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Problemas 79 mais as cargas reais no interior de V satisfaçam as condições de contorno para nos limites dados de V. O teorema da unicidade assegura que o campo no interior ke vê o correto. A técnica pode ser aplicada apenas a poucas situações, em que a simetria é ade- uada: O exemplo mais simples é o de uma carga puntual defronte de um plano condutor. imagem, 5. Quando todas as cargas se situam em superfícies condutoras, a equação de Laplace re- quer que Os potenciais dos condutores sejam funções lineares das cargas destes: cia , PijQ;- REFERÊNCIAS Os seguintes equação de Legendre curvilíneas e (3) uma exposição mais completa da soluçã Mathem. Mass: Addison-Wesley, 1968). Electromagnetic Theory por J. A. Stratton (New York: McGraw-Hill, 1941) Classical Electricity and Magnetism, Segunda Edição, por W. Panofsky e M. Phillips (Reading, Mass: Addison-Wesley, 1962). PROBLEMAS 3 féricas de raios rg e rp estão dispostas concentricamente e carregadas de -J/uas cascas condutoras es! tal forma que possuem potenciais va € Pb» respectivamente. Se /b > Ta» determine o potencial nos pontos entre as cascas € nos pontos 2 Fb- trabalhos são recomendados para (1) uma exposição mais completa da , (2) a forma geral da equação de Laplace em coordenadas ortogonais o da equação de Laplace: atical Physics por E. Butkov (Reading, 32 Duas cascas cilíndricas longas de raios 7a € Tb estão dispostas coaxialmente é estão carregadas de tal forma que possuem potenciais va € Pb» respectivamente. Determine o potencial nos pontos entre as cascas cilíndricas. a é, for uma solução da equação de Laplace, provê que a derivada parcial de y, em relação a úma ou mais coordenadas retangulares (isto é, dp, [3x, 9? py l0x?, 32, /9x3y etc.) será também uma solução. 3-4 Suponha que q satisfaça a equaç qualquer ponto O é a média de seus v: situa inteiramente em Vo: ! (O) = sapo | 9 da =1/r na Eq. (1-57).] Demonstre que y, consegientemente, ão V,. Prove que o valor de y em ão de Laplace em toda a regii alquer esfera centrada em O que se alores numa superfície de qui onde Réo raio da esfera. [Sugestão : Seja W não tem nenhum máximo ou mínimo no interior de Vo. 34 Expanda a função F(u) = (1 — 2xu + ua ia rve que os coeficientes são os quatro primeiros polinômios em série de Taylor até o termo em u?, Obse: função geradora para todos os polinômios de Legendre: de Legendre P, (x)..Na realidade, F(u) é uma o F(u) = bx, Pa(xu”. es X Demonstre que metade dos harmônicos zonais são gerados através da derivação sucessiva der m relação à coordenada retangular Z(Z = Cos 8). Obtenha V2p em coordenadas cilíndricas, Eq. (3-8), a partir da forma retangular, Eq. (3-6), por Substituição direta: x = cos 9, = sen 8. 3. a 38-Betermine o potencial de um quadrup* olo axial: cargas puntuais q, —29,4 situadas sobre o eixo Z, a so Solução de Problemas Eletrostáticos : utáncias 1 distâncias 1, 0, 1! da origem. Determine o potencial apenas para distâncias le demonstre Mirim potencial é proporcional a um dos harmônicos zonais. 29“Suponha que um dipolo puntual esteja localizado no centro de bei fito esférica Condutora co, nectada à terra. Determine o potencial no interior da casca. (Sugestão : iu armônicos zonais que se- jam regulares na origem para satisfazer as condições de contorno na casca. O Demonstre que, para uma esfera condutora não carregada, situada num campo elétrico ineia. mente uniforme, o potencial devido à esfera é o de um dipolo puntual e determine o momento de di. polo induzido. rd Uma esfera condutora de raio a, possuindo uma carga total Q, está situada num campo elétrico inicialmente uniforme, E, . Determine o potencial em todos os pontos exteriores à esfera. 312-4m condutor cilíndrico longo, de raio a, que não possui carga líquida se situa num campo elétri- co inicialmente uniforme E, . A direção de E, é perpendicular ao eixo do cilindro. Determine o Poten- cial em pontos exteriores ao cilindro e determine também a densidade de carga na superfície cilíndrica. *3-13 Demonstre que Im A[(x + iy)]!2 = 4r'2 sen 0 satisfaz a equação de Laplace mas que o campo elétrico derivado desta função tem uma descontinuidade em 6 = 0. (Observe que r e 8 são coordenadas cilíndricas neste caso.) A função pode ser usada para descrever o potencial na extremidade de um pla- no condutor carregado. O plano condutor coincide com o plano xz mas apenas para valores positivos de x. Determine a densidade de carga no plano. Faça um esquema mostrando várias superfícies equipo- tenciais e várias linhas de força. pr qr carga puntual q se localiza a uma distância d de um plano condutor de extensão infinita, co- nectado à terra. Obtenha a carga total induzida no plano por integração direta da densidade superficial de carga. 5 Duas cargas puntuais, q, e q; » localizam-se próximas a um Plano condutor, conectado à terra, de extensão infinita. Determine as Cargas-imagem necessárias para fazer com que o plano seja uma superfí- cie de potencial constante. A partir do resultado obtido, poderia você prever a distribuição de cargas- imagem necessária a um corpo de forma arbitrária, com densidade de carga p, situado próximo a um plano condutor de extensão infinita? “16 Dois planos condutores, conectados à terra. uma carga puntual q se situa entre eles, D: po elétrico entre os planos. É 5 EK o » interseccionam-se formando um ângulo de 60º, e etermine as posições das cargas-imagem que originarão o cam- 3 Uma carga puntual está localizad separados por uma distância d. Deteri que atua sobre a carga q por meio de a entre dois planos condutores paralelos, conectados à terra, é mine a localização das infinitas cargas-imagem. Expresse a força uma série infinita. 3:18 Determine a força entre uma Carga puntual q e uma esfera condutora não carregada de raio à. A carga puntual se localiza a uma distân: . Ê cia r do centro da esfera uma expressão aproximada válida para r > a, » onde r > a. Encontre 3:19Demonstre que o problema de uma esfera co cialmente uniforme pode ser resolvido por meio d; na vizinhança da origem pode ser aproximado pelo broeixozemz=-Lez= ED bg Tespectivame; que L — .s, É evidente que O/2meçl? = E) ndutora não carregada num campo elétrico E, E as imagens. (Sugestão: Um campo elétrico voo ; campo de duas cargas puntuais Q e -Q ia nte. O campo vai tornando-se mais uniforme à m 3-20 Um: á i E sean! localizada a Uma distância 7 do centro de uma casca esférica condutora, meio da técnica im imageao o dE e Pemonstre que se Podeisolugionar esto problem HE i “termine a densidade de induzi cie internã mada. (O potencial da casca esférica não pode ser RES me li a pa de q e sua ———— * Os problemas indicados por asteriscos são mais difíceis. - Digitalizado com CamScanner 
