Baixe Lista de Exercicios sobre Limites e continuidades e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
C´alculo Diferencial e Integral I
Ficha de Exerc´ıcios n.
o
Limites e Continuidade
1. Calcule os limites seguintes.
1.1 lim
x→ 1
(3x − 8)
1.2 lim
x→ 0
x + 1
1.3 lim
x→ 4
5 x + 2
2 x + 3
1.4 lim
x→ 2
(x − 2)
2
1.5 lim
x→ 0
x
2 −
x
1.6 lim
x→ 1
(x + 2)
2
x
1.7 lim
x→ 0
e
x
x
2
1.8 lim
x→ 0
x − 1
x
2
2. Seja k ∈ R.
Determine k, sabendo que:
2.1 lim
x→ 2
(5x
4 − 3 x
2
2.2 lim
x→ 5
(3kx
2 − 5 kx + 3k − 1) =
2.3 lim
x→k
(x
2 − 5 x + 6) = 0
2.4 lim
x→ 1
k − x
2
x + k
3. Calcule os seguintes limites:
3.1 lim
x→ 2
x
3
2 − 9 x − 2
x
3 − x − 6
3.2 lim
x→ 3
x
2 − 9
x
2 − 3 x
3.3 lim
x→ 1
2 x
2 − 3 x + 1
x − 1
3.4 lim
x→ 2
2 − x
2 x
3.5 lim
h→ 0
(t + h)
2 − t
2
h
3.6 lim
x→ 1
x
4 − 1
3 x
2 − 4 x + 1
3.7 lim
x→ 2
8 − x
3
x
2 − 2 x
3.8 lim
x→− 1
x + 1
√
6 x
2
3.9 lim
x→ 0
9 + 5x + 4x
2 − 3
x
3.10 lim
x→ 0
x + 4 − 2
x
3.11 lim
x→ 7
x − 3
x
2 − 49
3.12 lim
x→ 1
x
4
3 − x − 1
x
2 − 1
3.13 lim
x→− 2
x + 2
√
x + 2
3.14 lim
x→a
x −
a
√
x
2 − a
2
, a > 0
3.15 lim
x→a
x −
a +
x − a
√
x
2 − a
2
, a > 0
3.16 lim
x→ 1
x
2 − x
2 x
2
3.17 lim
x→− 2
x
3
√
x + 2
3.18 lim
x→ 1
x − 1
x
2 − 3 x + 2
3.19 lim
x→ 0
[
x
x + 1
x − 1
)]
