Baixe Introdução à Lógica Matemática: Demonstrações e Indução e outras Resumos em PDF para Educação Psicomotora, somente na Docsity!
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T´ecnicas de Demonstra¸c˜ao
Prof. Dr. Leandro Balby Marinho
Matem´atica Discreta
Introdu¸c˜ao
I (^) Uma prova ´e um argumento v´alido que estabelece a verdade de sente¸cas matem´aticas. I (^) Um teorema ´e uma senten¸ca que pode ser mostrada verdadeira. I (^) Um lemma ´e normalmente um teorema auxiliar utilizado para provar outros teoremas. I (^) Um corol´ario ´e um teorema que pode ser estabelecido diretamente do teorema que foi provado. I (^) Uma conjectura ´e uma senten¸ca sendo proposta como verdade, mas que precisa ser provada para virar teorema.
Forma dos Teoremas
Muitos teoremas s˜ao apresentados na forma condicional p → q.
Exemplo 1: “Se x > y , no qual x e y s˜ao n´umeros reais positivos, ent˜ao x^2 > y 2 ”. Embora apresentado informalmente, o que esse teorema realmente significa ´e: ∀x, y (P(x, y ) → Q(x, y )), no qual P(x, y ) denota “x > y ” e Q(x, y ) “x^2 > y 2 ”.
Exemplo 2: “Se n ´e um n´umero inteiro ´ımpar, ent˜ao n^2 ´e ´ımpar.” Esse teorema afirma que ∀n (P(n) → Q(n)), no qual P(n) denota “n ´e um inteiro ´ımpar” e Q(n) denota “n^2 ´e ´ımpar”.
Demonstra¸c˜ao Exaustiva
A conjectura pode ser provada verficando-se que ela ´e verdadeira para todos os elementos da cole¸c˜ao. Para provar a falsidade da conjectura, basta achar um contra-exemplo.
Demonstra¸c˜ao Exaustiva
A conjectura pode ser provada verficando-se que ela ´e verdadeira para todos os elementos da cole¸c˜ao. Para provar a falsidade da conjectura, basta achar um contra-exemplo. Exemplo 3: Prove a conjectura “Para todo inteiro positivo n, n! ≤ n^2 ”.
Demonstra¸c˜ao Exaustiva
A conjectura pode ser provada verficando-se que ela ´e verdadeira para todos os elementos da cole¸c˜ao. Para provar a falsidade da conjectura, basta achar um contra-exemplo. Exemplo 3: Prove a conjectura “Para todo inteiro positivo n, n! ≤ n^2 ”. Solu¸c˜ao: A conjectura ´e falsa pois n˜ao ´e verdade para todo n: ´e falsa para n = 4.
n n! n^2 n! ≤ n^2 1 1 1 sim 2 2 4 sim 3 6 9 sim 4 24 16 n˜ao
Exerc´ıcio 1: Prove a conjectura “Para qualquer inteiro positivo menor ou igual a 5, o quadrado do inteiro ´e menor ou igual `a soma de 10 mais 5 vezes o inteiro”.
Demonstra¸c˜ao por Casos
Uma prova por casos deve cobrir todos os casos poss´ıveis que aparecem em um teorema.
Demonstra¸c˜ao por Casos
Uma prova por casos deve cobrir todos os casos poss´ıveis que aparecem em um teorema. Exemplo 4: Prove que se n ´e um inteiro, ent˜ao n^2 ≥ n. (i) Quando n = 0. Como 0^2 = 0, ent˜ao n^2 ≥ 0 ´e verdadeiro nesse caso.
Demonstra¸c˜ao por Casos
Uma prova por casos deve cobrir todos os casos poss´ıveis que aparecem em um teorema. Exemplo 4: Prove que se n ´e um inteiro, ent˜ao n^2 ≥ n. (i) Quando n = 0. Como 0^2 = 0, ent˜ao n^2 ≥ 0 ´e verdadeiro nesse caso. (ii) Quando n ≥ 1. Multiplicando os dois lados da inequa¸c˜ao pelo inteiro positivo n, obtemos n · n ≥ n · 1. Isso implica que n^2 ≥ n para n ≥ 1.
Demonstra¸c˜ao por Casos
Uma prova por casos deve cobrir todos os casos poss´ıveis que aparecem em um teorema. Exemplo 4: Prove que se n ´e um inteiro, ent˜ao n^2 ≥ n. (i) Quando n = 0. Como 0^2 = 0, ent˜ao n^2 ≥ 0 ´e verdadeiro nesse caso. (ii) Quando n ≥ 1. Multiplicando os dois lados da inequa¸c˜ao pelo inteiro positivo n, obtemos n · n ≥ n · 1. Isso implica que n^2 ≥ n para n ≥ 1. (iii) Quando n ≤ −1. Como n^2 ≥ 0 segue que n^2 ≥ n.
Exerc´ıcio 2: Mostre que se x ou y forem inteiros pares, ent˜ao xy ´e par.
Roteiro
1. Introdu¸c˜ao
2. Demontra¸c˜ao Exaustiva
3. Demontra¸c˜ao Direta
4. Demontra¸c˜ao por Contraposi¸c˜ao
5. Demontra¸c˜ao por Absurdo
6. Indu¸c˜ao
7. Recursividade
