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Logica Programação, Notas de estudo de Informática

Apostila sobre lógica de programação Apostilando.com

Tipologia: Notas de estudo

Antes de 2010

Compartilhado em 25/08/2008

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Lógica de Programação
Autor:
Jusdewbe Tatiane de Souza Mora
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Lógica de Programação

Autor:

Jusdewbe Tatiane de Souza Mora

LÓGICA

Introdução:

O estudo da Lógica, é o estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto. Esta definição não quer dizer que somente uma pessoa que tenha estudado Lógica possa raciocinar corretamente e encontrar soluções para diversos problemas.A habilidade de resolver problemas é natural em todo ser humano.

Ao resolver o problema do equilíbrio do próprio corpo ou ao decifrar o complexo código de comunicação verbal que nossos pais utilizam, todos nós demos provas que já nascemos com uma incrível capacidade para solucionar enigmas. Muitos dos mais criativos enigmas matemáticos, aliás, são sugeridos por situações ocorridas no dia-a-dia de pessoas comuns, como carpinteiros, costureiras e ferreiros que os solucionam com maestria digna do respeito dos melhores matemáticos, sem contudo, terem estudado métodos e princípios para raciocinar corretamente.

Mas, certamente, uma pessoa com conhecimento de Lógica tem mais probabilidades de raciocinar corretamente do que aquela que não se aprofundou nos princípios gerais implicados nessa atividade. Há muitas razões para isso: No estudo da Lógica o aluno deverá fazer exercícios sobre todos os aspectos da teoria que aprende, e isto ajuda o aperfeiçoamento.

Uma parte do estudo da Lógica consiste no exame e na análise dos métodos incorretos do raciocínio ( falácias ), isto nos dá uma visão mais profunda dos princípios do raciocínio em geral e nos auxilia também a evitá-los. Por último, o estudo da Lógica proporcionará ao estudante certas técnicas e certos métodos de fácil aplicação para determinar a correção ou incorreção de todos os raciocínios, incluindo os próprios. O valor desse conhecimento reside no fato de ser menor a probabilidade de se cometerem erros, quando é possível localizá-los mais facilmente.

Lógica vem de “Logos” que significa palavra, expressão, conceito, pensamento, discurso, razão.

Os valores “verdadeiro” (V) e “falso” (F) são chamados valores lógicos.

Proposições simples e compostas:

As proposições classificam-se em simples ou atômicas e compostas ou moleculares.

Proposições simples : São aquelas que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma.

São proposições simples as seguintes:

p: Antonio é casado. q: Camila é estudiosa. r: O número 11 é ímpar. As proposições simples são geralmente designadas pelas letras minúsculas p,q,r,s,.....

Proposições compostas : São aquelas formadas pela combinação de duas ou mais proposições simples. São proposições compostas as seguintes:

P: Maria é bonita e Joana é inteligente. Q: Antonio é casado ou solteiro. R: Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é menor que y. As proposições compostas são geralmente representadas pelas letras maiúsculas P,Q,R,S.......

Conectivos : São palavras ou frases que se usam para formar novas proposições a partir de outras. São conectivos usuais em Lógica:

Negação “ não ”, cujo símbolo é ” ∼ “ p: Antonio não é casado.

Conjunção “ e “ ,cujo símbolo é “ ∧ “

Q: O número 2 é primo e o número 9 é quadrado perfeito.

Disjunção : “ ou “, cujo símbolo é “ ∨ “

R : Um triângulo pode ser eqüilátero ou isósceles ou escaleno.

Condicional : “ se...., então “, cujo símbolo é “ → “ S: Se está calor então vai chover.

Bicondicional : “ Se, e somente se “, cujo símbolo é “ ↔ “

T: Maria é minha tia se, e somente se, é irmã de me pai ou de minha mãe.

Exercícios Grupo A:

  1. Sejam as proposições: p: Carla está doente e q: Carla está com febre. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) ∼ p b) p ∧ q c) p ∨ q d) p → ∼ q e) q ↔ p f) ∼ p ∧ ∼ q g) ∼ p ∨ q h) p ↔ ∼ q i) ∼∼ p j) ( p ∧ ∼q ) → p

  2. Sejam as proposições: p: Paulo é bonito e q: Paulo é alto. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Paulo é alto e bonito.

b) Paulo é bonito mas é baixo. c) Não é verdade que Paulo é bonito ou baixo. d) Paulo não é nem bonito e nem alto. e) Paulo é bonito ou é feio e alto. f) É falso que Paulo é feio ou que não é alto.

