Baixe Matemática: contexto e aplicações (Volume 1) e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
LUIZ ROBERTO DANTE
Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP
Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática pela PUC – São Paulo
Mestre em Matemática pela USP
Pesquisador em Ensino e Aprendizagem da Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP
Ex-professor da rede estadual do Ensino Fundamental e Médio – São Paulo
Autor de vários livros, entre os quais: Formulação e resolução de problemas
de Matemática – Teoria e prática ; Didática da Matemática na pré-escola ;
Projeto Ápis Matemática (1º ao 5 º ano); Projeto Teláris Matemática (6º ao 9º ano);
Projeto Voaz Matemática (Ensino Médio – volume único);
Matemática – Contexto & Aplicações (Ensino Médio – volume único)
2 ª^ edição
São Paulo •^2013
CONTEXTO &
APLICAÇÕES
VOLUME 1
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
Masterfile/Other Images
Manual do Professor
Diretoria editorial: Angélica Pizzutto Pozzani
Gerência de produção editorial: Hélia de Jesus Gonsaga
Editoria de Matemática, Ciências da Natureza e suas Tecnologias:
Cármen Matricardi
Editores: Cibeli Chibante Bueno, Letícia Mancini Martins,
Luiz Paulo Gati de Cerqueira Cesar e Marcela Pontes (estags.)
Supervisão de arte e produção: Sérgio Yutaka
Editor de arte: André Gomes Vitale
Diagramação: Casa de Tipos
Supervisão de criação: Didier Moraes
Editora de arte e criação: Andréa Dellamagna
Design gráfico: Ulhôa Cintra Comunicação Visual
e Arquitetura (miolo e capa)
Revisão: Rosângela Muricy (coord.) , Claudia Virgilio (prep.) ,
Ana Paula Chabaribery Malfa, Arnaldo R. Arruda,
Luís Maurício Bôa Nova e Gabriela Macedo de Andrade (estag.)
Supervisão de iconografia: Sílvio Kligin
Pesquisadora iconográfica: Claudia Bertolazzi
Cartografia: Allmaps, Juliana Medeiros de Albuquerque
e Márcio Santos de Souza
Tratamento de imagem: Cesar Wolf e Fernanda Crevin
Foto da capa: Masterfile/Other Images
Ilustrações: Dam d’Souza, Formato Comunicação
e Paulo Manzi (aberturas das unidades)
Direitos desta edição cedidos à Editora Ática S.A.
Av. Otaviano Alves de Lima, 4400
6
o
andar e andar intermediário ala A
Freguesia do Ó – CEP 02909-900 – São Paulo – SP
Tel.: 4003-
www.atica.com.br/editora@atica.com.br
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Dante, Luiz Roberto
Matemática : contexto & aplicações / Luiz Roberto
Dante. – 2. ed. – São Paulo : Ática, 2013.
Obra em 3 v.
- Matemática (Ensino médio) I. Título.
13–03268 CDD–510.
Índice para catálogo sistemático:
- Matemática: Ensino médio 510.
2013
ISBN 978 8508 16299-4 (AL)
ISBN 978 8508 16300-7 (PR)
Código da obra CL 712767
Uma publicação
Versão digital
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Monique Matos de Oliveira, Alterson Luiz Cação,
Letícia Mancini Martins (estag.) e Marcela Pontes (estag.)
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Drielly Galvão Sales da Silva, José Victor de Abreu e
Michelle Yara Urcci Gonçalves
Assistentes de produção de tecnologia de educação: Alexandre Marques,
Gabriel Kujawski Japiassu, João Daniel Martins Bueno, Paula Pelisson Petri,
Rodrigo Ferreira Silva e Saulo André Moura Ladeira
Desenvolvimento dos objetos digitais: Agência GR8, Atômica Studio,
Cricket Design, Daccord e Mídias Educativas
Desenvolvimento do livro digital: Digital Pages
Cada volume da coleção é
dividido em quatro unidades
nas quais você encontrará os
seguintes boxes e seções:
UNIDADE
1
Números
e funções
10 11
Área , km Densidade , hab./km IDH , PIB R , bilhões População
Área , km Densidade hab./km IDH , PIB R , bilhões População
Área km Densidade , hab./km IDH , PIB R , bilhões População
Área , km Densidade , hab./km IDH , PIB R , bilhões População
Área , km Densidade , hab./km IDH , PIB R , bilhões População
Área km Densidade hab./km IDH , PIB R , bilhões População
Área , km Densidade hab./km IDH , PIB R , bilhões População
Área , km Densidade , hab./km IDH , PIB R , bilhões População
Área , km Densidade hab./km IDH , PIB R , bilhões População
Área ,km Densidade hab./km IDH , PIB R , bilhões População
Área km Densidade , hab./km IDH , PIB R , bilhões População
Área , km Densidade , hab./km IDH , PIB R , bilhões População
Museu de Artes e Ofícios.
Ponte de Todos, Newton Navarro.
Praça dos Três Poderes, monumento Os Candangos.
Centro Cultural Usina do Gasômetro.
Arsenal de Guerra da Capitania de Mato Grosso. Teatro Santa Isabel.
Jardim Botânico. Cristo Redentor.
Teatro José de Alencar. Elevador Lacerda.
Teatro Amazonas. Estação da Luz.
Brasília (DF)
Curitiba (PR)
Porto Alegre (RS)
Manaus (AM)
Cuiabá (MT)
Fuleco, o tatu-bola mascote da Copa do Mundo de .
O Brasil é uma república federativa constituída político-administrativamente por estados e um distrito federal, que estão agrupados em cinco regiões. Os estados estão divididos em municípios, que totalizam, aproximadamente, em todo o país, entre os quais foram escolhidos doze para receber os jogos da Copa do Mundo de , sediada no Brasil.
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. Qual é a cidade-sede da Copa com maior Índice de Desenvolvimento Humano (IDH)? . Qual é a região do Brasil com maior número de cidades-sede da Copa?
Fonte de dados: <www.portal .org.br/cidades-sedes>. Acesso em: mar. .
