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Cálculo I: Exercícios de Derivadas e Aplicações, Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral

Faculdade de Ensino Superior da Cidade de Feira de Santana (FAESF/UNEF)Cálculo Diferencial e Integral

Uma coleção de exercícios de cálculo i, abrangendo conceitos de derivadas e suas aplicações. Os exercícios cobrem tópicos como derivadas de funções, equações de retas tangentes, taxas de variação, e problemas de otimização. Útil para estudantes de engenharia e áreas afins que desejam praticar e consolidar seus conhecimentos em cálculo diferencial.

Tipologia: Exercícios

2022

Compartilhado em 26/02/2025

weslley-santos-30
weslley-santos-30 🇧🇷

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bg1
1
ENGENHARIAS
CÁLCULO I
EXERCÍCIOS
A) Encontrar a derivada das funções abaixo:
1) f(r) =
2
r
2) f(x) = 3x2 + 6x + 10
3) f(w) = aw2 + b
4) f(x) =
3
x
2
1
14
5) f(x) = (2x + 1)(3x2 + 6)
6) f(x) = (7x – 1)(x + 4)
7) f(x) = (3x5 – 1)(2 – x4)
8) f(x) =
)3x5()3x5(
3
21
9) f(x) = (x + 1)(x – 1)
10) f(x) = (x2 – 1)(3x – 1)(5x3 + 2x)
11) f(x) = 7(ax2 + bx + c)
12) f(u) = (4u2 – a)(a – 2u)
13) f(x) =
1x3
4x2
14) f(t) =
1t
1t
15) f(t) =
1t
1t5t3 2
16) f(t) =
17) f(x) =
2
x5
x4
18) f(x) =
2x2
7x5
19) f(t) =
bt
)at( 2
20) f(x) =
54 x
5
x
3
21) f(x) =
6
4x
2
x
2
1
22) y = – x2 + 3
23) s = 5t3 – 3t5
24) y =
xx
3
43
25) y = x2 + x + 8
26) w = 3z7 – 7z3 + 21z2
27) y =
4
x
2
x
3
x23
28) w =
z
1
z3 2
29) s =
2
1
t
4
t2
30) y = 6x2 – 10x – 5x – 2
31) r =
s2
5
s3
1
2
32) y =
2x3
5x2
pf3
pf4
pf5
pf8

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Baixe Cálculo I: Exercícios de Derivadas e Aplicações e outras Exercícios em PDF para Cálculo Diferencial e Integral, somente na Docsity!

ENGENHARIAS

CÁLCULO I

EXERCÍCIOS

A) Encontrar a derivada das funções abaixo:

1) f(r) =

2  r

2) f(x) = 3x

2

+ 6x + 10

3) f(w) = aw

2

+ b

4) f(x) =

3 x 2

 

5) f(x) = (2x + 1)(3x

2

6) f(x) = (7x – 1)(x + 4)

7) f(x) = (3x

5

- 1)(2 – x

4

8) f(x) = ( 5 x 3 ) ( 5 x 3 )

9) f(x) = (x + 1)(x – 1)

10) f(x) = (x

2

- 1)(3x – 1)(5x

3

+ 2x)

11) f(x) = 7(ax

2

+ bx + c)

12) f(u) = (4u

2

- a)(a – 2u)

13) f(x) =

3 x 1

2 x 4

14) f(t) =

t 1

t 1

15) f(t) =

t 1

3 t 5 t 1

2

16) f(t) =

t 2

2 t

2

17) f(x) =

2 5 x

4 x

18) f(x) =

2 x 2

5 x 7

19) f(t) =

t b

(t a)

2

20) f(x) =

4 5 x

x

21) f(x) =

6

4

x

x 2

22) y = – x^2 + 3

23) s = 5t

3

- 3t

5

24) y = x x

25) y = x

2

+ x + 8

26) w = 3z

7

- 7z

3

+ 21z

2

27) y =

x

x

x

3 2

 

28) w =

z

3 z

2 

29) s =

2

1

t

 2 t 

30) y = 6x

2

- 10x – 5x - 2

31) r =

2 s

3 s

2

32) y =

3 x 2

2 x 5

33) y =

t 1

2 t 1

34) g(x) =

x 0 , 5

x 4

2

35) u = (1 – t)(1 + t

2

- 1

36) y =

x

1 x 4 x

37) y = x x

x (^2)

4

 

38) y =

x

x 7

3 

39) f(x) =

3 x 1

2 x

40) f(x) = x x

3 

41) f(x) =

3 3 6 x  x

42) f(x) =

x 1

x

2 

43) f(x) = x ( 2 x 4 ) x

8 3   

44) f(x) =

x 1

x 1

2

45) f(x) =

5 x 3

3 x 3

2

46) y =

x 1

x

47) f(x) =

x 3

x 1

2 

48) y =

x 1

x 5 x 

49) f(x) =

3 x 1

2 x 4

50) f(t) =

3

2 2 t 3

7 t 1  

51) y =

x

x x

3 

52) f(x) =

3 2 2 ( 3 x  6 x 2 )

53) y =

x 3

x x

2

4

B) Encontre a equação da reta tangente à curva y  x , que seja paralela à reta 8 x  4 y 1  0.