  1. Sejam as proposições: p: Alfredo é pobre e q: Tiago é feliz. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições : a) q → p b) p ∨ ∼ q c) ∼ p ↔ q d) ∼ p → q e) ~ ~ q f) ( ~ p ∨ q ) ↔ p

  2. Sejam as proposições: p: Ana fala inglês , q: Ana fala francês e r: Ana fala espanhol. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Ana fala inglês. b) Ana fala francês e inglês, ou não fala francês nem espanhol. c) Não é verdade que Ana fala inglês e que não fala francês. d) É falso que Ana fala francês ou espanhol mas não fala inglês.

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Tabela-Verdade

O valor lógico de uma proposição composta depende dos valores lógicos das proposições componentes, e se determina por um dispositivo chamado tabela-verdade , no qual figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta correspondentes a todas as possíveis atribuições dos valores lógicos das proposições simples componentes.

No caso de uma proposição simples, pelo princípio do terceiro excluído, temos: p V F

No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições dos valores lógicos a p e a q, são:

p Q V V V F F V F F

O valor lógico da conjunção de duas proposições é dado pela tabela: p q (^) p∧q V V V V F F F V F F F F

Ex: a) p: Cuiabá é a capital de Mato Grosso V(p) = V q: Brasília é a capital do Brasil V(q) = V p∧q: Cuiabá é a capital de Mato Grosso e Brasília é a capital do Brasil V(p ∧ q ) = V ∧ V = V b) p: 2 é um número primo V(p) = V q: O quadrado tem 3 lados V(q) = F p ∧ q : 2 é um número primo e o quadrado tem 3 lados V(p ∧ q) = V ∧ F = F

  1. Disjunção

3.1) Disjunção inclusiva ( ∨∨∨∨ )

Chama-se disjunção inclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a falsidade (F ) quando o valor lógico das proposições p e q forem ambos falsos e a verdade ( V ), quando pelo menos uma das proposições for verdadeira.

O valor lógico da disjunção inclusiva de duas proposições é dada pela tabela: p q (^) p ∨ q V V V V F V F V V F F F

Ex: a) p: A lua é amarela V (p ) = F q: Pitágoras era grego V ( q ) = V p ∨ q : A lua é amarela ou Pitágoras era grego V ( p ∨ q ) = F ∨ V = V Ex: b) p: 2 + 2 = 5 V ( p ) = F q: 3 < 1 V ( q ) = F p ∨ q : 2 + 2 = 5 ∨ 3 < 1 V ( p ∨ q ) = F ∨ F = F

3.2) Disjunção exclusiva ( ∨∨∨∨ )

Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q, a proposição representada por “p ou q “, cujo valor lógico é a falsidade ( F ) quando os valores lógicos das proposições p e q são ambos falsos ou ambos verdadeiros e a verdade ( V ), nos demais casos.

O valor lógico da disjunção exclusiva de duas proposições é dado pela tabela: p q (^) p∨q V V F V F V F V V F F F

Ex: p: André é baiano.

q: André é carioca. p ∨ q : André é baiano ou André é carioca Aqui a palavra ou tem o sentido de exclusão pois não existe a possibilidade de ambas as proposições serem verdadeiras, não é possível ocorrer “ André é baiano e carioca “.

  1. Condicional ( → )

Chama-se proposição condicional a proposição composta representada por “ se p então q “, cujo valor lógico é a falsidade ( F ) quando p é verdadeira e q é falsa e o valor lógico é a verdade ( V ) nos demais casos.