3.20 lim
x→ 3
x + 6 − x
x
3 − 3 x
2
4. Calcule os seguintes limites laterais:
4.1 lim
x→ 3
x
x − 3
4.2 lim
x→ 2
x
2
x
2 − 4
4.3 lim
x→ 1
x
3 − 1
x
2 − 2 x + 1
4.4 lim
x→ 3
x
3 − x
4.5 lim
x→ 0
2 x + 1
x
4.6 lim
x→ 0
x
√
x
2
4.7 lim
x→ 1
2 x + 3
x
2 − 1
4.8 lim
x→ 1
−
2 x + 3
x
2 − 1
4.9 lim
x→ 3
x
2 − 3 x
x
2 − 6 x + 9
4.10 lim
x→ 2
x
2 − 4
x
2 − 4 x + 4
4.11 lim
x→ 0
ln x
x
4.12 lim
x→ 3
−x
2 − 3 x
x
2 − 6 x + 9
4.13 lim
x→(
2 3
x
2
4 − 9 x
2
4.14 lim
x→ 0
x −
x
4.15 lim
x→ 1
x − 1
√
x − 1
4.16 lim
x→(
3 5
5 x − 3
4.17 lim
x→ 4
3 − x
x
2 − 2 x − 8
4.18 lim
x→ 3 −
|x − 3 |
4.19 lim
x→ 3
|x − 3 |
4.20 lim
x→ 0
sen x
1 − cos x
5. Calcule os limites seguintes.
5.1 lim
x→+∞
(3x
3
2 − 1)
5.2 lim
x→+∞
(5x
4 − 3 x
2
5.3 lim
x→+∞
(− 5 x − 2 x
3
5.4 lim
x→−∞
(3x
6 − 4 x
2
5.5 lim
x→−∞
x
4
2 x
3
5.6 lim
x→−∞
x
2 − x
5
5 x
5
5.7 lim
x→−∞
2 x
2
5 x
3
5.8 lim
x→+∞
2 x
3
x
4
3
5.9 lim
x→−∞
x
2 − 2 x + 3
3 x
2
5.10 lim
x→+∞
x
x
2
5.11 lim
x→+∞
3 x
4
x
4 − 5
5.12 lim
x→−∞
x
6
3
x
5
4
5.13 lim
x→+∞
3 x
4 − 2
√
x
8
5.14 lim
x→+∞
x
2
3 x + 2
5.15 lim
x→−∞
x
2
3 x + 2
5.16 lim
x→+∞
x +
3
x
x
2
5.17 lim
x→+∞
(x −
x
2
5.18 lim
x→−∞
3
x
x
2
5.19 lim
x→+∞
3
x
3
√
x
2
5.20 lim
x→+∞
2 x
2 − 7
x + 3
5.21 lim
x→+∞
x
3
3
x
9
5.22 lim
x→+∞
x
4
x
3
8. Calcule os limites seguintes.
8.1 lim
x→ 0
6 x − sen(2x)
2 x + 3 sen(4x)
8.2 lim
x→ 0
1 − 2 cos x + cos(2x)
x
2
8.3 lim
x→ 0
cos(2x) − cos(3x)
x
2
8.4 lim
t→ 0
t
2
1 − cos
2 t
8.5 lim
θ→ 0
θ
2
1 − cos θ
8.6 lim
x→ 0
2 − cos(3x) − cos(4x)
x
8.7 lim
x→ 0
tg(3x
2 ) + sen
2 (5x)
x
2
8.8 lim
h→ 0
1 − cos(3h)
cos
2 (5h) − 1
8.9 lim
x→ 0
x
2 − sen x
x
8.10 lim
x→ 0
x sen x
1 − cos x
8.11 lim
x→ 0
x − tg x
x + tg x
8.12 lim
x→ 0
tg
2 x
x
2
8.13 lim
x→
π 2
sen(cos x)
cos x
8.14 lim
x→ 0
ln
sen x
x
sen x
x
8.15 lim
x→ 0
sen(tg x)
sen x
8.16 lim
x→ 0
e
2 x
x − 2
e
x − 1
8.17 lim
x→ 0
e
x
2
− 1
x
8.18 lim
x→ 0
ln(x
2
x sen x
8.19 lim
x→ 0
cos
2 x − 3 cos x + 2
ln(cos x)
8.20 lim
x→π
e
sen x − 1
sen x
8.21 lim
x→ 1
sen(x
2 − 1)
x − 1
8.22 lim
x→ 0
ln(cos x)
x tg(2x)
8.23 lim
x→ 1
sen(ln x)
ln x
9. Calcule os seguintes limites:
9.1 lim
x→ 2
x− 2 − 1
x − 2
9.2 lim
x→ 2
x − 25
x − 2
9.3 lim
x→− 3
x+
(^5) − 1
x + 3
9.4 lim
x→ 1
x− 1 4 − 1
sen(5x − 5)
9.5 lim
x→ 0
e
−ax − e
−bx
x
9.6 lim
x→ 0
e
ax − e
bx
sen(ax) − sen(bx)
9.7 lim
x→ 0
e
5 x − 1
1 − e
x
9.8 lim
x→ 0
e
x − e
−x
x
9.9 lim
x→ 3
x
2 − 9
e
x− 3 − 1
9.10 lim
x→ 2
x − 2
ln(3x − 5)
9.11 lim
x→ 4
ln(x + 5) − ln 9
4 − x
9.12 lim
x→+∞
[
x
e
1 x − 1
)]
9.13 lim
x→ 0
2 x − 5
x
x
2 − 3 x
9.14 lim
x→ 0
ln(4x + 1)
x
9.15 lim
x→ 1
4 x − 4
x− 1 − 9
2 x− 2
9.16 lim
x→ 2
x− 2 − 1
x
2 − 4
9.17 lim
x→− 1
ln(2x + 3)
3 x + 3
9.18 lim
x→− 1
8 ln(x + 2)
x
2
9.19 lim
x→ 1
x − 9
x − 3
9.20 lim
x→+∞
x log 2
(x + 4) − x log 2
x
9.21 lim
x→+∞
x
x+
9.22 lim
x→+∞
2 x
x
9.23 lim
x→ 0
(1 + 2x)
1 x
9.24 lim
x→+∞
x
x+
9.25 lim
x→−∞
x
x
9.26 lim
x→+∞
x
x
9.27 lim
x→+∞
2 x + 3
2 x + 1
x+
9.28 lim
x→(
3 π 2
(1 + cos x)
1 cos x
9.29 lim
x→+∞
x
x + 1
x
9.30 lim
x→(
π 2
−
tg x
tg x
10. Considere a fun¸c˜ao f , de dom´ınio R, definida por
f (x) =
x
2
x
3
se x < 0
2 se x = 0
3 x
2 − x ln(x + 1)
x
2
se x > 0
Averigue se f ´e cont´ınua em x = 0. justifique a sua resposta.
