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Livro de cálculo numérico resumido
Tipologia: Slides
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Não perca as partes importantes!
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Aberta do Brasil
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará
Diretoria de Educação a Distância
Fortaleza, CE 2010
Licenciatura em Matemática
Cálculo Numérico
Francisco Gêvane Muniz Cunha Jânio Kléo de Sousa Castro
Cunha, Francisco Gêvane Muniz
Cálculo numérico / Francisco Gêvane Muniz Cunha, Jânio Kléo Sousa de Castro; Coordenação Cassandra Ribeiro Joye. - Fortaleza: UAB/IFCE,
162p. : il. ; 27cm.
ISBN 978-85-475-0012-
CDD – 519.
C972c
Catalogação na Fonte: Islânia Fernandes Araújo (CRB 3 – Nº917 615)
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APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a),
Seja bem-vindo a nossa disciplina de cálculo numérico, cujo objetivo central é estudar
técnicas (ou métodos) numéricas para obter soluções de problemas que possam
ser representados por modelos matemáticos. Assim, ganhamos uma importante
ferramenta para a resolução de problemas oriundos da própria matemática, ou de
outras áreas, estabelecendo um elo entre matemática e problemas práticos de áreas
específicas.
Devemos destacar que a resolução de modelos matemáticos é muitas vezes complexa,
envolvendo fenômenos não-lineares, podendo tornar impossível a descoberta analítica
de soluções. Nestes casos, os métodos numéricos são ferramentas imprescindíveis a
aproximação das soluções. Portanto, o cálculo numérico é fundamental na formação
de profissionais das áreas de ciências exatas e engenharias.
Esperamos que você, caro(a) aluno(a), adquira habilidades para: compreender como os
números são representados nas calculadoras e computadores e como são realizadas
as operações nestes sistemas; conhecer e aplicar os principais métodos numéricos
para a solução de certos problemas; estimar e analisar os erros obtidos; e propor
soluções para minimizá-los ou mesmo, quando possível, eliminá-los.
A sua participação nas atividades e em cada aula será essencial para que você possa
tirar o maior proveito da disciplina. Agradeceremos quaisquer contribuições no sentido
de melhorar o nosso texto, estando à disposição para maiores esclarecimentos
Desejamos um bom curso a todos!
Gêvane Cunha e Jânio Kléo.
8 C á l c u l o N u m é r i c o
AULA 1
Representando números e calculando erros
Olá! Iniciaremos aqui os nossos estudos sobre o Cálculo Numérico. Nesta primeira aula, apresentamos uma breve visão sobre a disciplina, destacando, de modo geral, os conteúdos que serão abordados e procurando mostrar a importância dessa ferramenta para a resolução de diversos problemas que surgem, principalmente das ciências exatas e engenharias.
Nesta aula, trataremos ainda das formas de representação dos números em sistemas de numeração, enfatizando a representação em ponto flutuante, comumente adotada em sistemas digitais como calculadoras e computadores. Apresentaremos também noções de erro e de aproximação numérica, fundamentais para o trabalho com as técnicas do cálculo numérico.
Objetivos
(^1010) M a t e m á t i c a B á s i c a I IC á l c u l o N u m é r i c o
O esquema da figura 1 mostra duas etapas fundamentais para a solução de um problema:
Entendemos por método analítico aquele que, a menos de erros de arredondamentos, fornece as soluções exatas do problema real. Em geral, tais soluções são obtidas a partir de fórmulas explícitas. Por outro lado, um método numérico é constituído por uma sequência finita de operações aritméticas que, sob certas condições, levam a uma solução ou a uma aproximação de uma solução do problema.
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a descoberta de uma solução analítica para o
problema dado. Nestes casos, e/ou quando for
possível aceitar soluções aproximadas para os
problemas reais, os métodos numéricos são
ferramentas importantes para sua solução.
Para compreender melhor e diferenciar
os métodos analíticos dos métodos numéricos,
vejamos agora dois exemplos simples
característicos.
Um método analítico para determinar
(quando existem) os zeros reais de uma função
quadrática
f x ( ) = ax^2 + bx + c , com a ¹ 0 é dado pela fórmula de Bhaskara, a saber:
x b^ b^ ac a
Desse modo, os zeros reais de f x ( ) = x^2 − 5 x + 6 são
x 1
e x 2
Um método numérico para determinar
uma aproximação para a raiz quadrada de um
número real p, maior que 1, é o algoritmo de
Eudoxo:
Do fato que p^ >^1 , temos que 1 <^ p^ < p^. Escolhe-se, como uma primeira
aproximação para p^ , x (^) 0 = ( 1 + p ) / 2 , ou seja,
a média aritmética entre 1 e p. Pode-se mostrar que p / x (^) 0 < p < x 0.
Escolhe-se como uma nova aproximação x (^) 1 = ( p / x (^) 0 + x 0 ) / 2 , isto é, a média
Continuando desse modo, podemos construir uma sequência de aproximações
dada por:
Em um método numérico, uma solução aproximada é, em geral, obtida de forma construtiva: partindo de aproximações iniciais, vão sendo construídas novas aproximações até que uma aproximação considerada “boa” seja obtida. Desse modo, um método numérico pode ser escrito em forma de algoritmo com as operações (ou grupos de operações), podendo ser executadas repetidamente.
