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Livro com fundamentos da disciplina de álgebra
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
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Não perca as partes importantes!
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Aberta do Brasil Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará Diretoria de Educação a Distância Fortaleza, CE 2009 Fundamentos de Álgebra Licenciatura em Matemática Francisco Gêvane Muniz Cunha
Cunha, Francisco Gêvane Muniz Fundamentos de álgebra / Francisco Gêvane Muniz Cunha; Coordenação Cassandra Ribeiro Joye. - Fortaleza: UAB/IFCE,
174p. : il. ; 27cm. ISBN 978-85-63953-06-
8 Fundamentos de Álgebra APRESENTAÇÃO Olá turma, Nesta disciplina, Fundamentos de Álgebra, de 100h/a, apresentamos fundamentos essenciais para o curso de Licenciatura em Matemática do IFCE. Nela, abordamos alguns conteúdos básicos de Matemática dos currículos do Ensino Médio, procurando dar um tratamento mais no nível de graduação. Os assuntos podem ser divididos em duas partes. A primeira parte, mais extensa, é composta por temas de Álgebra Linear, a saber: vetores, sistemas lineares, matrizes e determinantes. Na segunda parte, apresentamos as progressões aritméticas e as progressões geométricas. Os temas discutidos na disciplina fornecem uma maneira de analisar e resolver problemas em muitas áreas aplicadas. Como ocorre com tantas disciplinas da Matemática, os assuntos envolvem conceitos, teoremas, provas, fórmulas e cálculos de vários tipos. Abrangem três aspectos: o geométrico, o algébrico e o numérico (ou computacional). Entretanto, o mais importante é o entendimento de como as ideias discutidas na disciplina se inter-relacionam. As teorias apresentadas constituem a base para estudos mais aprofundados e são uma excelente oportunidade para se exercitar: argumentação teórica, construção de demonstrações e relacionamento de conceitos abstratos com suas aplicações. A sua participação nas atividades e em cada aula será essencial para que você possa tirar o maior proveito da disciplina. Eu, como professor conteudista e formador da disciplina, e toda a equipe de tutores estaremos à disposição para maiores esclarecimentos. Desejo um bom curso a todos! Francisco Gêvane Muniz Cunha.
10 Fundamentos de Álgebra A noção de vetor, assim como as demais que veremos, é uma das ferramentas essenciais para o estudo da matemática. Dada a sua importância e as amplas aplicações que encontra, tornou-se um fundamento exigido não só de matemáticos, como também de físicos, engenheiros e outros profissionais. Escolhemos iniciar nossa disciplina com a noção de vetor. Com essa abordagem, poderemos, por exemplo, interpretar as soluções de sistemas lineares como objetos geométricos (como pontos, retas e planos), em vez de apenas como conjuntos amorfos. Desse modo, o uso de vetores simplifica e esclarece enormemente o estudo dos sistemas lineares. Poderemos também interpretar as linhas e colunas das matrizes como vetores. Isso nos dá uma ideia da importância dos vetores para a própria Álgebra Linear. Outra aplicação dos vetores na própria matemática se dá na disciplina de Geometria Analítica. Segundo Rosa (s/d) “a geometria analítica com vetores é muito mais concreta e simples do que a geometria analítica renascentista (sem vetores) que é ministrada (nas raras vezes em que há tempo para isto) no Ensino Médio”. Há inúmeros caminhos para a resolução de problemas geométricos através da Álgebra, TÓPICO 1 Vetores: importância e ensino O bjetivOs
O vocábulo amorfo vem do termo grego ámorphos e significa sem forma definida, informe. Em matemática, um conjunto amorfo é um conjunto desprovido de qualquer tipo de estrutura. Na disciplina de Estrututaras Algébricas, ao aprofundará o estudo da natureza dos conjuntos, você verá que eles podem ser dotados de diversas estruturas e podem ser comparados mediante os morfismos adequados.
