Baixe Matemática no 1º Ano do Ensino Médio: Conjuntos, Geometria e Funções e outras Notas de aula em PDF para Matemática, somente na Docsity!
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LIVRO 1A
Matemática
Manual do Professor
Frente A
Unidade 1 – Conjuntos e conjuntos numéricos Capítulo 1 – Conjuntos.................................................................................................................................................................................. Capítulo 2 – Conjuntos numéricos.............................................................................................................................................................
Unidade 2 – Funções Capítulo 3 – Relações e introdução às funções ...................................................................................................................................... Capítulo 4 – Função constante e função afim .........................................................................................................................................
Frente B
Unidade 1 – Princípios da Geometria Plana Capítulo 1 – Relações trigonométricas nos triângulos ......................................................................................................................... 10 Capítulo 2 – Conceitos fundamentais: retas e ângulos ....................................................................................................................... 12
Unidade 2 – Triângulos Capítulo 3 – Elementos fundamentais dos triângulos ......................................................................................................................... 13 Capítulo 4 – Proporções geométricas ..................................................................................................................................................... 15
Frente C
Unidade 1 – Elementos de Álgebra Capítulo 1 – Produtos notáveis e fatoração............................................................................................................................................ 16 Capítulo 2 – Potenciação e radiciação .................................................................................................................................................... 18
Conjuntos e conjuntos numéricos
A unidade 1 aborda conceitos relacionados à teoria dos conjuntos, que é uma área de investigação relativamente recente na Matemática – sua sistematização passou a ocorrer nos últimos 150 anos. Nesse con- texto, há ramificações pertinentes em novos campos, conhecidos como teoria de grupos e teoria de grafos. Nas perguntas da abertura da unidade, as respostas possíveis são:
- Como você explicaria a alguém o que são conjuntos? Um conjunto é como uma coleção de objetos.
- Quais exemplos você usaria para falar desse conceito? Conjuntos de números, de chapéus, dos meses do ano etc.
- Qual a relação entre a ideia de conjuntos e o infinito? A relação entre a ideia de conjuntos e o infinito é que alguns conjun- tos, como o dos números naturais, apresentam infinitos elementos.
Capítulo 1 – Conjuntos Neste capítulo, veremos que a ideia de conjuntos parte de conceitos primitivos. Contudo, é importante reforçar a linguagem específica utiliza- da na teoria dos conjuntos que foi estruturada no final do século XIX e no início do século XX e influenciou os estudos da Lógica e as investigações linguísticas posteriores. Nas perguntas da abertura do capítulo, as respostas possíveis são:
- Como a linguagem matemática pode representar um conjunto? Usando diagramas, chaves, símbolos etc.
- De que forma esses grupos podem se relacionar? Um grupo pode estar dentro do outro; dois grupos juntos podem formar um terceiro grupo; dois grupos podem conter os mesmos elementos etc.
Abordagem teórica Os conceitos primitivos de conjuntos devem ser contemplados sem muitas justificativas; o importante, neste momento, é o uso correto da lin- guagem. Assim, o aluno deve conhecer as três principais representações de conjuntos: explícita, por propriedade e por diagrama de Venn-Euler. As ideias de subconjuntos e do conjunto das partes devem ser ex- plicadas com cautela e com o apoio de exemplos. Uma das dificuldades recorrentes nessa etapa do aprendizado é o reconhecimento do conjun- to vazio como um subconjunto de qualquer outro conjunto. Após a turma estar mais familiarizada com a linguagem de conjuntos e saber represen- tá-los em diagramas, aborde as operações entre conjuntos. Essas operações devem ser bem definidas e apresentadas com exemplos que explorem todas as representações mencionadas. Apesar do uso constante dos diagramas para resolver exercícios, atente para não se esquecer da notação da solução, que é muito importante para a resolução dos exercícios em vestibulares. Incentive os alunos a realizar todos os exercícios das seções “Aplicando conhecimentos” e “No Enem é assim”, que aparece ao final da unidade.