11. Considere a fun¸c˜ao f definida, em R, por
f (x) =
x
9 − x
se x < 0
6 se x = 0
5 x + ln(x + 1)
x
se x > 0
Estude a continuidade de f no seu dom´ınio.
16. Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio R, definida por
f (x) =
xe
x − 2 e
2
x − 2
se x < 2
3 e
x
Averigue se f ´e cont´ınua em x = 2.
17. Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio R, definida por
f (x) =
x + 1
√
x
2
se x ≤ 4
ln(3x − 11)
x − 4
se x > 4
Averigue se f ´e cont´ınua em x = 4.
18. Para um certo valor de k, ´e cont´ınua em R a fun¸c˜ao g, definida por
g(x) =
k + cos x se x ≤ 0
ln(x + 1)
x
se x > 0
Determine o valor de k.
19. Para um certo valor de k, ´e cont´ınua em R a fun¸c˜ao f , definida por
f (x) =
k + sin x se x ≤ 0
3 x + ln(x + 1)
x
se x > 0
Determine o valor de k.
20. Para um certo valor de α e para um certo valor β, ´e cont´ınua em x = 0 a fun¸c˜ao g, definida por
g(x) =
e
2 x − 1
x
se x < 0
α se x = 0
β −
ln(x + 1)
x
se x > 0
Determine os valores de α e de β.
21. Para um certo valor a, ´e cont´ınua em R a fun¸c˜ao f , definida por
f (x) =
x
2 − 2 x se x < a
x
2 − x + 3 se x ≥ a
Determine o valor de a.
22. Para um certo n´umero real k, seja f a fun¸c˜ao de dom´ınio ] − ∞, 1[ definida por
f (x) =
ln(k − x) se x ≤ 0
2 e
x
ln x
se 0 < x < 1
Determine o valor de k.
23. Sabe-se que:
- f ´e uma fun¸c˜ao real de vari´avel real de dom´ınio Df ;
- a ∈ D f e m ∈ R;
- lim
x→a
f (x) − f (a)
x − a
= m.
Mostre que f ´e continua no ponto a.
24. Calcule:
24.1 lim
x→π
−
ln(sen x)
24.2 lim
x→ 0
arctg
x
24.3 lim
x→+∞
e
x−x
2
24.4 lim
x→+∞
ln(x − 3) − ln(x + 1)
28. Considere a fun¸c˜ao g, de dom´ıniom R, definida por
g(x) =
x
3
2 − x
x
2 − 6 x
se x < 0
1 se x = 0
x + 9 − 3
x
se x > 0
28.1 Verifique se arecta de equa¸c˜ao x = 0 ´e assimptota vertical do gr´afico de g.
28.2 O gr´afico de g tem duas assimptotas n˜ao verticais. Determine uma equa¸c˜ao para cada uma
delas.
29. Seja f : R → R a fun¸c˜ao definida por
f (x) =
e
x
x
se x < 0
x
2
x + 1
se x ≥ 0
29.1 Estude f quanto `a continuidade no ponto de abcissa 0.
29.2 Estude f quanto `as assimptotas do seu gr´afico.
30. De uma fun¸c˜ao h, de dom´ınio ]0, +∞[, sabe-se que:
- n˜ao tem zeros;
- a recta de equa¸c˜ao y = x + 2 ´e ass´ıtota do seu gr´afico.