Fortaleza (CE)
Recife (PE)
Salvador (BA)
Belo Horizonte (MG)
Rio de Janeiro (RJ) São Paulo (SP)
Natal (RN)
Fortaleza (CE)
Curitiba (PR)
Cuiabá (MT)
Manaus (AM)
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São Paulo (SP)
Salvador (BA)
Rio de Janeiro (RJ)
Recife (PE)
Porto Alegre (RS)
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Brasília (DF)
12
Os números naturais (inteiros positivos) e as razões entre eles (ra- cionais) eram os únicos tipos de números trabalhados pelos gregos até o século V a.C. Eles acreditavam que esses números fossem suficien- tes para comparar duas grandezas quaisquer de mesma espécie – segmentos de reta, áreas, volumes, etc. A primeira grande crise no desenvolvimento da Matemática ocorreu quando se percebeu que havia segmentos de reta cuja medida não correspondia a nenhuma razão entre dois números naturais, o que significava que a reta numerada continha pontos que não correspon- diam a nenhum número conhecido. Esses novos números foram cha- mados irracionais. O “número de ouro” dos gregos, símbolo da harmonia e da beleza, é um dos mais famosos exemplares dos números irracionais, represen-
tado por
1 5 2
,
1 que corresponde, na forma decimal, ao número
1 , 61803398 ... Esse número está presente em diversos elementos da natureza, arte, arquitetura, música e literatura. Veja alguns exemplos:
- O caramujo Nautilus marinho apresenta a razão áurea em seu cor- po segmentado em forma de espiral, chamada espiral de ouro. Pode-se construí-la a partir de retângulos cujos lados estão na razão áurea. - A obra Mona Lisa (1503-1506), de Leonardo da Vinci ( 1452 - 1519 ), apre- senta a razão áurea em várias partes. Por exemplo, se fizermos um retângulo ao redor do seu rosto e dividirmos a medida do compri- mento pela largura, obteremos o número de ouro. - O Partenon, em Atenas, na Grécia, é um templo grego construído por volta de 440 a.C., cuja medida da largura dividida pela altura resulta em aproximadamente 1 , 6 m. - O modelo de violino Stradivarius é conhecido por sua qualidade de som. Antônio Stradivari ( 1644 - 1737 ), que foi o construtor desse modelo, seguia uma simetria perfeita, ou seja, se medirmos o comprimento total do violino e medirmos o comprimento do tam- po e depois dividirmos esses números obtidos, obteremos o nú- mero de ouro. A construção dos conjuntos numéricos permaneceu por séculos como uma grande questão entre os matemáticos, sendo amplamente pesquisada, e culminando, no século XIX, com a teoria dos conjuntos de George Cantor ( 1845 - 1918 ).
Grandeza : algo que pode ser medido.
Nautilus com a concha vazia.
Geanina Bechea/Shutterstock/Glow Images
1
CAPÍTULO
Conjuntos
numéricos
Violino do modelo Stradivarius.
Reuters/Latinstock
CapítulOÓ Função exponencial 171
«Resolvido passo a passo
11. (Uneb-BA) A expressão P ( t ) K 20 ,^05 t^ fornece o número P de milhares de habitantes de uma cida- de, em função do tempo t , em anos. Se em 1990 essa cidade tinha 300 000 habitantes, quantos habitantes, aproximadamente, espera-se que ela tenha no ano 2000? a) 352 000 c) 423 000 e) 441 000 b) 401 000 d) 439 000 1. Lendo e compreendendo a) O que é dado no problema? É dada uma função exponencial que rela- ciona o número esperado de habitantes da cidade com o ano: P ( t ) K 20 ,^05 t. Tam- bém é dada a população da cidade em 1990 : 300 mil habitantes. b) O que se pede? O número esperado de habitantes na cidade citada no ano 2000.
2. Planejando a solução A função dada relaciona a população esperada da cidade com o ano. Entretanto, a função não é inteiramente conhecida, pois existe uma cons- tante K que precisaremos determinar para conhe- cer a função e depois obter a população no ano
- Para obter a constante K , usaremos um dado conhecido: em 1990 a população era de 300 mil habitantes. Então, uma primeira estraté- gia a ser seguida pode ser: 1 o) obter K usando os dados conhecidos de 1990 ; 2 o) substituir o valor de K na função para conhecê-la; 3 o) usar a função para estimar a população da cidade em 2000. 3. Executando o que foi planejado Se em 1990 a população era de 300 mil habi- tantes, temos P ( 1990 ) 300 000. Então: 300 000 K 20 ,^05 1990 ⇒ 300 000 K 299 ,^5 ⇒
⇒ K
300 000 2 99, Não há necessidade de desenvolver melhor o valor de K , uma vez que seu valor está sendo de- terminado apenas para que a função exponen- cial seja conhecida completamente. Vamos substituí-lo na função: P t ( ) 300 000 t 2 99,5^2 0, Com a função completamente determinada, podemos agora obter P ( 2 000 ), que é a popu- lação esperada no ano 2000. P
P
(2 000) 300 000^ t 2 99,5^2 0,05^ 2 000^ ⇒ ⇒ ((2 000) 300 000 2 99,5^2100
Neste momento, observe a ocorrência de uma das propriedades da potenciação – divisão de potências de mesma base: 2 2
2 2
100 99,
100 99,5 0,
Assim, temos P ( 2 000 ) 300 000 20 ,^5. Atenção : Lembre-se de que potências com ex- poentes racionais são raízes: 2 0,5 2 2.
1 2 Agora, temos P ( 2 000 ) 300 000 2. Estimando 2 como o decimal 1 , 41 , temos: P ( 2 000 ) 300 000 1 , 41 423 000 Então, em 2000 , espera-se que a população seja, aproximadamente, de 423 000 habitantes.
4. Verificando Vamos resolver essa questão de outra maneira: P ( 1 990 ) K 20 ,^05 1 990 ⇒ P ( 1 990 ) K 299 ,^5 ⇒ ⇒ K P (1990) 2 99, P ( 2 000 ) K 20 ,^05 2 000 ⇒ P ( 2 000 ) K 2100 Substituindo K na expressão anterior, temos:
P
P (2 000)
(1990) 2 99,5^2 300 000
100 2
1000 2 99 5 , 300 000 2 0,5^ 300 000 2 300 00 0 0 1, 423000 Isso confirma o resultado obtido.
5. Emitindo a resposta A resposta é a alternativa c.
6. Ampliando o problema a) Qual é a população esperada para essa cida- de em 2010? E em 2030? b) Interprete o que está ocorrendo com a po- pulação dessa cidade de 20 em 20 anos, ou seja, de 1990 a 2010 , de 2010 a 2030. Isso parece algo razoável em termos reais? c) Discussão em equipe Converse com seus colegas sobre o cresci- mento populacional e como isso pode afetar a vida dos moradores de uma cidade. O que pode ocorrer se uma cidade tiver um grande aumento populacional em um curto interva- lo de tempo? Pensem nos pontos positivos e nos negativos. Que medidas podem ser to- madas pelas autoridades para evitar que a qualidade de vida dos cidadãos seja afetada pelo crescimento populacional? d) Pesquise Qual é a maior cidade do planeta em termos de população (apenas área urbana, sem con- tar a região metropolitana)? Onde fica? Quantos habitantes tem?
