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Propriedades de triângulos, cálculo de distâncias e áreas em geometria, Notas de estudo de Desenho

Faculdade de Tecnologia IPENO (FACTIPENO)Desenho

Este documento aborda diversos exercícios de geometria, envolvendo teoremas de bissetriz interna e externa, cálculo de distâncias e áreas em triângulos, lei dos cossenos, teorema de pitágoras, potência de ponto, cálculo de áreas de polígonos regulares, cálculo de áreas de cilindros e esferas, e equidecomposição de figuras geométricas. Além disso, é apresentado o cálculo da mediana e altura de um triângulo, bem como o raio da circunferência circunscrita, dados os valores dos lados.

Tipologia: Notas de estudo

2022

Compartilhado em 07/11/2022

Salome_di_Bahia
Salome_di_Bahia 🇧🇷

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bg1
1
MAT 240- Lista de Exerc´ıcios
1. Dado o ∆ABC , seja G o baricentro deste triˆangulo e M o ponto m´edio
do lado BC. Prove que AG = 2GM.
2. Seja G o baricentro e O o circuncentro do ∆ABC. Na reta que cont´em
G e O tome o ponto P tal que 2GO =GP e O - G - P. Prove que se AM
´e uma mediana, ent˜ao o ∆AGP ´e semelhante ao ∆MGO. Conclua da´ı
que P ´e o ortocentro H e portanto O, G, H s˜ao colineares.A reta que
cont´em estes tres pontos ´e chamada de reta de Euler.
3. No ∆ABC ,AD ´e a bissetriz interna e AE ´e a bissetriz externa, com
D∈BC eE∈−−→
BC. Sabendo que AB = 12, BC = 10, AC = 8 ,calcule
DE.
4. O ∆ABC ´e retˆangulo em A e m(< BC D) = 30. A bissetriz do ˆangulo
< ABC intersecta o cateto AC em D. Calcule o valor exato de AD
DC .
5. Sejam ∆ABC e ∆A0B0C0dois triˆangulos tais que AB ´e paralela a
A0B0,AC ´e paralela a A0C0eBC ´e paralela a B0C0. Prove que o
∆ABC ´e semelhante ao ∆A0B0C0e que as retas ←→
AA0,←→
BB0,←→
CC 0s˜ao
retas concorrentes.
6. Mostre que se dois triˆangulos s˜ao semelhantes, ent˜ao:
a) as medianas est˜ao na mesma raz˜ao que os lados correspondentes.
b) as alturas est˜ao na mesma raz˜ao que as base correspondentes.
7. Prove que num ∆ABC o produto de uma base pela altura correspon-
dente, independe da escolha da base.
8. Sejam A e B dois pontos de uma reta e m, n dois reais positivos.
Existem, sobre esta reta, dois pontos M e N tais que MA
MB =N A
NB =m
n.
Um dos pontos est´a no interior de AB e o outro no exterior.Os pontos
M e N s˜ao chamados de conjugados harmˆonicos com rela¸c˜ao a AB.Se
AB = 12 e AM = 10 , localize N com relacˆao aos outros pontos.Prove
tamb´em que se M e N s˜ao conjugados harmˆonicos com rela¸c˜ao a AB,
ent˜ao A e B s˜ao conjugados harmˆonicos com rela¸c˜ao a M N .
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MAT 240- Lista de Exerc´ıcios

  1. Dado o ∆ABC , seja G o baricentro deste triˆangulo e M o ponto m´edio do lado BC. Prove que AG = 2GM.
  2. Seja G o baricentro e O o circuncentro do ∆ABC. Na reta que cont´em G e O tome o ponto P tal que 2GO = GP e O - G - P. Prove que se AM ´e uma mediana, ent˜ao o ∆AGP ´e semelhante ao ∆M GO. Conclua da´ı que P ´e o ortocentro H e portanto O, G, H s˜ao colineares.A reta que cont´em estes tres pontos ´e chamada de reta de Euler.
  3. No ∆ABC ,AD ´e a bissetriz interna e AE ´e a bissetriz externa, com D ∈ BC e E ∈

BC. Sabendo que AB = 12, BC = 10, AC = 8 ,calcule DE.

