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Lista de Exercícios – Plano tangente e reta normal
Tipologia: Exercícios
1 / 2
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Não perca as partes importantes!
EFB109 – Cálculo Diferencial e Integral II
2 EFB1 09 – 2022
1. Determine uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal à superfície no ponto
especificado:
2
2
− 5 𝑦 no ponto ( 1 , 2 , − 4 ).
𝑥−𝑦
no ponto ( 2 , 2 , 1 ).
𝑥𝑦 no ponto ( 1 , 1 , 1 ).
𝑥𝑦
no ponto ( 2 , 0 , 2 ).
2. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização
𝐿(𝑥, 𝑦) da função naquele ponto.
= 1 + 𝑥ln
no ponto ( 2 , 3 ).
𝑦
no ponto ( 1 , 0 ).
𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 arctg(𝑥𝑦) no ponto ( 1 , 1 ).
4 𝑦
no ponto ( 3 , 0 ).
3. Justifique porque a função dada é diferenciável em todo o seu domínio.
𝑥−𝑦² 𝑏) 𝑓
4
3
𝑑) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln ( 1 + 𝑥
2
2
𝑒) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥cos(𝑥
2
2
) 𝑓) (𝑥, 𝑦) = arctg(𝑥𝑦)
4. Se 2 𝑥 + 𝑦 + 3 𝑧 = 6 é a equação do plano tangente ao gráfico de 𝑓(𝑥, 𝑦) no ponto ( 1 , 1 , 1 ).
𝑎) Calcule
𝜕𝑓
𝜕𝑥
( 1 , 1 ) e
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑏) Determine a equação da reta normal no ponto ( 1 , 1 , 1 ).
5. Determine os planos que sejam tangentes ao gráfico de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥
2
2
e que contenham a
interseção dos planos 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 e 𝑧 = 0.
EFB109 – Cálculo Diferencial e Integral II
2 EFB1 09 – 2022
1. a) 4 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 − 6 = 0
b) 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 1 = 0
c) 𝑥 − 𝑦 − 2 𝑧 = 0
d) 𝑥 + 4 𝑦 − 𝑧 = 0
2. a) 𝐿( 2 , 3 ) = 6 𝑥 + 4 𝑦 − 23
b) 𝐿( 1 , 0 ) = 2 𝑥 + 𝑦 − 1
c) 𝐿
d) 𝐿
1
4
5
4
3. a)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥−𝑦²
e
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥−𝑦²
são contínuas em ℝ², logo, 𝑓 é diferenciável em ℝ², ou seja,
𝑓 é uma função diferenciável.
b)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 4 𝑥³ e
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 3 𝑦² são contínuas em ℝ², logo, 𝑓 é diferenciável em ℝ², ou seja, 𝑓 é uma
função diferenciável.
c)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2 𝑥𝑦 e
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑥² são contínuas em ℝ², logo, 𝑓 é diferenciável em ℝ², ou seja, 𝑓 é uma
função diferenciável.
d)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
2 𝑥
1 +𝑥
2
+𝑦²
e
𝜕𝑓
𝜕𝑦
2 𝑦
1 +𝑥
2
+𝑦²
são contínuas em ℝ², logo, 𝑓 é diferenciável em ℝ², ou seja,
𝑓 é uma função diferenciável.
e)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= cos
2
2
− 2 𝑥²sen(𝑥
2
2
) e
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= − 2 𝑥𝑦sen(𝑥
2
2
) são contínuas em ℝ²,
logo, 𝑓 é diferenciável em ℝ², ou seja, 𝑓 é uma função diferenciável.
f)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑦
1 +(𝑥𝑦)
2
e
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥
1 +(𝑥𝑦)
2
são contínuas em ℝ², logo, 𝑓 é diferenciável em ℝ², ou seja, 𝑓 é
uma função diferenciável.
4. a)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
2
3
e
𝜕𝑓
𝜕𝑦
1
3
b) 𝑛 {
5. 𝑧 = 0 e 𝑧 = 6 𝑥 + 6 𝑦 − 18