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Portaria MEC 347, de 05.04.2012 - D.O.U. 10.04.2012.
(Nova) Matemática, Licenciatura
Módulo de Pesquisa: Práticas de ensino em matemática, contextos e metodologias
Disciplina: Fundamentos de Matemática III Ano/Semestre: 2016/
Unidade de Aprendizagem: Descomplexificando o estudo de trigonometria, dos números complexos e polinômios.
Quest(iv)
Arco da Circunferência
Consideramos arco de uma circunferência uma parte dessa circunferência determinada por dois pontos. Faça dois pontos nessa circunferência, chamados A e B:
Representamos o arco dessa forma:
A e B são as extremidades de um arco.
Se A^ B temos:
Esse é o ângulo de uma volta , ou seja, _______ ou arco nulo.
Ângulo central
Ligue, com uma reta, os pontos A e B do arco ao centro (C) da circunferência correspondente.
Dessa maneira teremos um ângulo que chamaremos
de ângulo central AC ˆ B. A medida de um arco é igual
à medida do ângulo central correspondente.
mAB =mAC ˆ B
Observando a figura abaixo, podemos dizer que a medida de um arco representa a medida do comprimento desse arco?
Unidades de medida de arcos
Para se medir os arcos e ângulos, usaremos o grau e o radiano.
Grau: chamamos de grau o arco unitário igual a
da circunferência. O arco que da uma volta completa ( A = B ) tem 360° e é chamado de Circunferência.
Radianos: Considere uma circunferência de centro C e um arco AB nessa circunferência. Se o arco AB tem comprimento igual ao raio, dizemos que ele mede 1 radiano. Portanto, radiano é a medida de um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o referido arco.
A
B
C
A
B
C
D
Comprimento igual ao raio
r
A
C B
1 rad
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Você se lembra o do Pi ( )?
Se dividirmos o valor do comprimento de uma circunferência qualquer pelo valor de seu diâmetro, encontraremos 3,14159265..., que é chamado de Pi ( ).
Como o diâmetro é igual a duas vezes o raio ( d 2 r ), podemos considerar:
r
C
ou, isolando-se a circunferência ( C ) na equação, temos que:
C 2 r
Como o raio tem a mesma medida de um radiano (
r 1 rad ), podemos dizer que uma circunferência (ou
arco de uma volta) mede 2 rad ( 360 2 rad).
De acordo com as afirmações estabelecidas acima, monte essa tabela de medidas:
Graus, minutos e segundos
Se dividirmos uma circunferência em 360 partes iguais, cada uma delas será chamada de grau. Cada grau, por sua vez, é dividido em minutos como em um relógio, e os minutos são divididos em segundos.
do grau;
minuto.
Símbolos:
- Grau: °
- Minutos: ,
- Segundos: ,,
Exemplo:
Observando o relógio, nota-se que o ponteiro maior marca 5 minutos. Qual é o grau formado pelo ponteiro das horas com o ponteiro dos minutos?
Resolvendo:
1 min
do grau
5 min x do grau
1. x 5. x
x do grau
Logo: 360 30
Exercícios
converta em radianos: a) 60º b) 45º c) 41º15’ d) 300º
Qual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 45º contido numa circunferência de raio 2 cm?
expresse em graus:
a) rad
b) rad
3
c) rad
5
d) rad
- Um pêndulo de 15 cm de comprimento e, no seu movimento, suas posições extremas formam um ângulo de 60º. Qual é o comprimento do arco que a extremidade do arco descreve?
Unidad e Amplitudes
Grau 0º 90° 180° 270° 360°
Radiano
r
C
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- Na primeira figura, o ponto deslocou-se
ou 60º de
A até B;
- Na segunda figura, o ponto deslocou-se um volta
inteira ( 2 ou 360º) e mais
ou 60º, ou seja,
deslocou-se
7 ou 420º.
Podemos escrever a seguinte relação:
k ou 60º k 360 º
Onde k é o número de voltas inteiras Então, dois arcos são côngruos ou congruentes quando suas medidas se diferem de um múltiplo de
2 rad ou 360º.
Como a cada ponto da circunferência podem estar associados infinitos arcos côngruos, dizemos que o arco
da primeira volta positiva (entre 0 e 2 ou 0º e 360º ),
associado a um ponto da circunferência, é a 1ª de qualquer arco côngruo associado ao mesmo ponto.
Exemplos: a) Qual é a expressão geral dos arcos côngruos ao arco de 45º?
Expressão geral: k 360 º
Sendo 45 º temos, 45 k 360 º, com k Z.
b) Encontre a 1ª determinação do arco de 420º e o seu nº de. Na prática, fazemos:
b) determine o quadrante onde está situado o arco de
rad
17 .
rad
Logo, rad
pertence ao primeiro quadrante.
Obs: o sinal negativo em um arco significa que as voltas são dadas no sentido horário. Nesse caso o arco é negativo.
Exercícios
A
B
Ao nº está associado o ponto B.
Ao nº + também está associado o
ponto B.
B
A
nº de voltas
arco a ser adicionado ( 1ª determinação do arco de 420º)
A
420º
60º
A
45º
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- Escreva a expressão geral dos arcos congruentes. a) 120º b) 300º
c) rad
d) rad
- Descubra a primeira determinação, ou seja, o menor valor não-negativo côngruo ao arco de: a) 685º b) 1140º c) - 400º
d) rad
e) rad
- Determine o quadrante onde estão situadas as extremidades dos seguintes arcos: a) 210º b) -800º
c) rad
d) 1200º
e) rad
Seno na Circunferência Trigonométrica
É a ordenada (eixo do y) da extremidade desse arco na circunferência trigonométrica.
sen x OP , “lê-se
seno de x”.
Cosseno na Circunferência Trigonométrica
É a abscissa (eixo do x) da extremidade desse arco na circunferência trigonométrica .
cos x OM , “lê-se
cosseno de x”.
Variação de sinal do seno e do cosseno
De acordo com os quadrantes, assim como no plano cartesiano, temos o sinal correspondente ao seno e ao cosseno.
Q
Q
Q
Q
Sinal do seno Sinal do cosseno
Valores notáveis de seno e cosseno
Vejamos agora alguns valores de seno e cosseno que são considerados notáveis (importantes). Tomando x como a medida de um arco AP, os valores de sen x e
cos x são chamados valores notáveis quando x 0 ,
x ,
x ,
x ,
x , x ,
x ou
x 2 .
A
B
0
P x
A
B
(^0) M
x
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x (^0) 30 º
45 º
60 º
90 º
180 º 270 º
3 2 360 º
sen x 0
cos x 1
ou
ou