A condicional, onde p é o antecedente e q o conseqüente, se lê das seguintes maneiras: (i) p é condição suficiente para q (ii) q é condição necessária para p O valor lógico da “condicional” é dado pela tabela:

p q (^) p → q V V V V F F F V V F F V

Ex: a) p: Brasília é a capital do Brasil V(p) =V b) q: O mês de julho tem 31 dias V(q) = V p → q : Se Brasília é a capital do Brasil então o mês de julho tem 31 dias V ( p → q ) = V → V = V Ex: b) p: Brasília é a capital do Brasil V ( p ) = V q: O número 2 é ímpar V ( q ) = F p → q : Se Brasília é a capital do Brasil então o número 2 é ímpar. V ( p → q ) = V → F = F Ex:c) p: O número 2 é ímpar V ( p ) = F q: O mês de julho tem 30 dias V ( q ) = F

I) A ordem de precedência para os conectivos é:

  1. ~
  2. ∧ e ∨
  3. ↔ Portanto, o conectivo mais “fraco” é a negação (~ ) e o conectivo mais “forte” a bicondicional

( ↔ ). Assim por exemplo, a proposição : p → q ↔ r ∧ s é uma bicondicional e nunca uma condicional ou conjunção. Para convertê-la numa condicional tem que se usar parêntesis.

p → (q ↔ r ∧ s ) e, analogamente, para convertê-la numa conjunção ( p → q ↔ r ) ∧ s O consequente da condicional é uma bicondicional. Desejando-se converter este consequente numa conjunção, escreve-se: p → (( q ↔ r ) ∧ s Também são bicondicionais as três seguintes proposições: p ∧ q ↔ r ∨ s ; p → q ↔ r ∧ s ; p ∨ q ↔ ~ r → s II) Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem-se os parêntesis, fazendo –se a associação a partir da esquerda. Exemplos: a) (( ~ ( ~ p ∧ q ))) ∨ ( ~p )) escreve-se mais simplesmente assim ~~ ( p ∧ q ) ∨ ~ p b) (( p ∨ ( ~ q )) ∧ ( r ∧ ~ p ) escreve-se mais simplesmente assim: ( p ∨ ~ q ) ∧ ( r ∧ ~ p ) c) ((( p ∨ ( ~ q )) ∧ r ) ∧ ( ~p )) escreve-se mais simplesmente assim: ( p ∨ ~q ) ∧ r ∧ ~ p d) (( ~ p ) → ( q → ( ~ ( p ∨ r )))) escreve-se mais simplesmente assim: ~p → ( q → ~ ( p ∨ r ))

Exercícios grupo B

  1. Seja p a proposição “ 2 + 1 = 3” e q a proposição “ 2^3 = 4”. Determinar o valor lógico ( V ou F) de cada uma das seguintes proposições: a) p ∧ ~q b) p ∨ ~q c) ~p ∧ q d) ~p ∧ ~q e) ~p ∨ ~q f) ~( ~p ∧ ~q ) g) p ∧ ( ~p ∧ q) h) ( ~p ∧ q ) ∨ ( p ∧ ~q )

  2. Determinar o valor lógico(V ou F) de cada uma das seguintes proposições: a) 0 > 1 ∧ √ 5 é irracional b) 1 > 0 ∧ 3 + 2 = 5 c) 5^2 = 10 ∨ π é um número racional d) 3 = 3 ou √ 25 = 4 e)Se − 5 = 5 então 4 + 4 = 9 f)Se Cuiabá é a capital de Pernambuco então Pedro Álvares Cabral descobriu a América. g) Se 10 – 2 = 7 então 3^3 = 27 h) Não é verdade que 8 é um número ímpar. i) E falso que Cuiabá é a capital de Mato Grosso. j) Não é verdade que 8 + 1 = 9 e 8 – 1 = 6 k) E falso que 3 + 3 = 6 ou √ -1 = 0 l) ~( 3 – 1 = 2 → 22 = 5 )

m)~( 3. 2 = 9 ↔ 5 – 1 ≠ 4 )

  1. Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo-se que: a) V ( p → q ) = V e V ( p ∧ q ) = F b) V ( p → q ) = V e V( p ∨ q ) = F c) V ( p ↔ q ) = V e V( p ∧ q ) = V d) V ( p ↔ q ) = V e V( p ∨ q ) = V e) V ( p ↔ q ) = F e V( ~p ∨ q ) = V

