas em valores monetários como forma de investimento futuro e aumento do mesmo conforme o surgimento das necessidades.
Com o passar dos tempos essa técnica foi sendo melhorada e aperfeiçoada conforme as necessidades de produção e tão quanto à necessidade mercantis que aflorava cada vez mais tornando os produtores mais competitivos quanto ao aumento de oferta de suas produções.
Atualmente a técnica utilizada para compreensão de como o capital se comporta em uma aplicação ao longo do tempo é realizado pela Matemática Financeira. De uma forma simplificada, podemos dizer que a Matemática Financeira é o ramo da Matemática Aplicada e/ou Elementar, que estuda o comportamento do dinheiro no tempo. A Matemática Financeira busca quantificar as transações que ocorrem no universo financeiro levando em conta, a variável tempo, quer dizer, o valor monetário no tempo ( time value money ).
As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira são: o capital, a taxa de juros e o tempo.
Capital é todo o acúmulo de valores monetários em um determinado período de tempo constituindo assim a riqueza como expresso anteriormente. Normalmente o valor do capital é conhecido como principal (P). A taxa de juro (i) , é a relação entre os Juros e o Principal, expressa em relação a uma unidade de tempo. (n)
Deve ser entendido como Juros, a remuneração de um capital (P) , aplicado a uma certa taxa (i) , durante um determinado período (n) , ou seja, é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. Portanto, Juros (J) = preço do crédito.
A existência de Juros decorre de vários fatores, entre os quais destacam-se:
a) inflação: a diminuição do poder aquisitivo da moeda num determinado período de tempo;
A quantia de R$ 3.000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos.
Solução:
Temos: P = 3000,
i = 5% = 5/100 = 0,05 e
n = 5 anos = 5 x 12 = 60 meses.
Portanto, M = 3.000,00 x (1 + 0,05 x 60) = 3.000,00 x (1+3) = R$ 12.000,00.
A fórmula J = Pin , onde P e i são conhecidos, nos leva a concluir pela linearidade da função juros simples, senão vejamos:
Façamos P.i = k.
Teremos, J = k.n, onde k é uma constante positiva. (Observe que P. i > 0)
Ora, J = k.n é uma função linear, cujo gráfico é uma semi-reta passando pela origem. (Porque usei o termo semi-reta ao invés de reta?). Portanto, J/n = k, o que significa que os juros simples J e o número de períodos n são grandezas diretamente proporcionais. Daí infere-se que o crescimento dos juros simples obedece a uma função linear, cujo crescimento depende do produto P.i = k, que é o coeficiente angular da semi-reta J = kn.
10,
10,
10,
10,
10,
1 º^ mês 2 º^ mês 3 º^ mês 4 º^ mês 5 º^ mês
0 meses
É comum nas operações de curto prazo onde predominam as aplicações com taxas referenciadas em juros simples, ter-se o prazo definido em número de dias. Nestes casos o número de dias pode ser calculado de duas maneiras:
Exercício Proposto 01:
Calcule o montante ao final de dez anos de um capital R$ 10.000,00 aplicado à taxa de juros simples de 18% ao semestre (18% a.s).
Resposta: R$ (?)
Vimos anteriormente, que se o capital (P) for aplicado por (n) períodos, a uma taxa de juros simples (i) , ao final dos n períodos, teremos que os juros produzidos serão iguais a J = Pin e que o montante (capital inicial adicionado aos juros do período) será igual a M = P(1 + in).
O segredo para o bom uso destas fórmulas é lembrar sempre que a taxa de juros i e o período n têm de ser referidos à mesma unidade de tempo.
Assim, por exemplo, se num problema, a taxa de juros for i =12% ao ano = 12/100 = 0,12 e o período n = 36 meses, antes de usar as fórmulas deveremos colocá-las referidas à mesma unidade de tempo, ou seja:
a) 12% ao ano, aplicado durante 36/12 = 3 anos , ou
b) 1% ao mês = 12%/12, aplicado durante 36 meses, etc.