AULA 1 Tópico 1^11 porém o tratamento vetorial é o mais indicado pela sua elegância e simplicidade. O estudo da Geometria Analítica com vetores torna-se muito mais simples, fácil de entender e ligado à realidade tecnológica que vivemos. Quando se discute este conteúdo na perspectiva da dinâmica dos vetores, o(a) aluno(a) intui e percebe a ideia de movimento, deslocamento, variações de um ponto a outro, ou seja, consegue visualizar a transformação geométrica causada pelo vetor. Conhecimentos sobre os conceitos relativos a vetores e a aspectos básicos da Geometria Analítica Espacial capacitam o aluno a interpretar e compreender problemas relacionados à matéria e a promover a aplicação dos conceitos abordados, em certas áreas do conhecimento. Neste sentido, as orientações curriculares para o ensino médio sugerem para o ensino de Geometria Analítica: É desejável, também, que o professor de Matemática aborde com seus alunos o conceito de vetor, tanto do ponto de vista geométrico (coleção dos segmentos orientados de mesmo comprimento, direção e sentido) quanto algébrico (caracterizado pelas suas coordenadas). Em particular, é importante relacionar as operações executadas com as coordenadas (soma, multiplicação por escalar) com seu significado geométrico. A inclusão da noção de vetor nos temas abordados nas aulas de Matemática viria a corrigir a distorção causada pelo fato de que é um tópico matemático importante, mas que está presente no ensino médio somente nas aulas de Física. (BRASIL, 2006, p. 77) Embora a ideia de vetor tenha sido introduzida no século XIX, sua utilidade em aplicações - particularmente as aplicações em ciências físicas - não foi percebida até o século XX. Mais recentemente, vetores tiveram aplicações em Ciência da Computação, Estatística, Economia e Ciências Sociais (POOLE, 2006, p. 1). A ideia de compreender vetor como uma operação de transporte de pontos é, de fato, bastante interessante. Os vetores agem no espaço dos pontos, transportando-os em linha reta. Esta visão contemporânea dos vetores, traduzida para linguagem mais simples, corresponde a dizer que os vetores são ações que causam deslocamentos dos pontos. Os tópicos da Álgebra Linear que discutiremos em nossa disciplina, a saber, vetores, matrizes, determinantes e sistemas lineares, poderiam ser ordenados de diversas maneiras. Poderíamos, por exemplo, começar com sistemas lineares, com
Vetor vem do Latim vector e significa “aquele que transporta ou leva algo”. Desse modo, em Matemática, os vetores devem ser entendidos como os agentes que produzirão movimentos.
AULA 1 Tópico 1^13 e simplificador, não é mencionada, embora esteja presente nas linhas e colunas das matrizes e nas soluções dos sistemas. (LIMA et al ., 2001, p. 465) Para compreendermos melhor o conceito e a importância dos vetores, uma boa motivação é a participação em um jogo simples que introduz algumas das ideias cruciais, conhecido como “O Jogo da Pista de Corrida”, descrito no texto abaixo: I ntrodução : o J ogo da PIsta de C orrIda O jogo se desenvolve em um papel quadriculado. Uma pista, com uma linha de partida e uma linha de chegada, é desenhada no papel. A pista pode ser de qualquer comprimento e forma, desde que seja suficientemente larga para que cada jogador possa ser representado nesse espaço. Neste exemplo, temos dois jogadores (vamos chamá-los de Ana e Beto), que usam canetas de cores diferentes para representar seus carros ou bicicletas, ou outra coisa que eles usem para percorrer a pista (vamos pensar em Ana e Beto como ciclistas). Ana e Beto começam desenhando uma marca sobre a linha de partida, em um dos pontos da grade do papel quadriculado. Eles se revezam para avançar para um novo ponto da grade, de acordo com as seguintes regras:
Assim como as “matrizes”, os “vetores” são uma espécie de quantidade de que se ocupa a Álgebra Linear. O termo vetor apresenta significado distinto na Engenharia, na Matemática e em outras ciências, e, em cada uma, tem aplicações específicas. Os vetores são usados, por exemplo, na navegação e no estudo de forças e do movimento. Vetores em dimensões maiores ocorrem em campos tão diversos como a Genética, a Economia, a Cristalografia e a Ecologia. Os vetores também são utilizados na Teoria da Relatividade para ajudar a descrever a natureza da gravidade, do espaço e da matéria (ANTON; BUSBY, 2006).
14 Fundamentos de Álgebra em seu próximo movimento, esse jogador deve andar entre a - 1 e a + 1 unidades horizontalmente, e entre b - 1 e b + 1 unidades verticalmente. Em outras palavras, se o segundo movimento é de c unidades horizontalmente e d unidades verticalmente, então | a − c|≤ 1 e | b − d|≤ 1 (Esta é a regra da “aceleração/desaceleração”). Note que esta regra obriga o primeiro movimento a ser de uma unidade verticalmente e/ou de uma unidade horizontalmente;
16 Fundamentos de Álgebra da magnitude da força e da direção e sentido em que é aplicada. Por exemplo, embora tenham a mesma magnitude, as três forças de 10 kgf da figura 3 têm efeitos diferentes sobre o bloco por causa das diferenças em suas direções e sentidos. Junto com uma direção e um sentido, a força forma uma quantidade vetorial denominada vetor força. Figura 2 – Vetor Velocidade Figura 3 – Vetor Força Geometricamente, vetores no plano (espaço bidimensional) ou no espaço (espaço tridimensional) podem ser representados por setas (segmentos de reta orientados): o comprimento da seta é proporcional à magnitude (ou parte numérica) do vetor, e a direção e sentido da seta indicam a direção e o sentido do vetor. A origem da seta é denominada ponto inicial do vetor, e a extremidade da seta é o ponto final do vetor. Nesta primeira lição, trataremos dos vetores no plano ou no espaço, quando é possível representá- los geometricamente. Na próxima lição, de posse da representação algébrica dos vetores, estudaremos vetores no espaço n- dimensional ou n^ , com n ³ 1. Em nosso texto, denotaremos vetores com letras minúsculas em negrito, como a, b, u, v, x e y , e escalares com minúsculas em itálico, como a, b, u, v, x e y. Se um vetor v tem ponto inicial A e ponto final B então denotamos o vetor por v = AB ,
Nós é o mesmo que milhas náuticas por hora. Esta é uma maneira tradicional de medir a rapidez v na água.