  2. Determinar V(p) e V(q) em cada um dos seguintes casos, sabendo-se que: a) V(p → q) = V e V(p ∧ q) = F b) V(p → q) = V e V(p ∨ q) = F c) V(p ↔ q) = V e V(p ∧ q) = V d) V(p ↔ q) =V e V(p ∨ q) =V e) V(p ↔ q) = F e V(~p ∨ q) =V

  3. Sejam as proposições: p: tg π = 1 e q: sen^2 a + cos^2 a = 1. Deter minar o valor lógico ( V ou F) de cada uma das seguintes proposições: a) ( ~p ∧ q ) ∨ ( p ∧ ~q ) b) (p → q) ∧ ~p → ~q c) ~( p ∧ q ) ↔ ~p ∨ ~q d) (p ∨ ( ~p ∨ q )) ∨ ( ~p ∧ ~q) e) ( p ∧ (~q → p) ) ∧ ~(( p ↔ ~q) → q ∨ ~p)

  4. Sabendo-se que os valores lógicos das proposições p,q,r e s são respectivamente V,V,F e F, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: a) ~((r → p) ∨ (s → q) b) r → q ↔ (~p ↔ r) c) ~(p ∧ q) → ~p ∨ ~q d) ~(( p ∨ s ) ∧ ( s ∧ r) e) (q ∧ r ) ∧ s → ( p ↔ s) f) p → ~q ↔ ( p ∨ r ) ∧ s

  5. Suprimir o maior número possível de parêntesis nas seguintes proposições: a) ((p ↔ (r ∨ p)) ↔ (q ∧ (~( ~p) ) ) ) b) (( p ∧ (~(~r))) ↔ (r ↔ (q ∨ r ))) c) (((q∨ p) → (~r)) ∨ ((((~p) ∧ r) ∧ p)))

Construção de Tabelas-Verdade Tabela-Verdade de uma proposição composta

Com o emprego das tabelas-verdade das operações fundamentais, é possível construir a tabela-verdade correspondente a qualquer proposição composta dada e mostrar exatamente os casos em que a proposição composta será verdadeira (V) ou falsa (F), admitindo-se, como é sabido, que o seu valor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples componentes.

Número de linhas de uma tabela-verdade

O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta depende do número de proposições simples que a integram, assim sendo:

Proposição composta de duas proposições simples: 2^2 = 4 linhas

p q r ( p → (~ q (^) ∨ r ) ) (^) ∧ ~ ( q (^) ∨ ( p (^) ↔ ~ r)) V V V V V F V V V F F V V V F F V V V F V F F V F F F F V V V V V F V F V V V V F V V V^ V F F V F F V V F F V V V F V F F F F V V V V F F V V F V F V V V F F V V F V F V F V F F V F V F F F F V V F F V F F F V F V V F V V F F F V F V F V F F F F V V F V F V V F F F F V F 1 1 1 1 4 2 1 3 1 6 5 1 4 1 3 2 1

Logo : P(VVV) = F P(VVF) = F P(VFV) = V P(VFF) = F P(FVV) = F P(FVF) = F P(FFV) = F P(FFF) = V

Exercícios grupo C

  1. Construir as tabelas – verdade das seguintes proposições:

a) ~ p → ( q → p ) b) ( p ↔ ~ q ) → ~ p ∧ q c) ~ ( ( p ∨ q ) ∧ ( ~p ∨ ~ q ) ) d) ( p ∨ q ) ∧ ~ p → ( p ↔ q ) e) ( p ∧ q → r ) ∨ ( ~ p ↔ q ∨ ~ r ) f) p → ( p → ~ r ) ↔ q ∨ r g) ( p ∨ ( q → ~ r ) ) ∧ ( ~ p ∨ r ↔ ~ q ) h) ( r ∧ ( p ∨ ~ q ) ) ∧ ~ ( ~ r ∨ ( p ∧ q ) )

Tautologias, Contradições e Contingências

1) Tautologia : Chama-se tautologia a proposição composta que é sempre verdadeira. Na tabela – verdade de uma proposição tautológica, a “última coluna”, contém somente a letra V (verdade).