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UNIDADE 1
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Capítulo 2 – Conjuntos numéricos Os alunos já estão familiarizados com os conjuntos numéricos. Por isso, é recomendável uma abordagem mais profunda sobre o assunto. Uma opção viável é comentar sobre a história dos números e suas dife- rentes representações e origens do seu surgimento. Lembre-os de que o sistema decimal que usamos não é único na his- tória da Matemática – há evidências de uso dos sistemas sexagesimal e duodecimal. Para as perguntas de abertura, espera-se as seguintes respostas:
- Você sabe qual é o conjunto numérico mais primitivo que usamos até hoje? O conjunto dos números naturais, cujos elementos são utilizados em situações de contagem.
- Você acredita que os números estudados até aqui são suficientes para representar todas as situações da vida moderna? Para representar as situações cotidianas, são necessários os elemen- tos do conjunto dos números reais. O conjunto dos números naturais e o dos números inteiros não são suficientes.
Abordagem teórica O assunto se encaixa na Matemática básica e é de conhecimento práti- co de todos os alunos, possibilitando uma abordagem mais madura e apro- fundada. O foco deve estar na sistematização de cada um dos conjuntos numéricos, destacando suas propriedades e particularidades. Ao abordar o conjunto dos números racionais, aproveite para men- cionar alguns exemplos. Uma quantidade considerável de alunos termina o Ensino Fundamental com difi culdades nas operações entre frações e no trato com as dízimas periódicas, por isso dê atenção especial a esses assuntos. Ao apresentar alguns exemplos, disponibilize um tempo a eles para que resolvam uma parte em sala. A aplicação dos números racionais terá repercussões nas outras dis- ciplinas exatas – todas utilizam frequentemente medidas em notação científi ca, e as fórmulas de grandezas inversamente proporcionais en- volvem frações. O conjunto dos números irracionais deve ser trabalhado sem muitos aprofundamentos, pois a manipulação é mais complicada e os alunos, por ora, não precisarão de tantas informações. Aproveite a proposta do boxe “Discussão em sala” e explique para a turma como determinar um segmento que mede 2. Os alunos devem uti- lizar um compasso, mantendo a ponta seca no ponto 0 e fazendo a aber- tura coincidir com o comprimento da diagonal. Depois, eles devem girar o compasso até marcar a interseção com a reta suporte da base (ponto A). Desse modo, eles obterão o segmento OA, cujo comprimento mede 2. Caso julgue necessário, mostre a eles a imagem do resultado, conforme consta a seguir.
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Vale sempre o alerta sobre a qualidade das aproximações utilizadas para os números irracionais; muitos alunos chegam ao Ensino Médio substituindo o valor de “pi” por três ou um número próximo. Uma dica importante para eles é limitar a precisão da aproximação racional des- tes números a quatro casas depois da vírgula. Para a maioria das apli- cações práticas, isso é mais do que suficiente. Em geral, os exames de Matemática só usam aproximações quando o enunciado explicita a ex- pressão “aproximadamente”. Mencione a reta real e retome as operações com conjuntos vistas no capítulo anterior. Realize-as com intervalos reais, de forma exaustiva. Apresente todos os modos de notação que possam aparecer, enfatizan- do para os alunos que essa diversidade é importante para o conhecimen- to deles.
Leitura extra
Há uma tirinha do Hagar, que, com bom humor, menciona uma conta- gem realizada usando um conjunto numérico não usual. Caso julgue pertinente e haja tempo no planejamento, proponha um trabalho de pesquisa sobre sistemas numéricos que não sejam muito co- nhecidos, tornando a aula mais atrativa para sua turma.
Aplicando conhecimentos
É recomendável resolver todos os exercícios desta seção com os alu- nos em sala. A quantidade de atividades nas outras seções de exercícios é sufi ciente, então procure alternar entre as seções “Consolidando sa- beres” e “No Enem é assim”. Se o rendimento da turma superar a média, reserve um momento final para as atividades da “Seção olímpica”.
