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ALISE NA RETA
LISTA DE PROBLEMAS No. 1
Cap´ıtulo 2
1. (AR, 2.1.1) Prove as seguintes unicidades:
a) Se x+θ=xpara algum x∈Rent˜ao θ= 0.
b) Se x.u =xpara todo x∈Rent˜ao u= 1.
c) Se x+y= 0 ent˜ao y=−x.
d) Se x.y = 1 ent˜ao y=x−1.
2. (AR, 2.1.2) Dados a, b, c, d ∈R, se b= 0 e d= 0, prove que a/b +c/d = (ad +bc)/bd e
(a/b)(c/d) = (ac)/(bd).
3. (AR, 2.1.3) Se a= 0 e b= 0, prove que (ab)−1=a−1b−1e conclua que (a/b)−1=b/a.
4. (AR, 2.1.4) Prove que (1 −xn+1)/(1 −x) = 1 + x+·· · +xnpara todo x= 1.
5. (AR, 2.2.3) Dados x, y ∈R, prove que se x2+y2= 0 ent˜ao x=y= 0.
6. (AR, 2.2.4) Prove por indu¸c˜ao que (1 + x)n≥1 + nx + [n(n−1)/2]x2para todo x≥0.
7. (AR, 2.2.8)
a) Prove que se a1/b1, . . . , an/bnpertencem ao intervalo (α, β) e b1, . . . , bns˜ao positivos, ent˜ao
(a1+· · · +an)/(b1+· · · +bn) pertence a (α, β).
b) Prove que nas mesmas condi¸c˜oes do item (a), dados t1, . . . , tnpositivos, o n´umero (t1a1+
· · · +tnan)/(t1b1+· · · +tnbn) tamb´em pertence a (α, β).
