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Métodos Numéricos Computacionais
AJUSTE DE CURVAS
Até agora, o polinômio de aproximação foi definido de tal maneira a coincidir com o
valor da função dada em pontos definidos (interpolação). Em certos tipos de problemas, isto
pode não ser desejável, em particular se os valores foram obtidos experimentalmente e são,
portanto, sujeitos a erros. Não é conveniente incorporar esses erros à função de aproximação que
reflita a tendência geral da função dada.
Dados n pontos ( xi,yi ), i = 1,.., n, deseja-se ajustar a eles uma curva g ( x ), que seja uma
“boa aproximação” para esses pontos tabelados.
y
x
x 0 xn
y
x
x 0 x (^1) x n
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MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Ajuste de Curva – Caso Discreto
Dados os pontos ( xi , f ( xi )), i = 1, ..., n , e as n funções g 1 ( x ), g 2 ( x ), ..., g 2 ( x n) escolhidas de
alguma forma, devemos determinar os coeficientes a 1 , a 2 , ..., a n tal que a função g ( x ) = a 1 g 1 ( x )+
a 2 g 2 ( x )+ ...+ a n g n( x ) se aproxime ao máximo de f ( x ).
O ajuste de curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados tem por objetivo ajustar g ( x ) =
f ( x ), de forma que os desvios quadráticos sejam mínimos, ou seja, os coeficientes ai que fazem
com que g ( x ) se aproxime ao máximo de f ( x ), são os que minimizam a função:
2 1
minimizar ( ( ) ( ))
n i i i
f x g x
^
n (^2) i i 1
minimizar e
^ ^ minimizar^ (erros)
2
Tipos de ajustes:
- Ajuste polinomial g x ( ) a g 1 1 (^) ( ) x a g 2 (^) 2 ( ) x ... a gn n ( ) x
- Ajuste exponencial g x ( ) abx
g x ( ) aebx
g x ( ) eax b
1 2
g x ( ) a x a
Métodos Numéricos Computacionais
Desta forma, tem-se o seguinte sistema linear:
1 2 1 2 1 1 1 1
i
i i
n n i i i n n n i i i i i
n x y a a x x x y
Esse sistema pode ser resolvido por qualquer método visto anteriormente, em particular,
o método de Cholesky pode ser aplicado, pois o sistema de equações possui a matriz simétrica e
definida positiva.
Exemplo
Ajuste os pontos abaixo a g ( x ) e calcule o erro.
x 0 1 2 3 4 y 0,98 - 3,01 - 6,99 - 11,01 - 15
Métodos Numéricos Computacionais
AJUSTE POLINOMIAL
Dados n pontos ( x i, y i), i = 1,.., n , e o valor do grau do polinômio a ser determinado,
deseja-se encontrar os coeficientes do polinômio g x ( ) a g 1 1 (^) ( ) x a g 2 2 ( ) x ... a gn n ( ) x de
modo que min^2 1
( ( ) ( ))
n i i i
f x g x
(^) .
Resolvendo min^2 1
( ( ))
n i i i
y g x
(^) , obtém-se o seguinte sistema linear:
2
2 3 1 1 2 3 4 2 2
2 (^1 2 )
i i
i i i
i i i i i
i i i i
n i (^) n i n i (^) n i i n i
n n n n n n i i
n x x x (^) a y
x x x x (^) a x y
x x x x x y a
x x x x a x y
Exemplo
Ajuste os pontos da tabela abaixo à uma equação do 2o^ grau e calcule o erro cometido.
x - 2,0 - 1,5 0,0 1,0 2,2 3, y - 30,5 - 20,2 - 3,3 9,2 16,8 21,
y
x
x 0 x (^1) x n
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Para um caso simples, sejam as funções g 1 ( x ) e g 2 ( x ) que definem a função g ( x ),
contínuas no intervalo [a,b] e escolhidas a partir de algum critério de mérito:
g ( x ) a 1 g 1 ( x ) a 2 g 2 ( x )
Deseja-se encontrar a 1 e a 2 que melhor ajuste a reta g ( x ) a f ( x ), não obrigando que a curva ajustada passe pelos pontos f(a) e f(b).
Fazendo a substituição, tem-se:
1 2
2 2
2 1 2 12 2
2 1
2 1 1 2 2 1
2
2 2
2 1 2 1 2 2
2 1
2 1 1 2 2 1
2
2 2
2
g x g xdxaa g x dxa F a a
f x dx f xg xdxa f xg xdxa g x dxa
f x f x ag x ag x a g x aag x g x a g x dx
E f x g x dx f x f x g x g x dx
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b a
b
a
b
a
A solução é encontrar (^) a 1 , a 2 tal que:
0 para 1 , 2 1 , 2
i a
E
ia a
1 1 2 2
2 1 1 1
2 f ( x ) g ( x ) dx 2 g ( x ) dxa 2 g ( x ) g ( x ) dxa a
E
b
a
b
a
b
a
-1-1 0 1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
5
6
x
f (x)
a b
f (x)
f i (x)
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2 1 2 1
2 2 2 2
2 f ( x ) g ( x ) dx 2 g ( x ) dxa 2 g ( x ) g ( x ) dxa
E
b
a
b
a
b
a
^
Igualando-se a zero e reagrupando, tem-se:
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
g xg xdxa g x dxa f xg x dx
g x dxa g x g xdxa f x g xdx
2 2
2 1 2 1 2
1 1 2 2 1
2 1
Estas equações resultam num sistema de equações tal que:
A =
2 1 1 2 1
2 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a b b b
a a a
g x dx g x g x dx f x g x dx e b g x g x dx g x dx f x g x dx
(^)
Exemplo:
Aproximar (^) f ( x ) 4 x^3 por uma reta no intervalo [0,1].
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Exemplo
Ajuste os pontos da tabela à equação g ( x ) = a ( b ) x , com 0 < b < 1, e calcule o erro cometido.
xi - 1 - 0,9 - 0,8 0 1 2 f ( xi ) 6,01 5,39 4,80 2,01 0,65 0,
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Ajuste hiperbólico
No ajuste hiperbólico, observa-se que os pontos tabelados possuem um comportamento
que se aproxima de uma função definida por:
a x a
g x
Novamente, deseja-se determinar os parâmetros a 1 e a 2 tal que:
^
n
i 1
2
n
i 1
2 E ( a 1 , a 2 ) e ( xi ) minimizar f ( xi ) g ( xi )
Se 1 ( ) 2
1 ( ) a x a
g x
aproxima-se da função f ( x ), fazemos 1 ( ) 2 ()
1 ( ) a x a gx
h x , que
aproxima-se da função ( )
1 f x
, ou seja, g ( x ) f ( x ) ()
1 g x
()
1 f x
A tabela de pontos fica definida como:
x 1 x 2 ... x n 1 /f 1 ( x ) 1 /f 2 ( x ) ... 1 /f n( x )
Do ajuste de reta tem-se o seguinte sistema linear:
n
i i
n
i
i
n
i i
i
n
i
i
n
i
i
f x
x a na
f x
x x a x a
1
1 2 1
1
2 1
1 1
2
Com os valores de a 1 e a 2 obtidos com a resolução do sistema linear, resolvemos o
problema:
n
i 1
2 ( ) ( )
1 minimizar (^) i i
h x f x
Exemplo
Ajuste os pontos da tabela à equação 1 () 2
1 ( ) a x a
g x
e calcule o erro cometido.
xi - 3 - 2 - 1 - 0 ,5 - 0, f ( xi ) - 0,13 - 0,20 - 0,49 - 2,01 - 4,