Referências bibliográficas
ANTAR NETO, Aref et al. Noções de Matemática. Fortaleza: VestSeller, 2009. v. 1. ASOCIACIÓN FONDO DE INVESTIGADORES Y EDITORES. Álgebra. Lima: Lumbreras Editores, 2016. v. II. (Colección Ciencias y Humanidades). EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Campinas: Unicamp, 2004. IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos da Matemática elementar. São Paulo: Atual, 2013. v. 1. RUFFINO, Marcelo. Coleção elementos da Matemática. Fortaleza: VestSeller, 2010. v. 1.
Manual do Professor 5
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Aplicando conhecimentos
Aplique em aula todos os exercícios para que os alunos se familiari- zem com a nova linguagem, lembrando a importância do capítulo e rela- cionando tarefas precisas ao que foi dado. Há uma grande variedade de exercícios – de múltipla escolha das grandes universidades, do Enem, de elaboração de gráficos e resolução de inequações.
Leitura extra
A “Leitura extra” é uma tentativa de abordar o assunto seguindo o viés histórico. A escolha do texto recaiu num trecho de uma tese de mestrado de uma professora de Matemática. A proposta da autora é melhorar a compreensão de seus alunos por meio da apresentação da evolução do conceito de função, desde a Antiguidade até os dias atuais. É muito interessante observar a mudança de olhar dos matemáticos no decorrer dos séculos e quais foram as decisões que facilitaram o sur- gimento do conceito atual – a saber, a consolidação da álgebra simbólica, o surgimento do método científico e a experimentação.
Referências bibliográficas
ANTAR NETO, Aref et al. Noções de Matemática. Fortaleza: VestSeller, 2009. v. 2. ASOCIACIÓN FONDO DE INVESTIGADORES Y EDITORES. Álgebra. Lima: Lumbreras Editores, 2016. t. 1. (Colección Ciencias y Humanidades). EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Campinas: Unicamp, 2004. IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos da Matemática elementar. São Paulo: Atual,
- v. 2. RUFFINO, Marcelo. Coleção elementos da Matemática. Fortaleza: VestSeller, s/d. v. 0.
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Capítulo 4 – Função constante
e função afim Este capítulo trata do tipo de função mais abordado no Ensino Médio, seja na Matemática ou nas outras Ciências da Natureza: a função poli- nomial de 1o^ grau (ou função afim). Pela sua simplicidade formal, trata-se da primeira tentativa de ajuste de dados experimentais quando estamos buscando alguma correlação entre duas grandezas. A abertura associa uma situação rotineira da s pessoas que vivem em grandes cidades – os aplicativos de transporte – às funções polinomiais de 1o^ grau.
Abordagem teórica Tratando-se de funções, este possivelmente é um dos capítulos em que a turma pode ter mais facilidade no aprendizado. Por isso, é um ótimo momen- to para reforçar os conceitos colocados em capítulos anteriores. Para iniciar a abordagem, trabalhe com os alunos as duas perguntas mo- tivadoras, fazendo-os perceber que a função constante se caracteriza por apenas um elemento na imagem para qualquer elemento do domínio. Já a função afim caracteriza-se por uma dependência linear entre os elementos do domínio e da respectiva imagem. Há uma parte proporcional, além de uma parte constante (termo independente) a ser acrescentada ao valor da imagem. Além disso, incentive a turma a refletir sobre as situações em que estas funções possam ser úteis, como no cálculo da remuneração por horas de trabalho ou de juros simples, em expressões da Cinemática etc. Iniciando a teoria, perceba que ela é relativamente sucinta, mas deve ser muito bem desenvolvida com os alunos, aproveitando as expressões mais simples das leis de formação para focar no conceito de cada termo. Recomendamos o uso frequente de analogias a outras disciplinas; por exemplo, há diversas funções afins abordadas na Física, em particular na Cinemática. Se possível, converse com o professor da outra disciplina para sincronizar os conteúdos de ambas no programa do 1o^ semestre. A leitura das questões resolvidas deve ser incentivada como auxílio à realização das tarefas de casa. É importante que sejam feitos muitos exercí- cios em sala de aula, principalmente para auxiliar os alunos que estão ven- do esse conteúdo pela primeira vez no Ensino Médio. Destacamos, ainda, a necessidade de se ter uma atenção especial nas resolução das inequa- ções, ensinando a turma o método de resolução isolando-se a incógnita. Na resolução de inequações-produto e de inequações-quociente, in- centive os alunos a chegar à resposta através da análise gráfica.
