MATEMÁTICA DISCRETA PARA PROFESSORES, Notas de aula de Matemática Discreta

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• MA 12 - Matemática Discreta Edição
  • Atualizado até Junho de

Números Naturais

Sumário

1.1 Introdução....................... 2 1.2 O Conjunto dos Números Naturais.......... 3 1.3 O Axioma da Indução................. 4 1.4 As Duas Operações: Adição e Multiplicação.... 5 1.5 A Ordenação nos Números Naturais......... 6 1.6 Exercícios Recomendados............... 8 1.7 Textos Complementares................ 10

Números Naturais Unidade 1

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1.2 O Conjunto dos Números Naturais

Lentamente, à medida em que se civilizava, a humanidade apoderou-se desse modelo abstrato de contagem (um, dois, três, quatro, ...) que são os números naturais. Foi uma evolução demorada. As tribos mais rudimentares contam apenas um, dois, muitos. A língua inglesa ainda guarda um resquício desse estágio na palavra thrice, que tanto pode signicar três vezes como muito ou extremamente. As necessidades provocadas por um sistema social cada vez mais complexo e as longas reexçõs, possíveis graças à disponibilidade de tempo trazida pelo progresso econômico, conduziram, através dos séculos, ao aperfeiçoamento do extraordinário instrumento de avaliação que é o conjunto dos números naturais. Decorridos muitos milênios, podemos hoje descrever concisa e precisamente o conjunto N dos números naturais, valendo-nos da notável síntese feita pelo matemático italiano Giuseppe Peano no limiar do século 20. N é um conjunto, cujos elementos são chamados números naturais. A essência da caracterização de N reside na palavra sucessor. Intuitivamente, quando n, n′^ ∈ N, dizer que n′^ é o sucessor de n signica que n′^ vem logo depois de n, não havendo outros números naturais entre n e n′. Evidentemente, esta explicação apenas substitui sucessor por logo depois, portanto não é uma denição. O termo primitivo sucessor não é denido explicitamente. Seu uso e suas propriedades são regidos por algumas regras, abaixo enumeradas:

a) Todo número natural tem um único sucessor;

b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes;

c) Existe um único número natural, chamado um e representado pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro;

d) Seja X um conjunto de números naturais (isto é, X ⊂ N). Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de X ainda pertence a X, então X = N.

Unidade 1 O Axioma da Indução

As armações (a), (b), (c) e (d) acima são conhecidas como os axiomas de Peano. Tudo o que se sabe sobre os números naturais pode ser demonstrado como consequência desses axiomas.

• Para Saber Mais - Sobre o sistema de numeração - Clique para ler

• Para Saber Mais - Um comentário gramatical - Clique para ler

• Na Sala de Aula - Uma recomendação - Clique para ler

1.3 O Axioma da Indução

O último dos axiomas de Peano é conhecido como o axioma da indução. Ele é a base de um eciente método de demonstração de proposições referentes a números naturais (demonstrações por indução, ou por recorrência). Enunciado sob a forma de propriedades em vez de conjuntos, ele se formula assim: Seja P (n) uma propriedade relativa ao número natural n. Suponhamos que i) P (1) é válida; ii) Para todo n ∈ N, a validez de P (n) implica a validez de P (n′), onde n′^ é o sucessor de n. Então P (n) é válida qualquer que seja o número natural n. Com efeito, se chamarmos de X o conjunto dos números naturais n para os quais P (n) é válida, veremos que: 1 ∈ X em virtude de (i); e que n ∈ X ⇒ n′^ ∈ X em virtude de (ii). Logo, pelo axioma da indução, concluímos que X = N.

Definição 1 Esta formulação do Axioma da Indução é chamada de Princípio de Indução Matemática

Unidade 1 A Ordenação nos Números Naturais

1.5 A Ordenação nos Números Naturais

Nossa breve descrição do conjunto N dos números naturais termina com a relação de ordem m < n. Dados m, n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, para signicar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p. (Isto quer dizer que n é o sucessor do sucessor... do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendo iterado p vezes.) A relação m < n tem as seguintes propriedades:

Transitividade: Se m < n e n < p então m < p.