Exercício resolvido
passo a passo
Apresenta a resolução detalhada de
uma questão ou problema. Não são
modelos a serem seguidos, mas
visam inspirar e indicar estratégias
de resolução.
Conheça
seu livro
Para refletir,
Fique atento!
e Você sabia?
Pequenos boxes que trazem questões para
reflexão ou dicas importantes para o estudo.
Exercícios
Essenciais para a aprendizagem. Ajudam a
fixar e aprofundar os conteúdos estudados.
34 UnidadEÓ Números e funções
Operações com intervalos Como intervalos são subconjuntos de com eles. As operações de R, é possível fazer operações intersecção , união , diferença serão apresentadas por meio de exercícios resolvidos. e complementar Para refletir Analise os possíveis significados de 3 , 5 , ( 3 , 5 ) e 3 , 5.
Exercícios
36. Dados os conjuntos a seguir, determine o que se pede: a) A 2 , 4 e B 3 , 6 : A B , A (^) B e A B b) A x R (^) x 4 e B x B (^) A R x 1 : A (^) B e c) A 2 , 0 ) e B 1 , : A B e A B 37. Dados A ( 5 , 2 , B a) A B C^6 ,^6 e^ C^ (^ , 2 , calcule: c) ( A B ) C b) A B (^) C d) A ( B C ) 38. Dados os intervalos A 1 , 4 , B 1 , 5 , C 2 , e D (^) ( 1 , 3 , verifique se 1 pertence ao conjunto 4 ( A B ) ( C (^) D ). 39.^ ATIVIDADEEM DUPLA O diagrama de Venn para os conjuntos e C decompõe o plano em oito regiões. Desenhem o A , B diagrama, numerem as regiões e exprimam cada um dos conjuntos abaixo como reunião de algumas des- sas regiões. a) ( A ^ B ) (^) b) ( A ^ B ) C
Exercício resolvido
4. Dados A x R a)^1 x^^1 e^ B^ 0 , 5 ). Determine: A B ; (^) b) A B ; c) A B ; (^) d) AB. Resolução: a) A B
1 0
5
0
1
(^1 )
5
A
B
A B A (^) B x R 0 b) A B x 1 0 , 1
1
5
0
(^1 )
5
A B
B
A
A (^) B x R c) (^) A B 1 x (^5 1) , 5
1 0
5
0
(^1 )
A (^) B
B
A
A B x (^) R 1 x 0 d) AB 1 , 0 AB não se define, pois A B. CapítulOÓ Conjuntos numéricos 15
3 Conjunto dos números naturais (
N )
“Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens.” Leopold Kronecker
O conjunto dos números naturais é representado por: N 0 ,^1 ,^2 ,^3 ,^4 ,^5 ,^6 ,^7 ,^
8 , ...
O primeiro elemento desse conjunto é o zero. O
sucessor do zero é o^1 ,
o sucessor do^1 é o^2 , e assim por diante. Representa-se o sucessor de um número natural qualquer^ n^ por
n 1. Como sempre podemos obter o
sucessor de um número natural, dizemos que o conjunto dos números naturais é^ infinito. Tal fato é representado pelas reticências (...) no final. Os números naturais são usados nas
contagens^ (por exemplo: a
população brasileira é de aproximadamente
190 milhões de habitantes),
nos códigos^ (por exemplo: o CEP de uma empresa em São Paulo é 02909 - 900 ) e nas^ ordenações^
(por exemplo: o 1 o^ estado brasileiro em
superfície é o Amazonas e o^2
o (^) é o Pará). Às vezes, são usados também
para expressar^ medidas de grandezas
: 8 horas, 10 cm,^3 litros,^50 kg,
100 km/h, 1 570 745 km
(^2) , etc.
Para refletir
- Qualquer número natural tem um único sucessor?
- Números naturais diferentes têm sucessores diferentes?
- O zero é o único número natural que não é sucessor de nenhum outro?
- Existe um número natural que é maior do que todos os outros?
Hodômetro: os números indicam a quantidade de quilômetros já percorridos por um carro.
Yuri
Tuchkov/Shutterstock/
Glow Images
Placa de carro: os números representam códigos de identificação.
Lara S.A. Iwanicki/kino.com.br
Pódio: os números indicam a ordem dos vencedores.
Superstudio/Getty Images
Um subconjunto^ importante de^ N^ é o conjunto
N*, obtido excluindo
o zero de N: N* 1 , 2 ,^3 ,^4 ,^5 ,^6 , ...
Um subconjunto de^ N^ ou parte de
N é o conjunto dos números
naturais pares ( P ): P 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 ,^12 , ...^ ou P^
2 n ; n N
Indicamos assim:^ P^ N. (Lê-se^ P^ é um subconjunto de
N ou P está
contido em N ou P^ é parte de^ N.) N P
Em N é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação, ou seja, a soma e o produto de dois números naturais sempre resultam em um número natural. Já a subtração
3 4 , por exemplo, não é
possível em N. Daí a necessidade de ampliar o conjunto
N introdu-
zindo os números negativos.
Fique atento! Sempre que queremos excluir o zero de um conjunto, colocamos o asterisco ( ) no símbolo que o representa, por exemplo^ N*,^ R
*, etc.
Você sabia?
- Todo número par^ p^ pode ser escrito na forma p^2 n , em que^ n^ é natural.
- S e m e n são naturais, então^ m^ n^ e m n também serão sempre naturais.
As imagens desta página não estão em proporção entre si.
126 6NIDADEÓ Função afim e função quadrática
Gráfico da função quadrática no computador Agora, vamos aprender a construir gráficos de funções quadráticas usando outro software livre, o Geogebra. Este é um software matemático, criado por Markus Hohenwarter, que reúne Álgebra e Geo- metria. Ele pode ser utilizado em todos os níveis de ensino e já recebeu diversos prêmios na Euro- pa e nos Estados Unidos. A instalação desse software é simples:
- Acesse o site <www.geogebra.org/cms/pt_BR> e clique em “Download”. Veja a reprodução da tela a seguir: - Clique em “ Webstart ”, faça o download e siga os passos automáticos de instalação do programa. Depois disso, você já pode usá-lo. Ao abrir o software você verá a seguinte tela:
Observe que destacamos acima o nome das partes que compõe a tela inicial do software.
