Solu¸c˜ao
Teorema 5.11, p´agina 102 do livro texto.
Quest˜ao 03 [ 2,0 pts ]
Os termos a1, a2, . . . , ande uma progress˜ao aritm´etica positiva e crescente s˜ao os valores f(1), f (2), . . . , f(n) de
uma fun¸c˜ao afim.
(a) Mostre que cada ai´e igual `a ´area de um trap´ezio delimitado pelo gr´afico de f, pelo eixo OX e pelas retas
verticais de equa¸c˜oes
x=i−1
2ex=i+1
2.
(b) Mostre que a soma S=a1+a2+· · · +an´e igual `a ´area do trap´ezio delimitado pelo gr´afico de f, pelo eixo OX
e pelas retas verticais x=1
2ex=n+1
2.
(c) Conclua que S=(a1+an)n
2.
Solu¸c˜ao
(a) A ´area do trap´ezio da figura ´e
A=fi+1
2+fi−1
2
2.
Visto que ai=f(i),onde f(x) = mx +b´e uma fun¸c˜ao afim, temos
A=fi+1
2+fi−1
2
2=2mi + 2b
2
=mi +b=f(i) = ai.
(b) Visto que o intervalo 1
2, n +1
2pode ser particionado como
1
2, n +1
2=
n
[
i=1 i−1
2, i +1
2,
o trap´ezio em quest˜ao pode ser particionado em ntrap´ezios como os do item (a). Dessa forma a ´area do trap´ezio ´e
AT=
n
X
i=1 fi+1
2+fi−1
2
2=
n
X
i=1
ai=S.