Tricotomia: Dados m, n ∈ N, vale uma, e somente uma, das alternativas: m = n, m < n ou n < m.

Monotonicidade: Se m < n então, para qualquer p ∈ N, tem-se m+p < n+p e mp < np.

Boa-ordenação: Todo subconjunto não-vazio X ⊂ N possui um menor ele- mento. Isto signica que existe um elemento m 0 ∈ X que é menor do que todos os demais elementos de X. A boa-ordenação pode muitas vezes substituir com vantagem a indução como método de prova de resultados referentes a números naturais.

São muito raros e pouco interessantes os exemplos de demonstração por indução que podem ser dados sem usar as operações fundamentais e as desi- gualdades. Por isso, somente agora apresentamos um deles, seguido de uma demonstração por boa-ordenação.

Exemplo 1. Queremos provar a validez, para todo número natural n, da igualdade P (n) : 1 + 3 + 5 +... + (2n − 1) = n^2 Usaremos indução. Para n = 1, P (1) se resume a armar que 1 = 1. Supondo P (n) verdadeira para um certo valor de n, somamos 2 n+1 a ambos os membros da igualdade acima, obtendo

1 + 3 + 5 +... + (2n − 1) + (2n + 1) = n^2 + 2n + 1,

Números Naturais Unidade 1

ou seja: 1 + 3 + 5 +... + [2(n + 1) − 1] = (n + 1)^2.

Mas esta última igualdade é P (n + 1). Logo P (n) ⇒ P (n + 1). Assim, P (n) vale para todo n ∈ N. Podemos então armar que a soma dos n primeiros números ímpares é igual ao quadrado de n.

Exemplo 2. (Usando boa-ordenação.) Lembremos que um número natural p chama-se primo quando não pode ser expresso como produto p = mn de dois números naturais, a menos que um deles seja igual a 1 (e o outro igual a p); isto equivale a dizer que os fatores m, n não podem ser ambos menores do que p. Um resultado fundamental em Aritmética diz que todo número natural é primo ou é um produto de fatores primos. Provaremos isto por boa ordenação. Usaremos a linguagem de conjuntos. Seja X o conjunto dos números naturais que são primos ou produtos de fatores primos. Observemos que se m e n pertencem a X então o produto mn pertence a X. Seja Y o complementar de X. Assim, Y é o conjunto dos números naturais que não são primos nem são produtos de fatores primos. Queremos provar que Y é vazio. Isto será feito por redução ao absurdo (como sempre se dá nas demonstrações por boa- ordenação). Com efeito, se Y não fosse vazio, haveria um menor elemento a ∈ Y. Então todos os números menores do que a pertenceriam a X. Como a não é primo, ter-se-ia a = m · n, com m < a e n < a, logo m ∈ X e n ∈ X. Sendo assim, mn ∈ X. Mas mn = a, o que daria a ∈ X, uma contradição. Segue-se que Y = ∅ , concluindo a demonstração.

Números Naturais Unidade 1

7. Use a distributividade para calcular (m + n)(1 + 1) de duas maneiras diferentes e em seguida use a lei do corte para concluir que m+n = n+m.
8. Seja X ⊂ N um conjunto não-vazio, com a seguinte propriedade: para qualquer n ∈ N, se todos os números naturais menores do que n perten- cem a X então n ∈ X. Prove que X = N. (Sugestão: boa ordenação.)
9. Seja P (n) uma propriedade relativa ao número natural n. Suponha que P (1), P (2) são verdadeiras e que, para qualquer n ∈ N, a verdade de P (n) e P (n + 1) implica a verdade de P (n + 2). Prove que P (n) é verdadeira para todo n ∈ N.
10. Use indução para provar que

13 + 2^3 + 3^3 + · · · + n^3 =^1 4

n^2 (n + 1)^2.