Agora, faça as atividades a seguir.
- Construa o gráfico da função quadrática f ( x ) 5 x^2 2 6 x 1 5 e destaque alguns pontos importantes. Para isso, siga os passos abaixo. 1 o^ passo : No campo Entrada (situado na parte inferior da tela) escreva a função f ( x ) 5 x ^ 2 2 6 x 1 5 e tecle “Enter”. Observe que “ ^ ” indica a operação de potenciação.
2 o^ passo : Para obter as raízes da função f , ain- da no campo de entrada, digite raiz [ f ] e tecle “Enter”. Veja que foram criados os pontos A 5 ( 1 , 0 ) e B 5 ( 5 , 0 ), que são as raízes da função. 3 o^ passo : Para obter o vértice da parábola, digite Extremo[ f ] e tecle “Enter”. Assim, foi criado o ponto C 5 ( 3 , 24 ), que corresponde ao vértice da parábola. 4 o^ passo : Agora, vamos determinar o ponto em que a parábola intersecta o eixo das ordenadas (eixo y ). Para isso, digite no campo de entrada Interseção[ f , x 5 0 ] e tecle “Enter”. Observe que o ponto de intersecção com o eixo y , ponto D 5 ( 0 , 5 ), tem como ordenada o valor do termo independente ( c ) da função quadrática.
barra de menu
zona algébrica zona gráfica
barra de ferramentas
entrada de comando
Fotos: Reprodução/<www.geogebra.org>
Matemática
tecnologia
e
Matemática
e tecnologia
Sugestões de atividades em que o
computador é utilizado para visualizar
e manipular gráficos e tabelas. Uma
oportunidade de trabalhar com a
Matemática dinâmica.
Abertura de unidade
Duas páginas que proporcionam
o primeiro contato com um
dos assuntos que será abordado
na unidade.
Abertura de capítulo
Texto introdutório com o objetivo
de apresentar, por meio de uma
situação real ou contexto histórico,
o conteúdo que será estudado no
capítulo.
Atenção! Ainda que seja pedido
“Assinale”, “Indique”, etc.
em algumas questões, nunca
escreva no livro. Dê todas as
respostas no caderno.
Objeto Educacional Digital
Este ícone indica Objetos Educacionais
Digitais relacionados aos conteúdos
do livro.
ATENÇÃO!
Não escreva no
seu livro!
6666 Unidade 1 • Números e funções Capítulo 2 • Funções 6767
Obesidade
Quando comemos mais do que precisamos, o excesso é armazenado em forma de gordura. Em outras palavras, se o número de calorias que “entra” no corpo for maior que o de calorias que “sai”, engordamos. Esse desequilíbrio pode ser gerado por hábitos alimentares errados, pouca atividade física, fatores hereditários, pro- blemas glandulares, etc. O armazenamento de gordura que se aproxima de um nível que compromete a saúde de uma pessoa é chamado de obesidade.
Papel confuso da gordura na doença Foi estabelecida uma nítida associação entre obesidade e várias enfermidades sérias, entre elas diabetes, hipertensão, doenças cardiovasculares e até alguns tipos de câncer, embora muitos aspectos dessa relação não tenham sido explicados. Ain- da assim, a definição médica mais comum de obesidade baseia-se em evidências de efeitos adversos sobre a saúde em pessoas acima do peso. O índice de massa corporal (IMC) é um dos parâmetros utilizados para identificar sobrepeso e obesidade. Esse índice é calculado com a massa de uma pessoa, em quilo- gramas, dividida pelo quadrado da sua altura, em metros. Já que uma maior mortali- dade é encontrada em pessoas com IMC maior do que 30 , esse número tornou-se um dos principais parâmetros para definir a obesidade. Um IMC entre 25 e 30 é chamado sobre- peso, refletindo já alguma conexão com efeitos adversos à saúde. Essas relações epide- miológicas entre IMC e en- fermidade, contudo, po- dem variar em diferentes subpopulações. E nenhum número preciso permite que os médicos determi- nem qual quantidade de gordura excedente causará uma doença. Algumas pes- soas têm problemas de saú- de com o IMC abaixo de 25 , enquanto outras permane- cem sadias com IMC maior do que 30.
Disponível em: <http://g 1 .globo.com/ ciencia-e-saude/noticia/ 2012 / 04 /quase- metade-da-populacao-esta-acima-do--peso-diz-saude.html>. Acesso em: 28 jan. 2013.
Além das diferenças entre as populações, a localização da gordura armazenada no corpo também parece ser uma variável importante. O tecido adiposo se acumu- la sob a pele na maioria das áreas corporais, bem como dentro e ao redor dos órgãos internos, especialmente no abdômen. Muitos estudos sugerem que diabetes e do- enças cardiovasculares, em particular, estão ligadas a essa gordura intra-abdominal, ou visceral. Em alguns casos, é relativamente improvável que um excesso signifi- cativo de gordura nos quadris e coxas – que produz a forma de “pera” no corpo – cause essas doenças quando não estiver presente também a gordura abdominal em excesso. Essa última, presente no corpo em forma de “maçã”, está altamente associada a diabetes e outros desequilíbrios metabólicos, mesmo na ausência de gordura abundante na parte inferior do corpo. Adaptado de: FLIER, Jeffrey; FLIER, Eleftheria. Scientific American Brasil , 65. ed., out. 2007.
Trabalhando com o texto
- Há palavras no texto que você desconhece? Se sim, procure-as em um dicionário.
- O índice de massa corporal (IMC) é dado pela fórmula IMC ,
p a^2 em que^ p^ é a massa, em quilogramas, e a é a altura, em metros, do indivíduo. A avaliação de um peso, se está normal, abaixo ou acima do peso ideal, é feita de acordo com a seguinte tabela:
a) Determine o IMC de Amanda, que tem 1 , 60 m de altura e 51 , 2 kg de massa. b) Classifique o IMC de Amanda segundo a tabela ao lado. c) Qual é a altura mínima para que uma pessoa de massa 108 , 3 kg seja considerada com sobrepeso?
Pesquisando e discutindo
- Muitas pessoas acreditam que um bebê ou uma criança “gordinha” é sinônimo de boa saúde. Você concorda com isso?
- Quais medidas podem ser tomadas para evitar a obesidade?
- Uma dieta equilibrada não significa eliminar o consumo total de gordura. Pesquise quais são os benefícios da ingestão de alguns tipos de gordura para o nosso organismo.