Seja g a fun¸c˜ao, de dom´ınio ]0, +∞[, definida por h(x) =
x
2
g(x)
Determine uma equa¸c˜ao da assimptota obl´ıqua do gr´afico de h.
31. Seja f a fun¸c˜ao de dom´ınio R
tal que f (x) 6 = 0, para todo x ∈ R
.
Sabe-se que a recta de equa¸c˜ao y = mx + b ´e assimptota obl´ıqua do gr´afico de f.
Seja g a fun¸c˜ao, de dom´ınio R
, definida por g(x) =
x
2
f (x)
Determine uma equa¸c˜ao da assimptota obl´ıqua do gr´afico de g.
32. Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio R
, e seja a recta de equa¸c˜ao y = 1 a ´unica assimptota do gr´afico
de f.
Considere a fun¸c˜ao g, de dom´ınio R
, definida por g(x) = f (x) + x.
Determine uma equa¸c˜ao da assimptota obl´ıqua do gr´afico de g.
33. Seja g a fun¸c˜ao, de dom´ınio R
, definida por g(x) = e
2 x + ln x.
Mostre que a fun¸c˜ao g tem pelo menos um zero no intervalo
]
e
2
e
[
34. Seja g a fun¸c˜ao definida, em R, por g(x) = x
5 − x + 1.
Mostre que a fun¸c˜ao g tem pelo menos um zero no intervalo ] − 1 , 2[.
35. Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio ] − 4 , +∞[, definida por f (x) = x + log
4
(x + 4).
Mostre que a fun¸c˜ao f tem pelo menos um zero no intervalo ] − 2 , 0[.
36. Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio [0, +∞[, definida por
f (x) =
x −
x se 0 ≤ x < 2
x − 5 + log 2
(x − 1) se x ≥ 2
Mostre que a fun¸c˜ao f tem pelo menos um zero no intervalo ]3, 5[.
37. Seja f a fun¸c˜ao de dom´ınio [0, +∞[, definida por
f (x) =
x − 9 se 0 ≤ x < 5
1 − e
x
x
se x ≥ 5
Mostre que a fun¸c˜ao f tem pelo menos um zero no intervalo ]1, 4[.
38. Seja f a fun¸c˜ao de dom´ınio R, definida por f (x) = e
x − 3.
Mostre que a equa¸c˜ao f (x) = −x −
tem pelo menos uma solu¸c˜ao no intervalo
]
[
π
7.7 a
π
9.1 ln 10
9.2 25 ln 5
ln 2
ln 3
9.5 b − a
ln 5
ln 27
ln 2
ln 2
9.21 e
2
e
9.23 e
2
9.24 e
− 4
9.25 e
− 1
9.26 e
10
9.27 e
9.28 e
e
9.30 e
10. A fun¸c˜ao ´e cont´ınua em x = 0, porque lim
x→ 0
f (x) = f (0).
11. A fun¸c˜ao ´e cont´ınua em R.
12. A fun¸c˜ao n˜ao ´e cont´ınua em x = 1.
13.1 A fun¸c˜ao ´e cont´ınua em R \ { 0 }.
14. A fun¸c˜ao ´e descont´ınua em x = 2
15. k = 0
16. A fun¸c˜ao ´e cont´ınua em x = 2
17. A fun¸c˜ao ´e descont´ınua em x = 4
18. k = 0
19. k = 4
20. α = 2 e β = 3
21. a = − 3
22. k = e
2
π
π
24.13 ln 2
25.1 lim
x→ 1
f (x) = +∞, lim
x→ 1 −
f (x) = −∞, lim
x→−∞
f (x) = 2 e lim
x→+∞
f (x) = 2
25.2 y = 2 e x = 1
26.1 lim
x→ 3
f (x) = +∞, lim
x→ 3
−
f (x) = −∞, lim
x→−∞
f (x) = −∞ e lim
x→+∞
f (x) = +∞
26.2 lim
x→−∞
f (x) ∈/ R e lim
x→+∞
f (x) ∈/ R
26.3 x = 3
26.4 m = 3 e b = 13. y = 3x + 13.
27.1 x = 0, x = 2 e y = 3
27.2 x = −3 e y = x − 3
27.3 x = 1 e y = 3
27.4 y = 2x +
e y = − 2 x −
27.5 x = −2, y = −2 e y = − 4
27.6 x = 0, y = −1 e y = 2