Ex: A proposição “p ∧ q → ( p ↔ q )” é uma tautologia, conforme mostra sua tabela- verdade:

p q p (^) ∧ q → (p (^) ↔ q) V V V V V V V V V V F V F F V V F F F V F F V V^ F F V F F F F F V F V F 1 1 1 2 1 3 1 2 1

2) Contradição : Chama-se contradição a proposição composta que é sempre falsa. Na tabela- verdade de uma proposição contraditória, a “última coluna”, contém somente a letra F (falsidade). Ex: A proposição “ ( ~ p ∧ ~ r ) ∧ ( q ∧ r ) “ é contraditória, conforme mostra sua tabela- verdade: p q r ( ~ ( p (^) ∧ ~ r ) (^) ∧ (q (^) ∧ r) V V V F V F F V F V V V V V F F V F V F F V F F V F V F V F F V F F F V V F F F V F V F F F F F F V V V F F F V F V V V F V F V F V V F F V F F F F V V F F F V F F F V F F F V F V V F F F F F 1 1 1 2 1 3 2 1 4 1 2 1

3) Contingência : Chama-se contingência a proposição composta que pode ser verdadeira e pode ser falsa. Na tabela verdade de uma proposição contingente, a “última coluna” contém as letras V (verdade) e F (falsidade ). Ex: A proposição “ p ∨ ( p ∧ ~ q ) “ é uma contingência, conforme mostra sua tabela- verdade: p q (p (^) ∨ (p (^) ∧ ~ q) V V V V V F F V V F V V V V V F F V F F F F F V F F F F F V V F 1 1 1 4 1 3 2 1

p⇒ p ↔ q (na 2ª linha das duas tabelas ocorre VF)

q ⇒ p ∧ q (na 3ª linha das duas tabelas ocorre VF)

q ⇒ p ↔ q (na 3ª linha das duas tabelas ocorre VF)

Propriedades das Implicações Lógicas:

1ª) A condição necessária e suficiente para que haja a implicação entre duas proposições é que a condicional associada-a elas seja uma tautologia.

Vimos anteriormente: p ∧ q ⇒ p ↔ q

Vamos transformar a implicação, na operação lógica (condicional) e formando uma única proposição.

(p ∧ q) → (p ↔ q)

Construindo sua tabela verdade

A proposição é tautológica, logo existe a implicação p q (p ∧ q) → (p ↔ q) V V V V V^ V V V V F V F F V V F F F V F F V V F F V F F F F F V F V F 1 1 1 2 1 3 1 2 1

2ª) Propriedade Reflexiva: p ⇒ p

3ª) Propriedade Transitiva: Se p ⇒ q e q ⇒ r, então p ⇒ r

Exercícios Grupo E

  1. Verificar se existe a implicação entre as proposições

a) 32 = 9 e 2^3 = 8 ⇒ 23 = 4 e 1^2 = 2 b) ABC é um triângulo ⇒ a soma dos ângulos internos A, B e C é igual a 180° c) x é um número primo ⇒ x é impar d) x^2 – x – 2 = 0 ⇒ -2 ≤ x ≤ 2

  1. Demonstrar que:

a) q ⇒ p → q b) p ∨ q ⇒ p c) p ↔ ~ q ⇒ p → q d) (x = y ∨ x < 4) ∧ x < 4 ⇒ x = y e) (x ≠ 0 → x = y) ∧ x ≠ y ⇒ x = o f) p ∧ (q ∨ r) ⇒ (p ∧ q) ∨ r

p ∧ q ⇒ p ↔ q

Equivalências Lógicas

Diz-se que uma proposição P (p, q, r, ...) é equivalente a uma proposição Q (p, q, r, ...) quando os “resultados” de suas tabelas verdades são idênticas. Indica-se que a proposição P (p, q, r,...) é equivalente a proposição Q (p, q, r, ...) com a notação:

P (p, q, r, ...) ⇔ Q (p, q, r, ...)

Obs.: O símbolo ↔ representa uma operação entre as duas proposições, resultando uma nova proposição.

O símbolo ⇔ indica apenas uma relação entre as duas proposições dadas

Ex.: Verificar se p → q ⇔ ~ p ∨ q

Construindo a tabela verdade, temos:

p q (^) p → q ~ p ∨ q V V V V V F F F F V V V F F v v

Propriedades das Equivalências Lógicas:

1ª) A condição necessária e suficiente para que haja a equivalência entre duas proposições é que a bicondicional associada a elas seja uma tautologia.