Exemplos:
01 – Quais os juros produzidos pelo capital R$ 12.000,00 aplicados a uma taxa de juros simples de 10% ao bimestre durante 5 anos?
Resposta: (?) anos.
3.2 – Juros Compostos
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades, a saber:
a) Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros;
b) Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre juros".
O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando um montante, capital mais juros, do período. Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte formando um novo montante e assim sucessivamente.Pode-se dizer então, que cada montante formado é constituído do capital inicial, juros acumulados e dos juros sobre juros formados em períodos anteriores.
Este processo de formação de juros compostos é diferente daquele descrito para os juros simples, onde somente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros formados em períodos anteriores.
Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo:
Suponha que R$ 1.000,00 são empregados a uma taxa de 20% a.a.,por um período de 4 anos a juros simples e compostos Teremos:
P= R$ 1.000,00 i= 20% a.a n= 4 anos
n Juros por periodo Montante Juros por periodo Montante 1 1.000,00 x 0,2 = 200 1.200,00 1.000,00 x 0,2 = 200 1.200, 2 1.000,00 x 0,2 = 200 1.400,00 1.200,00 x 0,2 = 240 1.440, 3 1.000,00 x 0,2 = 200^ 1.600,00 1.440,00 x 0,2 = 288^ 1.728, 4 1.000,00 x 0,2 = 200 1.800,00 1.728,00 x 0,2 = 346 2.074,
Juros Simples Juros Compostos
O gráfico a seguir permite uma comparação visual entre os montantes no regime de juros simples e de juros compostos. Verificamos que a formação do montante em juros simples é linear e em juros compostos é exponencial:
-
500,
1.000,
1.500,
2.000,
2.500,
Períodos Juros Simples Juros Compostos
Fonte: Elaborado pelo autor
Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL , portanto tem um crescimento muito mais "rápido".
Exemplo 2:
Um empresário faz uma aplicação de R$ 1.000,00 a taxa composta de 10% ao mês por um prazo de dois meses.
1º Mês:
O capital de R$ 1.000,00 produz um juros de R$ 100,00 (10% de R$ 1.000,00), pela fórmula dos juros simples já estudada anteriormente, ficaria assim:
2º Mês:
O montante do mês anterior (R$ 1.100,00) é o capital deste 2º mês servindo de base para o cálculo dos juros deste período. Assim:
Tomando-se como base a fórmula dos juros simples o montante do 2º mês pode ser assim decomposto:
NOTA: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (n), tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês durante 3 x 12=36 meses.
4.1 - Taxa nominal
A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira, pode ser calculada pela expressão:
Taxa nominal = Juros pagos / Valor nominal do empréstimo
Assim, por exemplo, se um empréstimo de $100.000,00, deve ser quitado ao final de um ano, pelo valor monetário de $150.000,00, a taxa de juros nominal será dada por:
Juros pagos = Jp = $150.000 – $100.000 = $50.000,
Taxa nominal = in = $50.000 / $100.000 = 0,50 = 50%
4.2 - Taxa real
A taxa real expurga o efeito da inflação.
Um aspecto interessante sobre as taxas reais de juros é que, elas podem ser inclusive, negativas!
Vamos encontrar uma relação entre as taxas de juros nominal e real. Para isto, vamos supor que um determinado capital P é aplicado por um período de tempo unitário, a uma certa taxa nominal in.
O montante S 1 ao final do período será dado por S 1 = P(1 + in).Consideremos agora que durante o mesmo período, a taxa de inflação (desvalorização da moeda) foi igual a j. O capital corrigido por esta taxa acarretaria um montante S 2 = P (1 + j).
A taxa real de juros, indicada por r, será aquela que aplicada ao montante S 2 , produzirá o montante S 1. Poderemos então escrever:
S 1 = S 2 (1 + r)
Substituindo S 1 e S 2 , vem:
P(1 + in) = (1+r). P (1 + j)
Daí então, vem que:
(1 + in) = (1+r). (1 + j), onde:
in = taxa de juros nominal
j = taxa de inflação no período
r = taxa real de juros
Observe que se a taxa de inflação for nula no período, isto é, j = 0, teremos que as taxas nominal e real são coincidentes.
