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Este documento aborda propriedades e aplicações de logaritmos e funções exponenciais, incluindo a definição de logaritmos, propriedades dos logaritmos, a função exponencial natural, a regra do produto, a regra do quociente, a regra da potência, mudança de base de logaritmos, aplicações em cálculo de temperatura média da terra e lei do resfriamento de newton.
Tipologia: Notas de aula
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Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” Instituto de Geociências e Ciências Exatas Campus de Rio Claro
Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação – Mestrado Profissional em Mate- mática em Rede Nacional como requisito par- cial para a obtenção do grau de Mestre
Orientadora Profa. Dra. Marta Cilene Gadotti
P369L
Pecorari, Mariana Logaritmos e Aplicações/ Mariana Pecorari- Rio Claro: [s.n.],
91 f.:fig. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Insti- tuto de Geociências e Ciências Exatas. Orientadora: Marta Cilene Gadotti
Ficha Catalográfica elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP Campus de Rio Claro/SP
Dedico aos meus pais, Jayme Pecorari e Geny Campanha Pecorari, e ao meu filho, Raoni Pecorari Chiqueto
Quero agradecer primeiramente a Deus, por ter me "carregado no colo" durante todo esse Metrado, a Sua presença em minha vida foi que me manteve no caminho. Agradeço ao meu filho, Raoni, que mesmo com a sua pouca idade, sempre me entendeu e me incentivou para os estudos, permanecendo do meu lado quando não podia lhe dar a atenção que queria. Agradeço aos meus pais, Jayme e Geny, pelo apoio incondicional e compreensão não somente durante esse tempo, mas por sempre terem sido minha base e acreditarem em mim mesmo nos momentos em que não acreditei. Agradeço aos meus tios, tias e primos, em especial a Tia Maria, Be, Adriana, Ariana e Marcos pelo apoio de sempre, por me ajudarem com o meu pequeno; as irmãs Nilva e Nilda Tomazini, por estarem sempre junto de nós. Agradeço aos meus amigos, em especial a Dra. Priscila Cintra Socolowski, a Clau- dinéia Tavares, a toda turma da "Veccia" Aline, Andiara, Andréia, Claudia, Marcela, Michele e Renato, sem as nossas reuniões não teria aguentado, aos amigos Állana, Ale- xandro, Ana Paula, Carol Piva, Cristiane, Daniele, Danilo, Damaris, Eduardo, Juliana, Junior, Lais, Licia, Luciana, Nelita, Renata, Rodrigo, Thiago, Vagner, Vanessa, enfim a todos que me apoiaram no momentos difíceis que enfrentei e que continuam sendo meus amigos, mesmo depois de tantas ausências minhas por conta desse mestrado. Agradeço aos alunos e a toda equipe da E.E. "Odilon Correa", em especial aos gestores e professores Alessandro, Adriana, Danubia, Érisson, Fernando, Luana, Roade, Rosinete, Sheila, por me entenderem e me apoiarem todos os dias. Agradeço aos amigos desse mestrado, em especial Ana Cecilia, Ari, Calixto, Glaucia, Henrique, Luciano, Márcia, Mainara, Patrícia, Ricardo, Sibeli, Thadeo, com vocês os momentos de tensão e cansaço físico e mental se tornaram suportáveis e muitas vezes até divertidos. Agradeço à SBM pela iniciativa do Profmat e à CAPES pelo suporte Financeiro. Finalmente, agradeço aos professores do Departamento de Matemática da UNESP de Rio Claro, em especial a nossa coordenadora Profa. Dra. Suzinei Aparecida Siqueira Marconato, que me animou nas vezes que pensava em largar tudo e me disse que eu era capaz, a Profa. Dra. Eliris Cristina Rizziolli pelo apoio, ao Prof. Dr. Wladimir Seixas que me ajudou desvendar o Latex e principalmente a minha querida orientadora Profa. Dra. Marta Cilene Gadotti, você foi um presente de Deus nessa caminhada.
Logaritmos constituem um assunto desafiador a ser ministrado aos alunos do En- sino Médio, sendo que a maioria destes apresenta grande dificuldade de compreensão e resolução dos exercícios propostos. O objetivo do presente trabalho foi o de apresentar aos docentes uma forma diferente e mais acessível de ensinar logaritmos aos seus alu- nos, constituindo-se uma interessante alternativa à forma que é comumente utilizada nas escolas em geral. O logaritmo apresenta-se como ferramenta matemática aplicável em inúmeras utilizações, sendo que estas podem ser inseridas nas explicações dadas em ambiente educacional e servir como motivação ao estudo de suas propriedades. A in- trodução e apresentação da teoria dos logaritmos foram realizadas segundo Lima, 2010. A explicação a ser explorada no Ensino Médio utilizou o conceito de área aproximada abaixo da hipérbole y = 1/x. No entanto, aos professores foi também apresentada a definição do logaritmo natural por meio de uma integral de Riemann.
Palavras-chave: Logaritmos, História dos Logaritmos, Aplicações dos Logaritmos, Funções Logarítmicas.
Logarithms are a challenging topic taught to high school students, and most of these had difficulties to understanding and resolution of proposed exercises. The objective of this study was to present to teachers a different and more accessible form to teach logarithms to their students, becoming an interesting alternative to the form that is commonly used in schools in general. The logarithm is presented as mathematical tool applicable in many situations, and these situations can be inserted in the explanations given in classrooms and serve as motivation for the study of their properties. The introduction and presentation of the theory of logarithms were performed according to Lima, 2010. The explanation to be explored in high school used the concept of approximate area under the hyperbola y = 1/x. However, the teacher also has the definition given by the natural logarithm of a Riemann integral.
Keywords: Logarithms, History of Logarithms, Application of Logarithms, Logarith- mic Functions.
Tema desafiador de ser apresentado e discutido no Ensino Médio, o logaritmo nos surpreende quanto às suas inúmeras aplicações e que podem ser inseridas em uma aula motivando o estudo de suas propriedades facilitando seu entendimento e tornando-o menos abstrato aos olhos dos estudantes do Ensino Médio. Neste trabalho, optamos por introduzir e apresentar a teoria de logaritmos segundo a referência [1]. A ideia de utilizar o conceito de área de uma região - no caso, a área
aproximada abaixo da hipérbole y =^1 x - pode ser explorada no Ensino Médio. Porém aqui também relembramos, para o professor de Ensino Médio interessado, a definição
do logaritmo natural por meio de uma integral de Riemann, ln x =
∫ (^) x
1
t
dt. Outro ponto interessante é apresentar historicamente a importância desse conceito desde o século XV e seu uso na simplificação de alguns cálculos. Assim iniciamos este trabalho fazendo uma descrição histórica resumida sobre o aparecimento do logaritmo, no capítulo 2. O restante do trabalho está estruturado da seguinte forma: no capítulo 3 são intro- duzidas definições sobre potências como são inseridas no ensino médio, assim como o conceito de logaritmo. No capítulo 4 uma ideia intuitiva e construtiva de logaritmo é dada utilizando o conceito de área. O capítulo 5 apresenta e explora as propriedades da função logarítmica; finalmente no capítulo 6 algumas aplicações do logaritmo são dadas. Além disso, apresentamos as tábuas de logaritmos nos apêndices A e B e Noções de Cálculo Diferencial e Integral no apêndice C.