Veja mais sobre o assunto
Procure mais informações em jornais, revistas e nos sites :
- Artigo Cinturas avantajadas do Dr. Dráuzio Varella: <http://drauziovarella.com.br/doencas- e-sintomas/obesidade/cinturas-avantajadas/>;
- Associação Brasileira para o Estudo da Obesidade e da Síndrome Metabólica: <www. abeso.org.br>.
Fonte: Abeso (Associação Brasileira para o Estudo da Obesidade e da Síndrome Metabólica). Disponível em: <http://www.abeso. org.br/calcule-seu-imc.shtml>. Acesso em: 5 nov. 2012.
Categoria IMC Abaixo do peso Abaixo de 18 , 5 Peso normal 18 , 5 - 24 , 9 Sobrepeso 25 , 0 - 29 , 9 Obesidade Grau I 30 , 0 - 34 , 9 Obesidade Grau II 35 , 0 - 39 , 9 Obesidade Grau III 40 , 0 e acima
Outros
contextos
202 203
Vestibulares de Norte a Sul
Unidade 3 • Função exponencial e função logarítmica Capítulo 6 • Logaritmo e função logarítmica
Região Norte
1. Química (UFPA) A quantidade x de nicotina no sangue di- minuiu com o tempo t de acordo com a função x x
kt 0 e 2. Se a quantidade inicial x 0 se reduz à metade em 2 horas, em 5 horas existirá no sangue: (Se necessário considerar 2 1,41 .) a) 17 , 4 % de x 0. d) 20 , 3 % de x 0. b) 17 , 7 % de x 0. e) 20 , 6 % de x 0. c) 20 , 0 % de x 0.
2. Biologia (UFRR) Em pesquisa recente realizada por cientistas brasileiros de uma universidade federal comprova- ram que a ariranha e o mico-leão-dourado são es- pécies em extinção no Brasil. Com o objetivo de preservar essas espécies, foram reunidos numa re- serva florestal 120 ariranhas e 80 micos-leões-dou- rados. Constatou-se, após alguns anos, que o cres- cimento da população de ariranhas foi 5 % ao ano e que a população de micos cresceu à taxa de 10 % ao ano. Em quanto tempo, aproximadamente, após a reunião desses animais na reserva, o número de mi- cos deve chegar ao dobro do número de ariranhas? (Use log 3 0 , 477 e log 1 , 047 0 , 019 .) a) 25 anos b) 20 anos c) 30 anos d) 15 anos e) 10 anos
Região Nordeste
3. Química (Uneb-BA) Cada elemento radioativo, seja natural ou obtido artificialmente, se desintegra a uma velo- cidade que lhe é característica. Meia-vida é o tempo necessário para que a sua atividade seja reduzida à metade da atividade inicial. O cobalto 60 , cuja radia- ção é muito utilizada em equipamentos de radiote- rapia, tem meia-vida de 5 anos. Nessas condições, o tempo necessário para que 800 g de cobalto 60 sejam reduzidos, por desintegração, a 12 , 5 g, em anos, é igual a: a) 20. b) 25. c) 30. d) 35. e) 40. 4. Ciências Sociais (UFPE) Um boato se espalha da seguinte maneira: no primeiro dia, apenas uma pessoa tem conheci- mento dele; no segundo, ela conta a outras três pes- soas e, a cada dia que passa, todas as pessoas que sabem do boato contam-no para três novas pessoas. Assim, a sequência formada pelo número de pesso- as que sabem do boato, em termos dos dias que passam, é dada por 1 , 4 , 16 , 64 ... Em uma cidade com 1 , 5 milhão de habitantes, quantos dias serão neces- sários para que todas as pessoas sejam informadas do boato? (Aproxime sua resposta para o menor inteiro maior ou igual ao valor obtido. Dados: use a aproximação log 2 ( 1 , 5 106 ) 20 , 52 .) a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 5. (UFRN) Se log 5 x log 5 y 3 , com x e y inteiros maiores que 1 , então: a) x y 15. b) x y 20. c) x y 25. d) x y 30.
Região Centro-Oeste
6. Física (UFG-GO) A lei de resfriamento de Newton estabele- ce para dois corpos, A e B , com temperaturas de 80 °C e 160 °C, respectivamente, imersos num meio com temperatura constante de 30 °C, que as temperaturas dos corpos, após um tempo t , serão dadas pelas fun- ções TA 30 50 10 kt^ e TB 30 130 10 2 kt^ em que k é uma constante. Qual será o tempo decorrido até que os corpos tenham temperaturas iguais? a) ( 1 k )log 5
b) 2 18
( k ) 5
log
c) 1 13
( k ) 5
log
d)
2 5
( k )log 2
e)
1 2
( k )log 5
7. Física (UEG-GO) A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I 0 até I 8 , 9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula: I E E
(^210) , 3 0
log
em que E é a
energia liberada no terremoto em quilowatts-hora e E 0 7 10 3 kWh. Aumentando em uma unidade a intensidade do terremoto, a energia liberada fica multiplicada por um número: a) no intervalo de 30 a 40. c) no intervalo de 20 a 30. b) maior que 40. d) menor que 20.
8. Química (UnB-DF) Suponha que a função y t ( ) ( ) 3 1
a a a
P P descreva a população de microrganismos no solo de um terreno com resíduos tóxicos no instante t 0 , dado em minutos contados a partir do instante ini- cial t 0 , e que essa função satisfaça as seguintes condições: I. número de microrganimos em t 0 é 5 109. II. P 102 a. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem: a) O valor de P é superior a 1012. b) O quociente y a
( ) (^2) é inferior a 9.
