EFB109 – Cálculo Diferencial e Integral II
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EFB109 – 2022
Lista de Exercícios – Plano tangente e reta normal
1. Determine uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal à superfície no ponto
especificado:
𝑎) 𝑧= 2𝑥2+𝑦2−5𝑦 no ponto (1, 2 , −4).
𝑏) 𝑧= 𝑒𝑥−𝑦no ponto (2, 2 ,1).
𝑐) 𝑧= √𝑥𝑦 no ponto (1, 1 ,1).
𝑑) 𝑧= 𝑥𝑒𝑥𝑦 no ponto (2, 0 ,2).
2. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização
𝐿(𝑥,𝑦) da função naquele ponto.
𝑎) 𝑓(𝑥,𝑦)=1+𝑥ln(𝑥𝑦−5) no ponto (2,3).
𝑏) 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥²𝑒𝑦 no ponto (1,0).
𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4arctg(𝑥𝑦) no ponto (1, 1 ).
𝑑) 𝑓(𝑥,𝑦)= √𝑥+𝑒4𝑦no ponto (3,0).
3. Justifique porque a função dada é diferenciável em todo o seu domínio.
𝑎) 𝑓(𝑥,𝑦)= 𝑒𝑥−𝑦²
𝑏) 𝑓(𝑥,𝑦)= 𝑥4+ 𝑦3
𝑐) 𝑓(𝑥,𝑦)= 𝑥²𝑦
𝑑) 𝑓(𝑥,𝑦)= ln (1 + 𝑥2+𝑦2)
𝑒) 𝑓(𝑥,𝑦)= 𝑥cos(𝑥2+𝑦2)
𝑓) (𝑥,𝑦)= arctg(𝑥𝑦)
4. Se 2𝑥+𝑦+3𝑧=6 é a equação do plano tangente ao gráfico de 𝑓(𝑥,𝑦) no ponto (1,1,1).
𝑎) Calcule 𝜕𝑓
𝜕𝑥(1,1) e 𝜕𝑓
𝜕𝑦(1,1).
𝑏) Determine a equação da reta normal no ponto (1,1,1).
5. Determine os planos que sejam tangentes ao gráfico de 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥2+𝑦2 e que contenham a
interseção dos planos 𝑥+𝑦+𝑧=3 e 𝑧 =0.