Aplicando conhecimentos
Recomendamos que seja feito o maior número possível de exercícios em sala para o planejamento adotado. Se possível, permita aos alunos que resolvam os exercícios mais com- plexos em duplas ou trios.
A ordem dos assuntos abordados nesta frente de Geometria Plana difere ligeiramente do que, em geral, se encontra nos livros didáticos tra- dicionais. Começamos com uma revisão ampla sobre a trigonometria no triângulo retângulo, a lei dos cossenos e a lei dos senos. Essa estraté- gia foi adotada para que o aluno possa, de ma neira interdisciplinar, com- preender os estudos também da Física, abordados na 1ª–^ série do Ensino Médio, momento em que está aprendendo as grandezas vetoriais (em Física) e as operações geométricas com vetores (em Matemática). Portanto, é necessário que a turma domine as razões trigonométri- cas simples, bem como o teorema de Pitágoras e a lei dos cossenos, para que possa manipular com segurança as operações vetoriais. A or- dem dos demais capítulos segue a apresentação usual da matéria de Geometria Plana. Na abertura de unidade, explore as perguntas propostas:
- Como a Geometria pode se apresentar no estudo de outras ciências exatas, como a Física e a Astronomia? Figuras geométricas podem ser utilizadas para representar elementos da realidade, facilitando a resolução de problemas por meio de uma modelagem matemática.
- Que elementos geométricos estão presentes com maior frequência em nosso cotidiano? Figuras geométricas planas e espaciais podem ser associadas ao for- mato de diversos objetos que utilizamos no cotidiano. É muito comum que o telhado de casas tenha formato triangular, por exemplo.
Capítulo 1 – Relações trigonométricas
nos triângulos O primeiro capítulo da frente B é planejado para ser trabalhado em quatro aulas. Adote a seguinte divisão de conteúdo:
- Aula 1: teorema de Pitágoras.
- Aula 2: trigonometria no triangulo retângulo.
- Aula 3: lei dos cossenos e lei dos senos.
- Aula 4: exercícios gerais de prática e revisão dos conteúdos das aulas anteriores.
Abordagem teórica Naturalmente, cabe ao professor sentir o ritmo dos alunos de cada turma em particular. Se necessário, reserve mais duas aulas para este capítulo. Ao abordar a abertura de capítulo, explore as perguntas propostas:
- Como podemos relacionar as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo retângulo? Podemos utilizar as relações trigonométricas de seno, cosseno e tan- gente de um ângulo.
Princípios da Geometria Plana
FRENTE B
UNIDADE 1
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- É possível adaptar o teorema de Pitágoras aos triângulos que não apresentam ângulos retos? Uma opção é dividir o triângulo que não apresenta ângulos retos em outros dois, com um lado comum e um ângulo reto determinado por esse lado.
Durante a explicação da teoria, ressalte a importância de memorizar os valores numéricos do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos notáveis de 30°, 45° e 60° para que não precisem recorrer às tabelas para determinar esses valores. Além disso, enfatize que, em ordem de relevância, a lei dos cossenos precede a lei dos senos, justamente por sua aplicação mais comum em problemas de Física que envolvem vetores. Se possível, reserve alguns minutos durante a aula 3 para mostrar as aplicações do conteúdo em Física (resultante da soma de vetores de mó- dulos distintos e direções diferentes).