Unidade 1 Textos Complementares

1.7 Textos Complementares

Na Sala de Aula Reexões sobre a sala de aula Do ponto de vista do ensino em nível do ensino médio, não tem cabimento expor a Matemática sob forma axiomática. Mas é necessário que o professor saiba que ela pode ser organizada sob a forma acima delineada. Uma linha de equilíbrio a ser seguida na sala de aula deve basear-se nos seguintes preceitos:

1. Nunca dar explicações falsas sob o pretexto de que os alunos ainda não têm maturidade para entender a verdade. (Isto seria como dizer a uma criança que os bebês são trazidos pela cegonha.) Exemplo: innito é um número muito grande. Para outro exemplo, vide RPM 29, págs. 13-19.
2. Não insistir em detalhes formais para justicar armações que, além de verdadeiras, são intuitivamente óbvias e aceitas por todos sem discussão nem dúvidas. Exemplo: o segmento de reta que une um ponto interior a um ponto exterior de uma circunferência tem exatamente um ponto em comum com essa circunferência. Em contraposição, fatos importantes cuja veracidade não é evidente, como o Teorema de Pitágoras ou a Fórmula de Euler para poliedros convexos, devem ser demonstrados (até mesmo de várias formas diferentes). Excetuam-se, naturalmente, demonstrações longas, elaboradas ou que fa- çam uso de noções e resultados acima do alcance dos estudantes desse nível (como o Teorema Fundamental da Algebra, por exemplo). Provar o óbvio transmite a falsa impressão de que a Matemática é inútil. Por outro lado, usar argumentos elegantes e convincentes para demonstrar resulta- dos inesperados é uma maneira de exibir sua força e sua beleza. As demons- trações, quando objetivas e bem apresentadas, contribuem para desenvolver o raciocínio, o espírito crítico, a maturidade e ajudam a entender o encadeamento lógico das proposições matemáticas.
3. Ter sempre em mente que, embora a Matemática possa ser cultivada por si mesma, como um todo coerente, de elevado padrão intelectual, formado por conceitos e proposições de natureza abstrata, sua presença no currículo escolar não se deve apenas ao valor dos seus métodos para a formação mental dos jovens. A importância social da Matemática provém de que ela fornece modelos

Unidade 1 Textos Complementares

Na Sala de Aula Uma recomendação

Não se deve dar muita importância à eterna questão de saber se 0 (zero) deve ou não ser incluído entre os números naturais. (Vide Meu Professor de Ma- temática, pág. 150.) Praticamente todos os livros de Matemática usados nas escolas brasileiras consideram 0 como o primeiro número natural (consequente- mente 1 é o segundo, 2 é o terceiro, etc). Como se viu acima, não adotamos esse ponto-de-vista. Trata-se, evidentemente, de uma questão de preferência. Deve-se lembrar que o símbolo 0 (sob diferentes formas grácas) foi empregado inicialmente pelos maias, posteriormente pelos hindus, difundido pelos árabes e adotado no ocidente, não como um número e sim como um algarismo, com o utilíssimo objetivo de preencher uma casa decimal vazia. (No caso dos maias, a base do sistema de numeração era 20, e não 10.) De resto, a opção do número natural para iniciar a sequência não se limita a escolher entre 0 e 1. Frequente- mente esquecemos que, do mesmo modo que conhecemos e usamos o zero mas começamos os números naturais com 1 , a Matemática grega, segundo apre- sentada por Euclides, não considerava 1 como um número. Nos Elementos, encontramos as seguintes denições: Unidade é aquilo pelo qual cada objeto é um. Número é uma multitude de unidades.

Números Naturais Unidade 1

Comentários sobre Denições e axiomas Para Saber Mais

Uma denição matemática é uma convenção que consiste usar um nome, ou uma breve sentença, para designar um objeto ou uma propriedade, cuja descrição normalmente exigiria o emprego de uma sentença mais longa. Vejamos algumas denições, como exemplo.