C) O raio r de uma esfera está variando, com o tempo, a uma taxa constante de 5 m/s. Com que taxa estará

variando o volume da esfera no instante em que r = 2 m?

D) A altura s (em pés) no instante t (em segundos) de um dólar de prata jogado do topo do monumento de

Washington é dada por s 16 t 555

2

1) Determine a velocidade média no intervalo [2, 3].

2) Determine as velocidades instantâneas quando t = 2 e t = 3.

3) Quanto tempo levará para a moeda atingir o chão?

4) Determine a velocidade da moeda quando ela atingir o chão.

E) Usando a definição, encontre f’(x) sabendo que

x 3

x 2 f (x) 

F) A que taxa a área muda em relação ao diâmetro, quando o diâmetro é igual a 10 m?

J) Sabemos que a área de um quadrado é função de seu lado. Determinar:

1) A taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 2,5m a

3m;

2) A taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4m.

K) Sabendo que y 3 x 12 x 8

2

   , determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico desta

equação no ponto P(3, – 1) e o ponto do gráfico em que a tangente é horizontal.

L) Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de

pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia de

epidemia) é, aproximadamente, dado por   3

t ft 64 t

3

1) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4?

2) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8?

3) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5° dia?

M) Usando a definição, encontre a derivada da função f (x) x 3.

N) Analistas de produção verificaram que, em uma montadora x, o número de peças produzidas nas

primeiras t horas diárias de trabalho é dado por



 

  

  

200 (t 1 ),para 4 t 8

50 ( t t),para 0 t 4

2

1) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de trabalho? E após 7 horas?

2) Quantas peças são produzidas na 8ª hora de trabalho?

O) A curva f( x) x 2 x 2

4 2

   tem alguma tangente horizontal? Se tem, onde está?

P) Um reservatório de água está sendo esvaziado para a limpeza. A quantidade de água no reservatório,

em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por

2

V  50 ( 80 t ). Determinar:

1) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de

escoamento.

2) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento.

3) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento.

Q) Um quadrado de lado l está se expandindo segundo a equação

2

l  2  t , onde a variável t representa o

tempo. Determinar a taxa de variação da área desse quadrado no tempo t = 2.

R) O raio de uma circunferência cresce á razão de 21 cm/s. Qual a taxa de crescimento do comprimento da

circunferência em relação ao tempo?

S) Um ponto P (x, y) se move ao longo do gráfico da função

x

1

y . Se a abscissa varia à razão de 4

unidades por segundo, qual a taxa de variação da ordenada quando a abscissa é

10

1

x ?

T) Acumula-se areia em um monte com forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o

volume de areia cresce a uma taxa de 10 m

3

/h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do

monte é de 4 m?

RESPOSTAS

A)

  1. 2 r

  2. 6x + 6

  3. 2aw

4 2 x

  1. 18x

2

  • 6x + 12

  1. 14x + 27

  2. – 27x

8

  • 30x

4

  • 4x

3

2 ( 5 x 3 )

  1. 2x

  2. 90x

5

- 25x

4

- 36x

3

  • 9x

2

- 12x + 2

  1. 7(2ax + b)

  2. – 24u

2

  • 8au + 2a

2 ( 3 x 1 )

2 (t 1 )

2

2

(t 1 )

3 t 6 t 4

2

2

(t 2 )

t 4 t 2

22

2

( 5 x )

x 8 x 5

2 (x 1 )

2

2 2

(t b )

t 2 bt 2 ab a

5 6 x

x

7

3

x

2 x 

  1. – 2x

  2. 15t

2 (1 – t

2 )

  1. 4x

2

- 1

  1. 2x + 1

  2. 21z (z

5

- z + 2)

x x

2  

3 2 z

z

2 3 t

t

3 x

12 x  10 

2 3 3 s

s

2 ( 3 x 2 )

2 (t 1 )

2

2

(x 0 , 5 )

x x 4

2 2

2

( 1 t )

t 2 t 1

2 x

2 x 1

B) 16x – 8y + 1 = 0

C) 80 π (m

3

/s)

D)

1) – 80 pés/s

2) v(2) = – 64 pés/s e v(3) = – 96 pés/s

3) Aproximadamente 5,89s

4) Aproximadamente 188,5 pés/s

E)

2 x 3

F) 5π m

2

/m

G)

1) 19,6 m

2) 19,6 m/s e 9,8 m/s

2

H)

1) 400 pés

2) 96 pés/s e – 96 pés/s

3) – 32 pés/s

2

4) 10 s

I) 2x + y = 0

J)

2) 8 m

2

K) m = 6 / (2, – 4)

L)

1) 48 pessoas por dia

3) Aproximadamente 43 pessoas

M)

2 x 3

N)

1) 350 e 200

O) Sim / (0, 2); (2, 10); (– 2, 10)

P)

1) – 7500 l/hora

2) – 720 l/hora

3) 38750 litros

Q) 48 unidades de área/unidade de tempo

R) 42 π cm/s

S) – 40 0 unidades/s

T) 5 m

2

/h