Veja o exemplo a seguir:
Numa operação financeira com taxas pré-fixadas, um banco empresta $120.000, para ser pago em um ano com $150.000,00. Sendo a inflação durante o período do empréstimo igual a 10%, pede-se calcular as taxas nominal e real deste empréstimo.
Teremos que a taxa nominal será igual a:
in = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 0,25 = 25% Portanto in = 25%
Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 0,10, substituindo na fórmula anterior, vem:
(1 + in) = (1+r). (1 + j)
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10)
1,25 = (1 + r).1,
1 + r = 1,25/1,10 = 1,
Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64%
Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de juros:
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,30)
1,25 = (1 + r).1,
1 + r = 1,25/1,30 = 0,
Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto teríamos uma taxa real de juros negativa!
considerando esta convenção de sinais. Usaremos sempre a convenção de sinal negativo para VP e em conseqüência, sinal positivo para FV. Veremos com detalhes este aspecto, no esenvolvimento do curso.
xemplos Práticos:
um título pelo prazo de meses à taxa de juros composta de 3,5% a .m.?
olução:
00,
a. m. V =?
V= PV (1 + i) n^ FV= 12.000,00 (1+0,035) 8
V= 12.000,00 X 1,316 = R$ 15.801,
uanto deverá ela epositar hoje numa poupança que rende 1.7% de juros compostos ao mês?
olução:
eses) a. m. V =?
d
E
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em 8
S
PV = R$ 12. n = 8 meses i = 3,5 % F
F
F FV
Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano, q d
S
FV = R$ 27.500, n = 1 ano (12 m i = 1.7% P
PV = FV. PV = 27.500,00. PV = 27.500,0 0 (1 + i) n^ (1 + 0,017) 12 1,
= 22.463,
xercícios Propostos 03:
m prazo de dois anos a uma taxa de 5% ao semestre, qual será montante no fim do período?
esposta: R$ (?)
xercícios Propostos 04:
Aplicando-se R$ 1.000,00 por u o
R
E
icado durante um ano e três meses à taxa de 2% a.m. uais os juros gerados no período?
Um capital de R$ 2.000.000,00 é apl Q
Resposta: R$ (?)
E xercícios Propostos 05:
eses, rende uma quantia de juros ual ao valor aplicado. Qual a taxa mensal dessa aplicação?
esposta: R$ (?)
xercícios Propostos 06:
Determinado capital aplicado a juros compostos durante 12 m ig
R
E
alcule o montante de R$1.000,00 aplicados a 10% a.a. durante 50 dias.
esposta: R$ (?)
- Equivalência Financeira
s seus valores m um determinado período n, calculados com essa mesma taxa, forem iguais.
Exemplo 01:
Diz-se que dois capitais são equivalentes a uma determinada taxa de juros, se o e
Capital (R$) Vencimento Capital (R$) Vencimento 1.100,00 (^) 1 º a.a 2.200,00 (^) 1 º a.a 2.420,00 (^) 2 º a.a 1.210,00 (^) 2 º a.a 1.996,50 (^) 3 º a.a 665,5 (^) 3 º a.a 732,05 4 º a.a 2.196,15 4 º a.a
1º Conjunto 2º Conjunto
Verificar se os conjuntos de valores nominais, referidos à data zero, são equivalentes à taxa de juros de 10% a.a.
Para o 1.º conjunto:
732,05 x FAC (10%; 4) 000 + 1.500 + 500 P 0 = 5.000,
Para o 2.º conjunto:
196,15 x FAC (10%; 4) 000 + 500 + 1. P 0 = 5.000,
P 0 = 1.100 x FAC (10%; 1) + 2.420 x FAC (10%; 2) +
P 0 = 2.200 x FAC (10%; 1) + 1.210 x FAC (10%; 2) +
Dc = desconto comercial. d = taxa de descontos simples.
n = número de períodos.