Região Sudeste
9. Biologia (PUCC-SP) Todo indivíduo que durante a sua vida nor- mal produz ovos ou sementes deve ser destruído em qualquer período de sua existência, ou durante uma estação qualquer porque, de outro modo, com base na progressão geométrica, o número de seus descen- dentes aumentaria tanto que nenhuma região con- seguiria suprir suas necessidades de alimentos. DARWIN, Charles. A origem das espécies. São Paulo: Martin Claret, 2005. p. 126. Com base na teoria evolucionista de Darwin, consi- dere uma fêmea de mariposa que deposite 150 ovos, chegando a 5 gerações em um ano. Supondo que 2 3 dos ovos de cada mariposa morrem e que 50 % das mariposas remanescentes sejam fêmeas, então, ao final de 1 ano, o número de descendentes fêmeas, de uma única mariposa: (Use: 510 9 765 625 .) a) será maior que 17 milhões. b) estará compreendido entre 15 milhões e 17 milhões. c) estará compreendido entre 13 milhões e 15 milhões. d) estará compreendido entre 11 milhões e 13 milhões. e) será menor que 11 milhões. 10. Química (UFU-MG) A acidez de uma solução líquida é medida pela concentração de íons de hidrogênio H na so- lução. A medida de acidez usada é o pH, definido por pH log 10 H , em que H é a concentração de íons de hidrogênio. Se uma cerveja apresentou um pH de 4 , 0 e um suco de laranja, um pH de 3 , 0 , então, relativamente a essas soluções, é correto afirmar que a razão (concentração de íons de hidrogênio na cerveja), quociente (concentração de íons de hidro- gênio no suco), é igual a: a) 0 , 001. b) 0 , 01. c) 0 , 1. d) 0 , 0001.
Região Sul
11. Química (Unisc-RS) As substâncias radioativas emitem partí- culas e apresentam uma tendência natural a se de- sintegrar. Assim, com o passar do tempo, sua massa vai diminuindo. Suponha que um certo material radioativo perde, todo dia, 5 % da massa que possuía no dia anterior. Se hoje ele tem 15 g, que massa terá, aproximadamente, daqui a 2 dias? a) 13 g d) 12 , 22 g b) 13 , 54 g e) 9 , 85 g c) 8 , 4 g 12. Química (UEL-PR) O Iodo- 131 é um elemento radioativo utili- zado em Medicina nuclear para exames de tireoide e possui meia-vida de 8 dias. Para descarte de ma- terial contaminado com 1 g de Iodo- 131 , sem prejuízo para o meio ambiente, o laboratório aguarda que o mesmo fique reduzido a 10 6 g de material radioa- tivo. Nessas condições, o prazo mínimo para descar- te do material é de: (Dado: log 10 ( 2 ) 0 , 3 .) a) 20 dias. b) 90 dias. c) 140 dias. d) 160 dias. e) 200 dias. 13. (PUC-RS) A equação 3 x^ 6 pode ser solucionada por meio da análise do gráfico da função f dada por: a) f ( x ) 2 x. b) f ( x ) 3 x. c) f ( x ) 3 x. d) f ( x ) x 3. e) f ( x ) log 3 x.
Outros contextos
Temas relevantes e atuais que tratam de situações práticas,
articulando a Matemática com outras disciplinas e com temas como
saúde, sociedade, meio ambiente entre outros.
Vestibulares de Norte a Sul
Questões de vestibulares, de todas as regiões geográficas do Brasil,
relacionadas aos conteúdos estudados.
Pensando
no Enem
Atividades
contextualizadas que
visam o desenvolvimento
das competências e
habilidades previstas na
Matriz do Enem.
Caiu no Enem
Questões extraídas do
Enem classificadas de
acordo com as unidades.
Capítulo 2 • Funções 65
Pensando
noENEM
1. Biologia Quando se praticam exercícios físicos, deve-se tomar cuidado com os excessos. Uma das maneiras de monito- rar a intensidade do esforço aeróbico é medindo a frequência cardíaca (número de batimentos do coração por minuto) e cuidando para que esse valor fique sempre dentro do recomendado para cada tipo de treinamento, para cada indivíduo. Esses valores devem ser determinados por um médico, mas, como curiosidade, saiba que existem algumas fórmulas empíricas utilizadas para isso. Por exemplo, a frequência cardíaca de treino (FC
treino)
para quem deseja queimar calorias pode ser dada por: FCtreino^
FCrep 0 , 7 (FCmáx FCrep), em que FCmáx
é a frequência cardíaca máxima e FCrep^ é a frequência cardíaca em repouso do indivíduo. Para homens, a frequência cardíaca máxima é determinada empiricamente subtraindo-se de
220 a idade do indivíduo:
FCmáx 220 idade. Suponha que um homem de^40 anos deseje perder peso. Em repouso, sentado, ele pressiona o pulso duran- te 15 segundos e conta^20 batimentos cardíacos. De acordo com o texto, qual seria a frequência cardíaca de treino para essa pessoa? a) 126 bpm b)^144 bpm^ c)^150
bpm d) 154 bpm e)^160 bpm
2. Física Dois irmãos, João e Pedro, desejam visitar a mãe deles em São Carlos, SP. João está saindo de carro de São José do Rio Preto, SP, distante 447 km de São Paulo, SP, e Pedro está saindo de ônibus, de São Paulo. João conclui, de acordo com os dados de seu GPS, que a função que define o espaço percorrido (em km) por seu car- ro em função do tempo (em horas de viagem) é S ( t ) 100 t. Pedro, por sua vez, consultando o GPS de seu celular, conclui que a velocidade média do ônibus em que viaja é de^86 km/h. Considere as três cidades perfeitamente alinha- das, e que João e Pedro iniciaram suas viagens exatamente no mesmo horário. De acordo com os dados do enunciado, a distância entre eles após
1 , 5 h de viagem será de:
a) 129 km. b)^165 km.^ c)^
168 km. d) 294 km. e)^299 km.
3. (Enem) A figura ao lado apresenta dois gráficos com infor- mações sobre as reclamações diárias recebidas e resolvidas pelo Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma em- presa, em uma dada semana. O gráfico de linha tracejada informa o número de reclamações recebidas no dia, o de linha contínua é o número de reclamações resolvidas no dia. As reclamações podem ser resolvidas no mesmo dia ou demorarem mais de um dia para serem resolvidas. O gerente de atendimento deseja identificar os dias da semana em que o nível de eficiência pode ser considerado muito bom, ou seja, os dias em que o número de reclama- ções resolvidas excede o número de reclamações recebidas. Disponível em: http://bibliotecaunix.org. Acesso em:
21 jan. 2012 (adaptado).
O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no conceito de eficiência utilizado na empresa e nas in- formações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito bom na a) segunda e na terça-feira. b) terça e na quarta-feira. c) terça e na quinta-feira.
d) quinta-feira, no sábado e no domingo. e) segunda, na quinta e na sexta-feira.
20
30
10
(^0) Qui Sex Sáb Dom Seg Ter Qua
Adaptado de: IBGE.^ Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro,
50º O
Trópico de Capricórnio
MS MG
ATLÂNTICO^ OCEANO PR
São Paulo RJ
S‹o Carlos
S‹o JosŽ do Rio Preto
LEGENDA Capital Munic’pio
São José do Rio Preto, São Carlos e São Paulo 0 1 km Allmaps/Arquivo da editora
« Veja a seção Caiu no Enem^ no final do livro.