O conceito de espaço n-dimensional com n ³ 1 (plano quando n = 2 e espaço quando n = 3 ) será introduzido formalmente na próxima aula.
A magnitude de um vetor é também chamada de comprimento, tamanho, módulo ou norma do vetor.
AULA 1 Tópico 2^17 se queremos explicitar os pontos inicial e final (figura 4). Figura 4 – Notação de Vetor O comprimento da seta representa a magnitude do vetor, o corpo da seta indica a direção, e a ponta da seta indica o sentido. O vetor cujos pontos inicial e terminal coincidem tem comprimento zero. Denominamos este vetor de vetor zero ou vetor nulo e o denotamos por 0. Como o vetor nulo não possui direção ou sentido naturais, convencionamos que ele tem a direção e o sentido que forem convenientes para os nossos propósitos. Um vetor AB
corresponde ao deslocamento de um ponto A até outro ponto B, conforme mostra a Figura 4. Poole (2006, p. 3) destaca que: A palavra vetor vem de um radical latino que significa “carregar” [tranportar ou levar, conforme vimos no Tópico 1, g.n.]. Um vetor é formado quando um ponto é deslocado – ou “carregado” – por uma certa distância em uma certa direção. Visto de outro modo, um vetor “carrega” duas peças de informação: seu comprimento e sua direção. Dizemos que dois vetores são iguais ou equivalentes se eles têm o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido (figura 5). Indicamos que v e w são equivalentes escrevendo v = w. Geometricamente, dois vetores são iguais se obtemos um deles deslocando o outro paralelamente a si próprio (ou seja, fazendo uma translação), até que os dois vetores coincidam. Figura 5 – Vetores Iguais
Uma vez que é difícil indicar negrito quando se escreve à mão, algumas pessoas preferem
para representar o vetor denotado por v no texto impresso. Entretanto, em geral, é aceitável usar simplesmente a letra v minúscula. Geralmente ficará claro, pelo contexto, se essa letra denota um vetor ou não.
AULA 1 Tópico 3^19 TÓPICO 3 Operações com vetores O bjetivOs
20 Fundamentos de Álgebra a uma versão equivalente à regra do triângulo para a adição de vetores no plano ou no espaço: Definição 2 (Regra do Paralelogramo para a Adição de Vetores) : Se v e w são vetores no plano ou no espaço que estão posicionados de tal modo que seus pontos iniciais coincidem, então os dois vetores formam lados adjacentes de um paralelogramo e a soma v + w é o vetor representado pela seta desde o ponto inicial comum de v e w até o vértice oposto do paralelogramo (figura 6b). Figura 6a – Regra do Triângulo Figura 6b – Regra do Paralelogramo De acordo com Anton e Busby (2006, p. 25): A regra do paralelogramo para a adição vetorial descreve corretamente o comportamento aditivo de forças, velocidades e deslocamentos na Engenharia e na Física. Por exemplo, o efeito de se aplicar as duas forças F 1 e F 2 ao bloco na figura 7 é o mesmo que aplicar a única força F 1 + F 2 ao bloco. Analogamente, se o motor do barco na figura 7 impõe uma velocidade v 1 e o vento impõe uma velocidade v 2 então o efeito combinado de motor e vento impõem a velocidade v 1 + v 2 ao barco. Finalmente, se uma partícula sofre um deslocamento AB
de A até B e em seguida um deslocamento BC
de B a C (figura 7), então os deslocamentos sucessivos são iguais ao único deslocamento AC = AB +BC
de A a C. Figura 7 – Comportamento aditivo de vetores na Engenharia e na Física MULTIPLIÇÃO DE VETOR POR ESCALAR Às vezes ocorre a necessidade de se mudar o comprimento de um vetor ou mudar seu comprimento e trocar seu sentido. Isto é alcançado com um tipo de multiplicação na qual vetores são multiplicados por escalares. Esta é a segunda