Vimos no exemplo anterior que: p → q ⇔ ~ p ∨ q

Vamos transformar a equivalência, na operação lógica (bicondicional) formando uma única proposição:

(p → q) ↔ (~ p ∨ q)

Construindo sua tabela-verdade:

(p (^) → q) (^) ↔ (~ p (^) ∨ q) V V V V F V V V V F F V F V F F F V V V V F V V F v F V V F V F 1 2 1 4 2 1 3 1

2ª) Reflexiva: p ⇔ p

3ª) Simétrica: Se p ⇔ q, então, q ⇔ p

4ª) Transitiva: Se p ⇔ q e q ⇔ r, então, p ⇔ r

Comparando os valores lógicos da coluna de p → q com os valores lógicos da coluna de ~ p ∨ q, verificamos que são idênticos. Logo p → q ⇔ ~ p ∨ q

A proposição é tautológica, logo existe a equivalência

p → q ⇔ ~ p ∨ q

6ª) Leis Distributivas

a) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) b) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

7ª) Condicionais

Das Proposições:

a) p → q ( Condicional) b) q → p (Recíproca da Condicional) c) ~ p → ~ q (Contraria da Condicional) d) ~q → ~ p (Contrapositiva da Condicional)

Resultam as duas seguintes equivalências notáveis:

1ª) (p → q) ⇔ (~ q → ~p) ( A condicional é equivalente a sua contrapositiva) 2ª) (q → p) ⇔ (~p → ~q) (A recíproca da condicional é equivalente à contraria da condicional)

8ª) Bicondicional

p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p)

9ª) Negação Conjunta: ~ p ∧ ~ q

A Negação Conjunta também se indica pela notação “p ↓ q”. Portanto temos: p ↓ q ⇔ ~ p ∧ ~ q

p q (^) p ↓ q V V F V F F F V (^) F F F V

10ª) Negação Disjunta: ~ p ∨ ~ q

A Negação Disjunta também se indica pela notação “p ↑ q”. Portanto temos: p ↑ q ⇔ ~ p ∨ ~ q

p q (^) p ↑ q V V F V F V F V V F F V

  • Os símbolos “↓” e “↑” são chamados “Conectivos de Scheffer” Exercícios Grupo F
  1. Julgar se as proposições p e q são equivalentes (p ⇔ q) em cada um dos seguintes casos:

a) p: 7+ 1 = 8 q: (7+1)^2 = 64 b) p: 3^0 = 1 q: 0^3 = 1

c) p: Sen π/2 = 1 q: Cos π/2 = 0 d) p: x é par q: x+1 é impar (x ∈ z) e) p: x ∈ {a} q: x = a

  1. Demonstrar por tabelas-verdade as seguintes equivalências notáveis:

a) p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r b) p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r c) ~ (p ∧ q) ⇔ ~ p ∨ ~ q d) ~ (p ∨ q) ⇔ ~ p ∧ ~ q e) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) f) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) g) p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p)

  1. Demonstrar as equivalências: a) p ↓ q ⇔ q ↓ p b) p ↑ q ⇔ q ↑ p c) (( p ↑ ~ p) ↑ (p ↑ ~ p)) ⇔ p ∧ ~ p

  2. Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que a proposição r é falsa, determinar o valor lógico (V ou F) das seguintes proposições:

a) (~ p ↓ q) ∧ (q ↑ ~ r) b) ((p ↑ q) ∨ (q ↓ r)) ↑ (r ↓ p) c) (~ p ↑ ~ q) ↔ (( q ↓ r) ↓ p) d) ((p ↑ ~ p) ∨ q) ↓ ( q ∧ r)

  1. Usando as leis de Morgan, dê a negação em linguagem corrente das seguintes proposições:

a) Não está frio ou não está chovendo b) O pai de Marcos é pernambucano ou sua mãe é gaúcha c) Jorge estuda física mas não estuda química

  1. Seja a condicional: “Se Pedro é professor então é pobre”, dar em linguagem corrente:

a) A sua Contrapositiva d) A Recíproca de sua Contrapositiva b) A sua Recíproca e) Sua Contraria c) A Contrapositiva de sua Recíproca f) A Contrapositiva da sua Contrária