• Ângulo é a gura formada por duas semirretas que têm a mesma origem.
• Primos entre si são dois ou mais números naturais cujo único divisor comum é a unidade.

Mas nem sempre foi assim. Euclides, por exemplo, começa os Elementos com uma série de denições, das quais selecionamos as seguintes:

• Linha é um comprimento sem largura.
• Superfície é o que possui comprimento e largura somente.
• Quando uma reta corta outra formando ângulos adjacentes iguais, cada um desses ângulos chama-se reto e as retas se dizem perpendiculares.

As denições de ângulo e de números primos entre si, dadas acima, bem como as denições de ângulo reto e retas perpendiculares dadas por Euclides, são corretas. Elas atendem aos padrões atuais de precisão e objetividade. Por outro lado, nas denições de linha e superície, Euclides visa apenas oferecer ao seu leitor uma imagem intuitiva desses conceitos. Elas podem servir para ilustrar o pensamento geométrico mas não são utilizáveis nos raciocínios matemáticos porque são formuladas em termos vagos e imprecisos. Na apresentação de uma teoria matemática, toda denição faz uso de termos especícos, os quais foram denidos usando outros termos, e assim sucessiva- mente. Este processo iterativo leva a três possibilidades: a) Continua indenidamente, cada denição dependendo de outras anteriores, sem nunca chegar ao m. b) Conduz a uma circularidade, como nos dicionários. (Onde se vê, por exemplo: compreender → perceber, perceber → entender e entender → compreender.)

Números Naturais Unidade 1

Sobre o sistema de numeração Para Saber Mais

Um engenhoso processo, chamado sistema de numeração decimal, permite representar todos os números naturais com o auxílio dos símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Além disso, os primeiros números naturais têm nomes: o sucessor do número um chama se dois, o sucessor de dois chama-se três, etc. A partir de um certo ponto, esses nomes tornam-se muito complicados, sendo preferível abrir mão deles e designar os grandes números por sua representação decimal. (Na realidade, os números muito grandes não possuem nomes. Por exemplo, como se chamaria o número 101000 ?). Deve car claro que o conjunto N = { 1 , 2 , 3 ,.. .} dos números naturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, são vazios de signicado. Cada um desses objetos (um número natural) possui apenas um lugar determi- nado nesta sequência. Nenhuma outra propriedade lhe serve de denição. Todo número tem um sucessor (único) e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual é sucessor). Vistos desta maneira, podemos dizer que os números naturais são números ordinais: 1 é o primeiro, 2 é o segundo, etc.

Unidade 1 Textos Complementares

Para Saber Mais Um comentário gramatical

Quando dizemos o número um, o número dois ou o número três, as palavras um, dois e três são substantivos, pois são nomes de objetos. Isto contrasta com o uso destas palavras em frases como um ano, dois meses e três dias, onde elas aparecem para dar a ideia de número cardinal, isto é, como resultados de contagens. Nesta frase, um, dois e três não são substanti- vos. Pertencem a uma categoria gramatical que, noutras línguas (como francês, inglês e alemão, por exemplo) é chamada adjetivo numeral e que os gramáticos brasileiros e portugueses, há um par de décadas, resolveram chamar de numeral apenas. Este comentário visa salientar a diferença entre os números naturais, olhados como elementos do conjunto N, e o seu emprego como números cardi- nais. Este segundo aspecto será abordado no capítulo seguinte.

MA12 - Unidade 1

N´umeros Naturais

Paulo Cezar Pinto Carvalho

PROFMAT - SBM January 27, 2014

Os N´umeros Naturais

N´umeros Naturais: modelo abstrato para contagem. N = { 1 , 2 , 3 , ...} Uma descri¸c˜ao precisa e concisa de N ´e dada pelos Axiomas de Peano. No¸c˜ao fundamental: a de sucessor de um n´umero natural (ou seja, o n´umero que, intuitivamente, vem logo depois dele).

PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 1 , N´umeros Naturais slide 2/