Baixe Matemática 2 Online: Grafos, Simetrias e Geometria e outras Esquemas em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Unidad 1. Grafos, simetr´ıas y proporci´on ´aurea
F´ormula de Euler
C + V = A + 2
C: cantidad de caras; V : cantidad de v´ertices; A: cantidad de aristas.
Unidad 2. Elementos de topograf´ıa
En tri´angulos rect´angulos:
Teorema de Pit´agoras a^2 = b^2 + c^2
sin(β) = b a
Razones trigonom´etricas cos(β) =
c a
tan(β) =
b c
En todo tri´angulo:
Teorema del seno (^) sin( aAˆ) = (^) sin( bBˆ) = (^) sin( cCˆ)
a^2 = b^2 + c^2 − 2 · b · c · cos( Aˆ)
Teorema del coseno b^2 = a^2 + c^2 − 2 · a · c · cos( Bˆ)
c^2 = a^2 + b^2 − 2 · a · b · cos( Cˆ)
Area =´
p s · (s − a) · (s − b) · (s − c) F´ormula de Her´on s = a+ 2 b+c
Unidad 3. Geometr´ıa de las formas
Paralelismo y ortogonalidad entre vectores
Dados dos vectores no nulosv⃗ ,w⃗ y α el ´angulo comprendido por ellos, su producto escalar es:
v⃗ ·w⃗ = vx · wx + vy · wy + vz · wz = ∥v⃗ ∥ · ∥w⃗ ∥ · cos(α)
Dos vectores no nulos son ortogonales si su producto escalar es igual a cero.
Dos vectores no nulos son paralelos si existe un k ∈ R tal quev⃗ = k ·w⃗.
Ecuaci´on de la recta en R^3
La recta pasa por P y tiene di- recci´on dada porv⃗ :
P = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) v⃗ = (vx; vy ; vz )
Ec. vectorial (x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) + k · (vx; vy ; vz )
Ecs. param´etricas
x = x 0 + k · vx y = y 0 + k · vy z = z 0 + k · vz
x − x 0 vx
y − y 0 vy
z − z 0 vz Ecs. sim´etricas (vx ̸= 0; vy ̸= 0; vz ̸= 0)
Ecuaci´on del plano en R^3
Forma general a · x + b · y + c · z + d = 0 n⃗ = (a; b; c)
Forma segmentaria (^) xx 0 + (^) yy 0 + (^) zz 0 = 1
Superficies cu´adricas
Esfera Elipsoide Cono el´ıptico recto
(x−x 0 )^2 +(y−y 0 )^2 +(z−z 0 )^2 =r^2 x
2 a^2 +^
y^2 b^2 +^
z^2 c^2 = 1^
x^2 a^2 +^
y^2 b^2 =^
z^2 c^2
Hiperboloide de una hoja
Hiperboloide de dos hojas
Paraboloide el´ıptico Paraboloide hiperb´olico
x^2 a^2 +^
y^2 b^2 −^
z^2 c^2 = 1^ −^
x^2 a^2 −^
y^2 b^2 +^
z^2 c^2 = 1^
x^2 a^2 +^
y^2 b^2 =^ cz^ −^
x^2 a^2 +^
y^2 b^2 =^ cz (c>0) (c>0)
Cilindro el´ıptico Cilindro parab´olico Cilindro hiperb´olico
x^2 a^2 +^
y^2 b^2 = 1^ y^ =^ ax
(^2) (a > 0) − x^2 a^2 +^
y^2 b^2 = 1
Unidad 4. Aplicaciones de las derivadas
Propiedades algebraicas
a^0 = 1 (a ̸= 0)
an^ · ap^ = an+p
an ap^ =^ a
n−p (^) (a ̸= 0) Propiedades de (an)p^ = an·p potencias (^) a b
−n
Å
b a
ãn (a, b ̸= 0)
√ nap (^) = a pn (^) (ap (^) > 0 para n par)
(a · b)n^ = an^ · bn
Distributivas
(^) a b
n = a
n bn^ (b^ ̸= 0) de potencias n
a · b = n
a · n
b (a, b ≥ 0 , n par) p n (^) a b =^
n^ √a √ nb (a ≥ 0 , b > 0 , n par)
Cuadrado (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 de un binomio (a − b)^2 = a^2 − 2 ab + b^2
Resolvente ax^2 + bx + c = 0 ⇐⇒ de
cuadr´aticas x =
−b ±
b^2 − 4 ac 2 a
Reglas y propiedades de derivaci´on
Funci´on Derivada f (x) = k f ′(x) = 0 f (x) = k · x f ′(x) = k f (x) = xn^ f ′(x) = n · xn−^1 f (x) =
x f ′(x) = 2 √^1 x f (x) = ln(x) f ′(x) = (^1) x (k · u(x))′^ = k · u′(x)
(u(x) · v(x))′^ = u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x)
(u(x) ± v(x))′^ = u′(x) ± v′(x) Ä (^) u(x) v(x)
ä′ = u
′(x)·v(x)−u(x)·v′(x) v^2 (x)
Unidad 5. Aplicaciones de las integrales
Propiedades y reglas de integraci´on
Z
k · f (x) dx = k
Z
f (x) dx
Z (f (x) ± g(x)) dx =
Z
f (x) dx ±
Z
g(x) dx
Z k dx = kx + C
Z xn^ dx = xn+ n + 1
Z x−^1 dx = ln |x| + C
Integral definida
Regla de Barrow
Z (^) b
a
f (x) dx = F (x)
b
a
= F (b) − F (a)
Area de la regi´^ ´ on comprendida entre dos curvas
A =
Z (^) b
a
(f (x) − g(x)) dx
Volumen de un s´olido de revoluci´on
Vx = π
Z (^) b
a
(f (x))^2 dx
Vy = π
Z (^) d
c
(g(y))^2 dy
Aplicaciones f´ısicas de las integrales
Momento est´atico M (^) x(1) =
δ 2
Z (^) b
a
(f 2 (x) − g^2 (x)) dx o
de primer orden M (^) y(1) = δ
Z (^) b
a
x(f (x) − g(x)) dx
Momento de inercia Ix = M (^) x(2) =
δ 3
Z (^) b
a
(f 3 (x) − g^3 (x)) dx o
de segundo orden Iy = M (^) y(2) = δ
Z (^) b
a
x^2 (f (x) − g(x)) dx
Masa total mT = δ · Area =´ δ
Z (^) b
a
(f (x) − g(x)) dx
Centro de gravedad G = (xG; yG) =
Ç
M (^) y(1) mT
M (^) x(1) mT
å
Trabajo de una fuerza W =
Z (^) b
a
F (x) dx
Probabilidades
Definici´on laplaciana de probabilidad P(A) = N° de casos favorables N° de casos totales
Probabilidad total P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Probabilidad total en caso de sucesos P(A ∪ B) = P(A) + P(B) incompatibles (A ∩ B = ∅)
Probabilidad condicional (P(B) ̸= 0) P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
A y B independientes si P(A|B) = P(A) ∧ P(B|A) = P(B) Luego: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
A y B no son independientes si P(A ∩ B) ̸= P(A) · P(B)
