Lista 2
1. Prove por indu¸c˜ao:
(a) 12+ 22+... +n2=n(n+1)(2n+1)
6; (n≥1)
(b) 13+ 23+... +n3= (1 + 2 + ... +n)2; (n≥1)
(c) 1.2+2.3 + ... +n(n+ 1) = n(n+1)(n+2)
3; (n≥1)
(d) a≥1 =⇒an−1=(a−1)(an−1+an−2+... +a+ 1); (n≥1)
(e) 2n≤n2; (n≥2)
(f) a≥2 =⇒2an≤an+1; (n≥1)
(g) a≥1 =⇒an+1 ≤a2n; (n≥1)
(h) a≥2 =⇒1 + a+... +an< an+1 ; (n≥1)
(i) n3< n!; (n≥6)
(j) n!< n2; (n≥4)
(k) 1+3+5+... + (2n−1) = n2
2. Mostre que se n´e par, ent˜ao n2tamb´em ser´a par. (O mesmo para o caso em que n
seja impar).
3. Mostre que a+b+a2+b2´e par, para quaisquer a, b ∈N
4. Se a, b ecs˜ao n´umeros naturais n˜ao nulos, prove que a|b⇐⇒ ac|bc.
5. Prove que (1 + 2 + ... +n)|3(12+ 22+... +n2), para todo n≥1.
6. Prove por indu¸c˜ao:
(a) 7|(32n+1 + 2n+2); ∀n≥0.
(b) 9|(10n+ 3.4n+2 + 5); ∀n≥0.
(c) 11|(22n−1.3n+2) + 1); ∀n≥1.
(d) 17|(34n+2 + 2.43n+1); ∀n≥0.
7. Demonstre que dados dois n´umeros pares consecutivos um ´e sempre divis´ıvel por 4.
8. Prove que mdc(n, 2n+ 1) = 1, para todo n∈N.
9. Demonstre que dois n´umeros ´ımpares consecutivos s˜ao primos entre si.
10. Se neks˜ao n´umeros naturais n˜ao nulos e mdc(n, n +k) = 1, prove que mdc(n, k) =
1.
11. Se a, b ∈N, prove que mdc(a, ab + 1) =mdc(b, ab + 1) = 1.
12. Prove que mdc(a+bc, b) =mdc(a, b), para quaisquer a, b, c ∈N.
13. Se aebs˜ao n´umeros naturais primos entre si, prove que mdc(a+b, a2+ab +b2)=1.
14. Se a, b ecs˜ao n´umeros naturais e b|c, prove que mdc(a, b) =mdc(a+c, b).
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