Manual do Professor 11
Triângulos
Esta unidade de Geometria Plana reúne quatro capítulos que abordam aspectos distintos dos triângulos. A maioria dos problemas de polígonos que aparecem nos vestibulares recai no estudo de triângulos; o mesmo ocorre com muitos outros exercícios de Geometria Espacial – quando estamos abordando medidas de arestas e áreas das faces de pirâmides, tetraedros, octaedros, icosaedros etc. Em relação às perguntas motivadoras, os elementos fundamentais que constituem um triângulo são os lados e os ângulos internos. As me- didas devem obedecer à chamada desigualdade triangular, ou seja, a medida de cada lado tem de ser menor que a soma das medidas dos outros dois lados.
Capítulo 3 – Elementos
fundamentais dos triângulos
Este capítulo é particularmente importante na ordem do curso de Geometria Plana, já que é pré-requisito para praticamente todos os capítu- los que o sucedem. O destaque fica por conta das relações que envolvem a soma dos ângulos internos de um triângulo, pois esta será usada para provar diversos teoremas da Geometria, além de ser abundantemente uti- lizada nos exercícios de semelhança e congruência de triângulos.
Abordagem teórica
Para iniciar a abordagem do conteúdo, reflita com os alunos sobre as perguntas presentes na abertura do capítulo. Elas têm como resposta:
- Que tipos de relações guardam as medidas dos ângulos de um triângulo? No plano, a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo vale 180°, e a soma dos ângulos externos vale 360°.
- É possível ordenar os lados de um triângulo a partir das medidas dos seus ângulos? O maior ângulo se opõe ao maior lado do triângulo. Então, se con- siderarmos as medidas dos lados em ordem crescente, os ângulos opostos a esses lados também estarão em ordem crescente.
Recomendamos que faça em sala as duas experiências sugeri- das no início do tópico “Relações entre os ângulos de um triângulo”, de modo que a curiosidade dos alunos seja instigada ao acrescentar um componente lúdico à aula. Nesses experimentos, o ideal é deixar a con- jectura do valor da soma dos ângulos internos de um triângulo a cargo dos alunos, provando em seguida os resultados estabelecidos, tanto para a relação dos ângulos internos como para a dos ângulos externos. Diferentemente da ordem tradicional dos livros, optamos por apresentar a classificação dos triângulos quanto aos lados e aos ângulos apenas de- pois de explicarmos sobre os teoremas dos ângulos internos. Isso se deve ao fato de que, para o aluno, a compreensão dos teoremas que envolvem os ângulos de triângulos isósceles e equiláteros pode ser mais fácil após já terem o domínio das relações dos ângulos de um triângulo. Porém, caso deseje seguir a linha tradicional e apresentar a classifica- ção dos triângulos antes dos teoremas que envolvem seus ângulos, não haverá qualquer tipo de prejuízo para a compreensão dos alunos.
UNIDADE 2
Manual do Professor 13
A desigualdade triangular, muitas vezes, é ensinada como, dado um ΔABC, de lados medindo a, b e c, deve-se satisfazer a relação: |b – c| < a < b + c Esse resultado, geralmente, é mais útil de se trabalhar que o apresen- tado neste capítulo, pois não leva em consideração o conhecimento do maior ou menor lado de um triângulo. Entretanto, não utilizaremos essa relação no momento em virtude da baixa familiaridade dos estudantes com as operações modulares nesta etapa do ano. É útil, porém, que essa forma de apresentar a desigualdade seja mencionada. No boxe “Mais”, a abordagem das obras da série Triangulations, do jovem artista britânico Josh Bryan, permite aos alunos perceber como o mais simples dos polígonos está permeado em toda a cultura contempo- rânea. É um exercício de paciência elaborar os retratos à mão, triângulo por triângulo, e também é interessante notar que com texturas e sombras fica mais bem definida a expressão facial dos homenageados.
Referência bibliográfica LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. 7. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v. 3.