Teremos:
V = N - Dc
No desconto comercial, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal N do título. Logo:
Dc = Ndn
Substituindo, vem:
V = N(1 - dn)
Exemplo:
Considere um título cujo valor nominal seja R$10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.
Solução :
V = 10000. (1 - 0,05. 3) = 8500
Dc = 10000 - 8500 = 1500
Resp: valor descontado = R$ 8.500,00; desconto = R$1.500,
Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as despesas administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF - imposto sobre operações financeiras. É óbvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento, através desta técnica, faz com que o valor descontado seja maior, resultando num resgate de menor valor para o proprietário do título.
Exemplo:
Um título de R$ 100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como despesas administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa de juros efetiva da operação.
Solução:
Desconto comercial: Dc = 100000. 0,05. 6 = 30000
Despesas administrativas: da = 100000. 0,02 = 2000
IOF = 100000. (0,015/360). 180 = 750
Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750
Daí, o valor líquido do título será: 100000 - 32750 = 67250
Logo, V = R$ 67.250,
A taxa efetiva de juros da operação será: i = [(100000/67250) - 1].100 = 8,12% a. m.
Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o que é amplamente favorável ao banco.
Duplicatas
Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata: Título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da fatura, e representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do direito cambiário.
Observação:
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco Central.
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura.
Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-se a um banco para trocá-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplicatas, essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições bancárias.
Exemplo:
Uma empresa oferece uma duplicata de R$ 50000,00 com vencimento para 90 dias, a um determinado banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de 1,5% a.a. , cobra 2% relativo às despesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado pela empresa e o valor da taxa efetiva da operação.
SOLUÇÃO:
Desconto comercial = Dc = 50000. 0,04. 3 = 6000
Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir:
O diagrama da figura acima, por exemplo, representa um projeto que envolve investimento inicial de 800, pagamento de 200 no terceiro ano, e que produz receitas de 500 o primeiro ano, 200 no segundo, 700 no quarto e 200 no quinto ano.
o
n
dinheiro recebido flecha para cima valor positiv Convenção: dinheiro pago flecha para baixo valor negativo
Vamos agora considerar o seguinte fluxo de caixa, onde C 0 , C 1 , C 2 , C 3 , ..., Cn são capitais referidos às datas, 0, 1, 2, 3, ..., n para o qual desejamos determinar o valor presente (PV).
O problema consiste em trazer todos os capitais futuros para uma mesma data de referencia. Neste caso, vamos trazer todos os capitais para a data zero. Pela fórmula de Valor Presente vista acima, concluímos que o valor presente resultante - NPV - do fluxo de caixa, mbém conhecido como Valor Presente Líquido (VPL), dado será:
tilizada como critério de escolha de alternativas, como eremos nos exercícios a seguir.
oja de veículos usados são apresentados ao cliente dois planos para pagamento de um carro:
ta
Esta fórmula pode ser u v
Exercícios:
1 - Numa l
Plano A: dois pagamentos, um de $ 1.500,00 no final do sexto mês e outro de $ 2.000,00 no final do décimo segundo mês.
Plano B: três pagamentos iguais de $ 1.106,00 de dois em dois meses, com início no final do segundo mês.
Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 4% a.m., qual o melhor plano de pagamento?
Inicialmente , devemos desenhar os fluxos de caixa correspondentes:
PLANO A:
Teremos para o plano A:
Para o plano B, teremos:
alor presente), concluímos o A é mais atraente do ponto de vista do consumidor.
Como o plano A nos levou a um menor valor atual (ou v que este plan
Exercício:
2 - Um certo equipamento é vendido à vista por $ 50.000,00 ou a prazo, com entrada de $ 17.000,00 mais três prestações mensais iguais a $ 12.000,00 cada uma, vencendo a primeira