Capítulo 5 • Função exponencial 173
Césio 137 – o maior acidente radioativo do Brasil
horas após o contato com a substância, o que levou um grande número de pessoas à procura de hospi- tais e farmácias, sendo medicadas apenas como portadoras de uma doença contagiosa. Mais tarde descobriu-se que se tratava de sintomas de uma síndrome aguda de radiação. Somente no dia 29 de setembro de 1987 é que os sintomas foram qualifi- cados como contaminação radioativa. Os médicos que receberam o equipamento solicitaram a presença de um físico, pois tinham a suspeita de que se tratava de material radioa- tivo. Então o físico nuclear Valter Mendes, de Goiânia, constatou que havia índices de radiação. Por suspeitar da gravidade do acidente, ele acio- nou a então Comissão Nacional Nuclear (CNEN). Uma das primeiras medidas foi separar todas as roupas das pessoas expostas ao material ra- dioativo e lavá-las com água e sabão para a des- contaminação externa. Após essa medida, as pessoas tomaram um quelante (substância que elimina os efeitos da radiação). Com ele, as partí- culas de césio saem do organismo através da uri- na e das fezes. Cerca de um mês após o acidente quatro pes- soas já haviam morrido. O trabalho de desconta- minação dos locais atingidos gerou cerca de 13 , 4 toneladas de lixo (roupas, utensílios, material de construção, etc.) contaminado. Após o acidente, cerca de sessenta pessoas morreram vítimas da contaminação, entre elas funcionários que realizaram a limpeza do local. O Ministério Público reconhece apenas 628 vítimas contaminadas diretamente, mas a Associação das Vítimas do Césio 137 calcula um número superior a 6 mil pessoas atingidas pela radiação. Adaptado de: <www.brasilescola.com/quimica/ acidente-cesio 137 .htm>. Acesso em: 19 fev. 2013.
Em um acidente radioativo ocorrido no dia 13 de setembro de 1987 , em Goiânia, Goiás, foram contaminadas centenas de pessoas acidentalmen- te por meio das radiações emitidas por uma cáp- sula que continha césio 137. Foi o maior acidente radioativo do Brasil e o maior do mundo ocorrido fora das usinas nucleares. Tudo teve início com a curiosidade de dois catadores de lixo que vascu- lhavam as antigas instalações do Instituto Goia- no de Radioterapia (também conhecido como Santa Casa de Misericórdia), no centro de Goiânia. No local eles encontraram um aparelho de radioterapia. Removeram a máquina e levaram- -na até a casa de um deles. Estavam interessados nas partes de metal e chumbo que podiam ser vendidas em ferros-velhos da cidade; desconhe- ciam completamente aquela máquina e o que havia em seu interior. No período da desmontagem da máquina, foram expostos ao ambiente 19 , 26 g de cloreto de césio 137 (CsCl). Tal substância é um pó branco pa- recido com o sal de cozinha, mas que no escuro bri- lha com uma coloração azul. Após cinco dias, a pe- ça foi vendida a um proprietário de ferro-velho, que se encantou com o brilho azul emitido pela subs- tância. Crendo estar diante de algo sobrenatural, o dono do ferro-velho passou quatro dias recebendo amigos e curiosos interessados em conhecer o pó brilhante. Muitos levaram para casa pedrinhas da substância. Parte do equipamento de radioterapia foi para outro ferro-velho, de forma que gerou uma enorme contaminação com o material radioativo. Os primeiros sintomas da contaminação (vô- mito, náusea, diarreia e tontura) surgiram algumas
Leitura
Técnicos orientando o carregamento de lixo radioativo depois do acidente com o césio 137.
João Ramid/Arquivo da editora
Para refletir
- Sabendo que o acidente radioativo foi em 1987 e que o local do acidente só poderá ser habitado novamente quando a quantidade de césio 137 se reduzir, por desintegração, a 321 da quantidade inicialmente presente, então o local poderá ser reabitado a partir de que ano?
Leitura(s)
Textos que visam ampliar e
enriquecer o conteúdo estudado
no capítulo.
Um pouco mais...
Textos e exercícios que ajudam a
aprofundar o conteúdo do capítulo.
38 Unidade 1 • Números e funções
Um pouco
mais...
Relação de inclusão e implicação lógica Vimos que uma propriedade pode ser expressa por um conjunto. Vamos considerar A o conjunto dos elementos de um certo universo U que possuem a propriedade p , e B o conjunto dos elementos desse mesmo universo que possuem a propriedade q. Quando dizemos que:
p ⇒ q ( p implica q ou p acarreta q ),
estamos dizendo que A B. Exemplos:
a) No universo dos números naturais, vamos considerar as propriedades:
- p : n é um número natural que termina com 3 ; - q : n é um número natural ímpar.
Então A 3 , 13 , 23 , 33 , … , B 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , … e p ⇒ q ou A B.
b) Consideremos, no universo dos quadriláteros, as propriedades:
- p : ser quadrilátero com quatro lados de mesma medida; - q : ser quadrilátero com lados opostos paralelos. Nesse caso, A é o conjunto dos losangos e B é o conjunto dos paralelogramos e, portanto, A B. Logo, p ⇒ q , ou seja, ser losango implica ser paralelogramo, ou, ainda, se um quadrilátero é losango, então ele é paralelogramo.
c) Outra implicação: Se dois números inteiros, a e b , são pares, então seu produto é par.
Nesse caso, temos um teorema (proposição que devemos demonstrar) em que a hipótese é “ a e b são dois números pares inteiros quaisquer” e a tese é “o produto a b é par”. Vamos fazer a demonstração ou prova , que consiste de uma sequência finita de passagens lógicas que permite, a partir da hipótese ( p ), chegar à tese ( q ). Hipótese p : a e b são números pares inteiros quaisquer Tese q : a b é par Vamos demonstrar que p ⇒ q.
Demonstração: Como a é um número inteiro par é da forma a 2 n ( n Z). Como b é um número inteiro par é da forma b 2 m ( m Z). Assim, a b 2 n 2 m 4 nm 2 2 nm k
2 k ( k Z)
a b 2 k ( k Z) Logo, a b é par, como queríamos demonstrar.
Agora é com você. Demonstre que se dois números inteiros a e b são ímpares, então seu produ- to a b é ímpar. Lembre-se de que um número inteiro ímpar qualquer pode ser escrito na forma a 2 n 1 ( n Z).
