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Guias e Dicas
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Lista de Exercícios – Plano tangente e reta normal, Exercícios de Cálculo Avançado

Lista de Exercícios – Plano tangente e reta normal

Tipologia: Exercícios

2022

Compartilhado em 04/09/2024

joao-pedro-449
joao-pedro-449 🇧🇷

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EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II
2
EFB109 2022
Lista de Exercícios – Plano tangente e reta normal
1. Determine uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal à superfície no ponto
especificado:
𝑎) 𝑧= 2𝑥2+𝑦25𝑦 no ponto (1, 2 , −4).
𝑏) 𝑧= 𝑒𝑥−𝑦no ponto (2, 2 ,1).
𝑐) 𝑧= 𝑥𝑦 no ponto (1, 1 ,1).
𝑑) 𝑧= 𝑥𝑒𝑥𝑦 no ponto (2, 0 ,2).
2. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização
𝐿(𝑥,𝑦) da função naquele ponto.
𝑎) 𝑓(𝑥,𝑦)=1+𝑥ln(𝑥𝑦5) no ponto (2,3).
𝑏) 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥²𝑒𝑦 no ponto (1,0).
𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4arctg(𝑥𝑦) no ponto (1, 1 ).
𝑑) 𝑓(𝑥,𝑦)= 𝑥+𝑒4𝑦no ponto (3,0).
3. Justifique porque a função dada é diferenciável em todo o seu domínio.
𝑎) 𝑓(𝑥,𝑦)= 𝑒𝑥−𝑦²
𝑏) 𝑓(𝑥,𝑦)= 𝑥4+ 𝑦3
𝑐) 𝑓(𝑥,𝑦)= 𝑥²𝑦
𝑑) 𝑓(𝑥,𝑦)= ln (1 + 𝑥2+𝑦2)
𝑒) 𝑓(𝑥,𝑦)= 𝑥cos(𝑥2+𝑦2)
𝑓) (𝑥,𝑦)= arctg(𝑥𝑦)
4. Se 2𝑥+𝑦+3𝑧=6 é a equação do plano tangente ao gráfico de 𝑓(𝑥,𝑦) no ponto (1,1,1).
𝑎) Calcule 𝜕𝑓
𝜕𝑥(1,1) e 𝜕𝑓
𝜕𝑦(1,1).
𝑏) Determine a equação da reta normal no ponto (1,1,1).
5. Determine os planos que sejam tangentes ao gráfico de 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥2+𝑦2 e que contenham a
interseção dos planos 𝑥+𝑦+𝑧=3 e 𝑧 =0.
pf2

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EFB109 – Cálculo Diferencial e Integral II

2 EFB1 09 – 2022

Lista de Exercícios – Plano tangente e reta normal

1. Determine uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal à superfície no ponto

especificado:

2

2

− 5 𝑦 no ponto ( 1 , 2 , − 4 ).

𝑥−𝑦

no ponto ( 2 , 2 , 1 ).

𝑥𝑦 no ponto ( 1 , 1 , 1 ).

𝑥𝑦

no ponto ( 2 , 0 , 2 ).

2. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização

𝐿(𝑥, 𝑦) da função naquele ponto.

= 1 + 𝑥ln

no ponto ( 2 , 3 ).

𝑦

no ponto ( 1 , 0 ).

𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 arctg(𝑥𝑦) no ponto ( 1 , 1 ).

4 𝑦

no ponto ( 3 , 0 ).

3. Justifique porque a função dada é diferenciável em todo o seu domínio.

𝑥−𝑦² 𝑏) 𝑓

4

3

𝑑) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln ( 1 + 𝑥

2

2

𝑒) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥cos(𝑥

2

2

) 𝑓) (𝑥, 𝑦) = arctg(𝑥𝑦)

4. Se 2 𝑥 + 𝑦 + 3 𝑧 = 6 é a equação do plano tangente ao gráfico de 𝑓(𝑥, 𝑦) no ponto ( 1 , 1 , 1 ).

𝑎) Calcule

𝜕𝑓

𝜕𝑥

( 1 , 1 ) e

𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝑏) Determine a equação da reta normal no ponto ( 1 , 1 , 1 ).

5. Determine os planos que sejam tangentes ao gráfico de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥

2

2

e que contenham a

interseção dos planos 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 e 𝑧 = 0.

EFB109 – Cálculo Diferencial e Integral II

2 EFB1 09 – 2022

Gabarito

1. a) 4 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 − 6 = 0

b) 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 1 = 0

c) 𝑥 − 𝑦 − 2 𝑧 = 0

d) 𝑥 + 4 𝑦 − 𝑧 = 0

2. a) 𝐿( 2 , 3 ) = 6 𝑥 + 4 𝑦 − 23

b) 𝐿( 1 , 0 ) = 2 𝑥 + 𝑦 − 1

c) 𝐿

d) 𝐿

1

4

5

4

3. a)

𝜕𝑓

𝜕𝑥

𝑥−𝑦²

e

𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝑥−𝑦²

são contínuas em ℝ², logo, 𝑓 é diferenciável em ℝ², ou seja,

𝑓 é uma função diferenciável.

b)

𝜕𝑓

𝜕𝑥

= 4 𝑥³ e

𝜕𝑓

𝜕𝑦

= 3 𝑦² são contínuas em ℝ², logo, 𝑓 é diferenciável em ℝ², ou seja, 𝑓 é uma

função diferenciável.

c)

𝜕𝑓

𝜕𝑥

= 2 𝑥𝑦 e

𝜕𝑓

𝜕𝑦

= 𝑥² são contínuas em ℝ², logo, 𝑓 é diferenciável em ℝ², ou seja, 𝑓 é uma

função diferenciável.

d)

𝜕𝑓

𝜕𝑥

2 𝑥

1 +𝑥

2

+𝑦²

e

𝜕𝑓

𝜕𝑦

2 𝑦

1 +𝑥

2

+𝑦²

são contínuas em ℝ², logo, 𝑓 é diferenciável em ℝ², ou seja,

𝑓 é uma função diferenciável.

e)

𝜕𝑓

𝜕𝑥

= cos

2

2

− 2 𝑥²sen(𝑥

2

2

) e

𝜕𝑓

𝜕𝑦

= − 2 𝑥𝑦sen(𝑥

2

2

) são contínuas em ℝ²,

logo, 𝑓 é diferenciável em ℝ², ou seja, 𝑓 é uma função diferenciável.

f)

𝜕𝑓

𝜕𝑥

𝑦

1 +(𝑥𝑦)

2

e

𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝑥

1 +(𝑥𝑦)

2

são contínuas em ℝ², logo, 𝑓 é diferenciável em ℝ², ou seja, 𝑓 é

uma função diferenciável.

4. a)

𝜕𝑓

𝜕𝑥

2

3

e

𝜕𝑓

𝜕𝑦

1

3

b) 𝑛 {

5. 𝑧 = 0 e 𝑧 = 6 𝑥 + 6 𝑦 − 18