Eudoxo de Cnidos astrônomo, matemático e filósofo grego que viveu de 408 a.C a 355 a.C. Cnidos, onde nasceu, corresponde hoje à Turquia.
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a um problema específico e aplicá-los de modo a obter soluções de seus problemas.
Desse modo, o cálculo numérico estabelece uma ligação entre a Matemática e os
problemas práticos de áreas específicas.
Antes de tudo, devemos deixar claro que este é apenas um curso
introdutório de cálculo numérico. Nele, esperamos que você, caro (a) aluno (a),
adquira habilidades para:
de problemas envolve, normalmente, um grande volume de cálculos (ou seja,
o esforço computacional é alto), tornando imprescindível o trabalho de forma
integrada com calculadoras, preferencialmente, científicas, gráficas ou programáveis
ou com ambientes computacionais programáveis, os quais normalmente dispõem de
ferramentas algébricas, numéricas e gráficas, facilitando e possibilitando o trabalho.
Com o desenvolvimento de rápidos e eficientes computadores digitais e de
avançados ambientes de programação, a importância dos métodos numéricos tem
aumentado significativamente na resolução de problemas.
Os métodos numéricos desenvolvidos e estudados no cálculo numérico servem, em geral, para a aproximação da solução de problemas complexos que normalmente não são resolúveis por técnicas analíticas.
(^1414) M a t e m á t i c a B á s i c a I IC á l c u l o N u m é r i c o
Neste tópico, esperamos ter deixado claro para você, caro aluno, o papel e a importância do cálculo numérico como ferramenta para a resolução de problemas reais em diversas áreas e, especialmente, nas ciências exatas e engenharias. No próximo tópico, faremos um breve estudo sobre erros. Uma vez que os métodos numéricos fornecem soluções aproximadas para os problemas, tal análise se torna essencial.
(^1616) M a t e m á t i c a B á s i c a I IC á l c u l o N u m é r i c o
Os dados e parâmetros de um problema real são frequentemente resultados de medidas experimentais de quantidades físicas, de pesquisas ou de levantamentos e, portanto, são sujeitos a incertezas ou imprecisões próprias dos equipamentos de medições, dos instrumentos de pesquisas ou mesmo de ações humanas. Tais erros surgem ainda da forma como os dados são armazenados no computador. Isso se deve ao fato de o computador usar apenas uma quantidade finita de dígitos para representar os números reais. Desse modo, torna-se impossível representar exatamente, por exemplo, números irracionais como as constantes matemáticas e e π. Dependendo do sistema de numeração escolhido, até mesmo certos números racionais, inclusive inteiros, podem não ter uma representação exata em um determinado computador ou sistema eletrônico. A representação de números será objeto de estudo do próximo tópico dessa aula. Há também a possibilidade de os dados serem originados pela solução numérica de outro problema que já carregam erros.
Já vimos que, dependendo da abordagem dada ao problema, podemos ter modelos matemáticos diferentes. Muitas vezes, torna-se impossível obter um modelo matemático que traduza exatamente o problema real, enquanto, em outras, um tal modelo é demasiado complexo para ser tratado. Nesses casos, para obter um modelo tratável, necessitamos impor certas restrições idealistas de simplificações do modelo. O modelo matemático obtido então é um modelo aproximado que não traduz exatamente a realidade. Devido às alterações e/ou simplificações, a solução de um modelo aproximado, ainda que exata, deve ser considerada suspeita de erros. É recomendável, então, que sejam feitos experimentos para verificar se as simplificações feitas são compatíveis com os dados experimentais, ou seja, é recomendável uma validação do modelo simplificado. Desprezar a massa de um pêndulo ao se calcular o seu período, desprezar atri- tos ou resistências quando se trata de movimentos, dentre outras, são exemplos de simplificações de modelos.
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Os erros de truncamento surgem quando processos infinitos ou muito
grandes para a determinação de certo valor são interrompidos em um determinado
ponto, ou seja, são substituídos por processos com uma limitação prefixada. Desse
modo, podemos dizer que um erro de truncamento ocorre quando substituímos
um processo matemático exato (finito ou infinito) por um processo aproximado
correspondente a uma parte do processo exato. Ao consideramos um número finito
de termos de uma série, estamos fazendo um truncamento da série.
Um exemplo claro desse tipo de erro pode ser visto quando calculamos ex
para algum número real x em um computador. O valor exato é dado pela série
e x k
x k k
=
∞ ∑ (^)! 0 Entretanto, por ser impossível somar os infinitos termos da série, fazemos
apenas uma aproximação por um número finito de termos, ou seja, tomamos
e x k
x k k
N ≅ =
∑ (^)! 0
em que N é um determinado número natural. Obviamente, à medida que N
aumenta, mais precisa é a aproximação, ou seja, o erro de truncamento diminui.