14 Matemática^ – Frente B
16 Matemática –^ Frente C
A unidade retoma conteúdos vistos principalmente no 8 o^ e 9 o^ anos do Ensino Fundamental. Por isso, não há correspondência específica com habilidades da BNCC do Ensino Médio, mas o conjunto se enquadra na competência 5. O objetivo de revisar esse conteúdo é “preparar terreno” para au- mentar a eficiência dos alunos nos tópicos de PA, PG, trigonometria e polinômios. Estes assuntos apresentam abordagem preponderante- mente algébrica. Ao abordar a abertura de unidade, oriente os alunos a realizar uma pesquisa para responder às perguntas propostas. Elas têm o intuito de provocar uma reflexão sobre a importância da Álgebra.
Capítulo 1 – Produtos notáveis
e fatoração Neste capítulo, será feita uma revisão dos assuntos já trabalhados no Ensino Fundamental. É importante que haja, além dessa revisão, um apro- fundamento dos tópicos já tratados. Como estratégia, o material realiza associações com a Geometria e motiva o uso da fatoração, como a reso- lução de equações. Para as perguntas de abertura do capítulo, espera-se as seguintes respostas:
- Qual a relação entre geometria e álgebra? Podemos utilizar a Geometria para provar resultados da Álgebra. Além disso, há a Geometria Analítica, área que utiliza conceitos algébricos para estudar elementos representados no espaço.
- O que são identidades algébricas? São igualdades que relacionam duas ou mais variáveis e são válidas para qualquer valor que elas assumam. Por exemplo: (a + b)² = a + 2ab + b² para quaisquer valores de a e b.
Abordagem teórica Na teoria, mesmo que no princípio pareça simples para os alunos, é muito importante uma abordagem repetitiva que abarque, detalhadamen- te, a mecânica dos produtos notáveis e o processo de fatoração. O conteúdo abrange uma gama razoável de exercícios, e a prática constante deve ser incentivada, pois ela será de grande valia para os alu- nos. Para facilitar este processo, aproxime-o sempre da Geometria ou dos problemas mais desafiadores apresentados no capítulo. Demonstrações também podem ser feitas. Essa tarefa deve ser encorajada, pois é extremamente importante os alunos se habituarem com os algoritmos nesses dois primeiros capítulos sobre álgebra.
Elementos de Álgebra UNIDADE 1
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Aplicando conhecimentos
Vários exercícios foram apresentados e a maioria deles deve ser re- solvida com os alunos, já que eles devem dominar o assunto. Como este é um capítulo de revisão (ferramenta útil para os estudos de exa- tas), que retomará o conteúdo do Ensino Fundamental, seria interessan- te levantar o conhecimento prévio da turma mediante a aplicação de alguns exercícios fundamentais.
Leitura extra
Nesta seção, há um texto que relaciona Álgebra com Geometria. Após mencionar esse assunto na abordagem teórica, sinta-se confortá- vel em trazer curiosidades e comentar relações da Álgebra com outras áreas matemáticas.
Referências bibliográficas
ASOCIACIÓN FONDO DE INVESTIGADORES Y EDITORES. Álgebra. Lima: Lumbreras Editores, 2016. t. II. (Colección Ciencias y Humanidades). EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Campinas: Unicamp, 2004. GOMES, Carlos A.; GOMES, José Maria. Tópicos de Matemática IME-ITA – Olimpíadas. Fortaleza: VestSeller, 2017. RUFFINO, Marcelo de Oliveira. Coleção elementos da Matemática. Fortaleza: VestSeller, 2010. v. 1.
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Referências bibliográficas
ANTAR NETO et al. Noções de Matemática. Fortaleza: VestSeller, 2009. v. 2. ASOCIACIÓN FONDO DE INVESTIGADORES Y EDITORES. Álgebra. Lima: Lumbreras Editores, 2016. t. I. (Colección Ciencias y Humanidades). EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Campinas: Unicamp, 2004. IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos da Matemática elementar. São Paulo: Atual,
- v. 2. RUFFINO, Marcelo. Coleção elementos da Matemática. Fortaleza: VestSeller, s/d. v. 0.