Fique atento! A implicação p ⇒ q também pode ser lida assim:
- se p , então q ;
- p é condição suficiente para q ;
- q é condição necessária para p.
«
264
Caiu no Enem
Caiu no Enem
(Enem) Para cada indivíduo, a sua inscrição no Ca- dastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de rismos, na forma d^2 alga- denominados dígitos verificadores. Os dígitos veri-^1 d^2 , em que os dígitos^ d^1 e^ d 2 são ficadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 primeiro por 10 , o segundo por ,^3 ,^2 (o mente); em seguida, calcula-se o resto^9 , e assim sucessiva- r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11 , e se esse resto r for 0 ou 1 , d d 1 ( 11 r ). O dígito^1 é zero, caso contrário, d 2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela se- quência dada são contados a partir do segundo al- garismo, sendo d 1 o último algarismo, isto é, d 2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das mul- tiplicações for 0 ou 1 , caso contrário, d 2 ( 11 s ). Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123 456 789. Nes- te caso, os dígitos verificadores d são, respectivamente:^1 e^ d^2 esquecidos a) (^0) e 9. d) 9 e 1. b) 1 e 4. e) (^0) e 1. c) 1 e 7.
(Enem) Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu dela com conceitos e explicações, conforme a figura^75 % seguinte.
xxxxxxxxx xxxx xxxx xxx.xxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxx xxxx
xxxxxx xxxxx xxxxxxxxxx xxxx xxxx xxx x xXxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxx xxxxxxxxxx xxxx xxxx xxxx xxx.
xxxxx xxxx xxxx xxx x xxxxxxx xxxxx xxxxx
Xxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxx xxxxxxxxxx xxxx xxxx xxxx xxx.
xxxxx xxxx xxxx xxx x xxxxxxx xxxxx xxxxx
Xxxxxxxxx xxxxxxxxxx
Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo, e, adotando um procedimento semelhan- te ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez, utilizando 40 % do espaço. Uma representação possível para essa segunda si- tuação é:
a) xxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxx xxxx xxxxxx xxxx xxxx xxxx xxx.
xxxxx xxxx xxxx xxx x xxxxxxx xxxxx xxxxx
Xxxxxxxxx xxxxxxxxxx
b) xxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxx xxxx xxxxxx xxxx xxxx xxxx xxx.
xxxxx xxxx xxxx xxx x xxxxxxx xxxxx xxxxx
Xxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxx xxxxxxxxxx xxxx xxxx xxxx xxx.
xxxxx xxxx xxxx xxx x xxxxxxx xxxxx xxxxx
Xxxxxxxxx xxxxxxxxxx
c) xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxxxxxxxxxxxx^ xxxxxxxxxxx xxxxxxx
Xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxx xxxxxxxxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxx
xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxx
Xxxxxxxxxxx
d) xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxx
xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxx
Xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxx xxxxxxxxxxx xxxxxx xxxx xxxxxxxxxxxxxx^ xxxxxxxxxxx (^) xxx xxxx
Xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxx
xxxxxxxxxx (^) xxxxxxxxxxx xxxx
Xxxxxxxxxxx
e) xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxx
xxxxxxxxxx (^) xxxxxxxxxxx xxxx
Xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxx xxxxxxxxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxx
xxxxxxxxxx xxxxxxxx xxx xxxx
Xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxx xxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx^ xxxxxxxxxxx (^) xxxxxxx
Xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxx
xxxxxxxxxx (^) xxxxxxxxxxx xxxx
Xxxxxxxxxxx
(Enem) Uma empresa possui um sistema de contro- le de qualidade que classifica o seu desempenho financeiro anual, tendo como base o do ano anterior. Os conceitos são: insuficiente , quando o crescimento é menor que 1 %; regular , quando o crescimento é maior ou igual a 1 % e menor que 5 %; bom crescimento é maior ou igual a , quando o 5 % e menor que 10 %; ótimo , quando é maior ou igual a 10 % e menor que 20 %; e excelente , quando é maior ou igual a 20 %. Essa empresa apresentou lucro de R$ 132 000 , 00 em 2008 e de R$ 145 000 , 00 em 2009. De acordo com esse sistema de controle de qualida- de, o desempenho financeiro dessa empresa no ano de 2009 deve ser considerado: a) insuficiente. b) regular. c) bom. d) ótimo. e) excelente.
(Enem) Um grupo de pacientes com hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional em que 40 % desses pacientes foram completamente curados. Os pacientes que não obtiveram cura foram distri- buídos em dois grupos de mesma quantidade e sub- metidos a dois tratamentos inovadores. No primei- ro tratamento inovador, (^35) % dos pacientes foram curados e, no segundo, 45 %. Em relação aos pacien- tes submetidos inicialmente, os tratamentos inova- dores proporcionaram cura de: a) 16 %. b) 24 %. c) 32 %. d) 48 %. e) 64 %.
16 6NIDADEÓ^ Números e funções
4 Conjunto dos números inteiros ( Z )
Reunindo os números naturais e os números inteiros negativos, obtemos o conjunto de todos os números
inteiros , que é representado por:
Z h..., 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ...j
Algumas grandezas, como a temperatura, são indicadas por números inteiros.
Termômetro indicando temperatura negativa.
Duda Pinto/Agência Estado
Destacamos os seguintes subconjuntos de Z:
- N, pois N , Z. Veja a representação no diagrama.
Z
N
- Z* Z h 0 j ou Z* h..., 4 , 3 , 2 , 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , ...j
Observe que na figura a seguir há uma simetria em relação ao zero.
O oposto ou simétrico de 3 é 3 , bem como o oposto de 3 é 3 , valendo:
3 ( 3 ) 3 3 0
No conjunto Z é sempre possível efetuar a adição, a multiplicação e a subtração, ou seja, a soma, o
produto e a diferença de dois números inteiros resultam sempre em um número inteiro. E todas as pro-
priedades das operações em N continuam válidas em Z.
Você sabia?
A letra Z é inicial da palavra Zahl , que
significa ‘número’ em alemão.
Já da divisão de dois números inteiros nem sempre resulta um
número inteiro. Veja exemplos:
a) ( 8 ) ; ( 2 ) 4 é possível em Z
b) ( 7 ) ; ( 2 ) ? não é possível em Z
Assim, foi necessário ampliar o conjunto Z.
Sim, os números inteiros negativos.
Para refletir
- Existe número natural que não é inteiro?
- Existe número inteiro que não é natural?
Não, todo número natural é inteiro.