Os erros de arredondamento são aqueles que ocorrem no processo de
cálculo de uma solução numérica, ou seja, surgem dos cálculos (operações
aritméticas) existentes no método numérico. Tais erros estão associados ao fato
de os computadores ou sistemas eletrônicos
de cálculo utilizarem um número fixo de
dígitos para representarem os números, isto é,
são consequências de se trabalhar com o que
chamamos aritmética de precisão finita.
Desse modo, sempre que o resultado
de uma operação for um número que não
pode ser representado exatamente no sistema
de representação usado, necessitamos fazer
arredondamentos, o que leva a desprezar dígitos
e arredondar o número.
Em cálculo numérico, lidamos essencialmente com valores aproximados e a quase totalidade dos cálculos envolve erros. Assim não podemos usar métodos numéricos e ignorar a existência de erros.
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Definição 1: Seja x um número e x uma sua aproximação, chama-se erro absoluto, e designa-se por EAx , a diferença entre x e x. Simbolicamente: EA (^) x = x − x. No caso de x > x , ou seja, quando (^) EAx > 0 , dizemos que x é uma aproximação por falta e, no caso de x < x , ou seja, quando (^) EAx < 0 , dizemos que x é uma aproximação por excesso.
Como (^) 3 14, < p <3 15, , temos que 3,14 é uma aproximação de p por falta e
3,15 uma aproximação de p por excesso.
Entretanto, desde que, geralmente, não conhecemos o valor exato x (aliás, esta
é a razão de procurarmos uma aproximação x para x ), torna-se impossível determinar
o valor exato do erro absoluto. Nesses casos, o que pode ser feito é a determinação de
um limitante superior ou de uma estimativa para o módulo do erro absoluto.
No exemplo 2, uma vez que p Î ( ,3 14 3 15 ; , ) ,
se tomarmos como aproximação para (^) p , um valor
p também pertence ao intervalo ( ,3 14 3 15 ; , ) ,
teremos
| EAp | |= p − p |< 0 01, ,
que significa que o erro absoluto cometido é
inferior a um centésimo.
Se e > 0 é uma cota para EAx , ou seja,
se |EA |x< e , temos:
| EA (^) x |< e ⇔| x − x |< e ⇔ x − e < x < x + e.
Portanto, é possível precisar que o valor
exato x (provavelmente não conhecido) está
compreendido entre dois valores conhecidos:
x - e e x + e. Na prática, é desejável que uma
cota para EA (^) xseja bem próxima de 0.
Contudo, o erro absoluto pode não ser
suficiente para informar sobre a qualidade da
aproximação. Para ilustrar isso, consideremos
duas situações: a primeira foi adaptada de
Ruggiero e Lopes (1996, p. 13), e a segunda de Freitas (2000, p. 18):
Um número e > 0 tal que |EA |x< e é chamado cota para o erro EAx.
Para descrever o intervalo ( ,3 14 3 15 ; , ) , usamos o separador ponto-e-vírgula (;) em vez de vírgula (,) como fazemos normalmente. Para evitar confusão, faremos isso sempre que algum dos extremos tiver parte fracionária (que precisa ser separada da parte inteira por vírgula).
(^2020) M a t e m á t i c a B á s i c a I IC á l c u l o N u m é r i c o
Seja um número x com uma aproximação x = 2112 9, tal que | EAx |< 0 1, , o que implica x Î ( 2112 8 2113, ; ) e seja um número y com uma aproximação y = 5 3, tal que (^) | EA (^) y |< 0 1, , o que implica y Î ( , ; , )5 2 5 4. Note que os limites superiores para os módulos dos erros absolutos são os mesmos. Podemos dizer que os números estão representados por suas aproximações com a mesma precisão?
Considere x = 100 ; x = 100 1, e y = 0 0006, ; y = 0 0004,. Assim, EAx = 0 1, e EA (^) y = 0 0002,. Como (^) | EA (^) y |é muito menor que (^) | EAx |, é possível afirmar que a aproximação y^ de y é melhor que a aproximação x de x? Para responder os questionamentos acima, é preciso comparar, em ambas as situações, a ordem de grandeza de x e de y. Uma primeira análise nos permite afirmar que as grandezas dos números envolvidos são bastante diferentes. Para a situação 1, é possível concluir ainda que a aproximação para x é mais precisa que a aproximação para y , pois as cotas para os erros absolutos são as mesmas (0,1), e a ordem de grandeza de x é maior que a ordem de grandeza de y. Já para a situação 2, a ordem de grandeza de x é também maior que a ordem de grandeza de y , mas, como a cota para o erro em x é maior que aquela para o erro em y , precisamos fazer uma análise mais cuidadosa. Para tanto, introduzimos a noção de erro relativo.
Definição 2: Seja x um número e x ¹ 0 uma sua aproximação, chama- se erro relativo, e designa-se por ERx , a razão entre EAx e x. Simbolicamente: ER
x
x x x x = x = −^.
Ao produto 100 ´ ERx , chamamos erro percentual ou percentagem de erro.
Vamos calcular cotas para os erros relativos cometidos nas aproximações na Situação 1. Temos | | |^ | | |
x x = x < 0 1 ≅ × 2112 9
e,