  1. O ∆ABC ´e retˆangulo em A e m(< BCD) = 30. A bissetriz do ˆangulo < ABC intersecta o cateto AC em D. Calcule o valor exato de (^) DCAD.
  2. Sejam ∆ABC e ∆A′B′C′^ dois triˆangulos tais que AB ´e paralela a A′B′, AC ´e paralela a A′C′^ e BC ´e paralela a B′C′. Prove que o ∆ABC ´e semelhante ao ∆A′B′C′^ e que as retas

←→ AA′,

←→ BB′,

←→ CC′^ s˜ao retas concorrentes.

  1. Mostre que se dois triˆangulos s˜ao semelhantes, ent˜ao:

a) as medianas est˜ao na mesma raz˜ao que os lados correspondentes. b) as alturas est˜ao na mesma raz˜ao que as base correspondentes.

  1. Prove que num ∆ABC o produto de uma base pela altura correspon- dente, independe da escolha da base.
  2. Sejam A e B dois pontos de uma reta e m, n dois reais positivos. Existem, sobre esta reta, dois pontos M e N tais que M AM B = N AN B = mn. Um dos pontos est´a no interior de AB e o outro no exterior.Os pontos M e N s˜ao chamados de conjugados harmˆonicos com rela¸c˜ao a AB.Se AB = 12 e AM = 10 , localize N com relacˆao aos outros pontos.Prove tamb´em que se M e N s˜ao conjugados harmˆonicos com rela¸c˜ao a AB, ent˜ao A e B s˜ao conjugados harmˆonicos com rela¸c˜ao a M N.
  1. Dado o ∆ABC, trace duas perpendiculares BB′^ e CC′^ `a bissetriz AD, onde D ∈ BC, B′, C′^ ∈

−→ AD. Prove que B’ e C’ s˜ao conjugados harmˆonicos de A,D.

  1. Use o exerc´ıcio anterior para localizar o ponto N, sabendo M,N s˜ao conjugados harmˆonicos de A,B e que AB = 12 e AM = 10, conforme exerc´ıcio anterior.
  2. No ∆ABC, D ∈ AB, E ∈ AC e DADB = ECEA. Prove que os pontos m´edios dos lados AB e AC e o ponto m´edio de DE s˜ao colineares.
  3. Quatro semi-retas

OA,

OB,

OC,

OD formam ˆangulos consecutivos de 45 graus. Corta-se estas semi-retas por uma reta r tal que A, B, C, D est˜ao em r e OA = OD. Prove que AB^2 = AD.BC.

  1. Construir um ∆ABC, conhecendo a altura AD, a mediana AM e a raz˜ao ABAC.
  2. Dada uma circunferˆencia e dois raios OA e OB, tra¸car uma corda que seja dividida em tres partes iguais pelos dois raios.
  3. Em um ∆ABC, a bissetriz do ˆangulo Aˆ encontra o lado BC em D e a circunferˆencia circunscrita a este triˆangulo em E. Prove que EB^2 = EA.ED.
  4. Dado o ∆ABC seja AD a altura que parte do v´ertice A. Use o teorema de Pit´agoras para provar que AC^2 = BC^2 + AB^2 − 2 BC.BD se o ˆangulo Bˆ ´e agudo e AC^2 = BC^2 + AB^2 + 2BC.BD se o ˆangulo Bˆ ´e obtuso. Use este resultado para obter a sagrada f´ormula dos cossenos b^2 = a^2 + c^2 − 2 a.c.cos( Bˆ).
  5. Prove que em um triˆangulo, o produto de dois lados ´e igual ao produto do diˆametro da circunferˆencia circunscrita ao triˆangulo pela altura cor- respondente ao terceiro lado.
  6. No ∆ABC, a mediana AM tem comprimento m. Prove que b^2 + c^2 = 2 m^2 + a

2 2.^ Use este resultado para mostrar que se G ´e o baricentro, entˆao AB^2 + BC^2 + CA^2 = 3(GA^2 + GB^2 + GC^2 ).

  1. Os lados de um triˆangulo medem 6, 7 e 11. Calcule os comprimentos das medianas.Calcule tamb´em as alturas.
  1. Prove que o retˆangulo de base 2 e altura 1 ´e equidecompon´ıvel com o quadrado de lado
  1. Um paralelogramo tem dois lados de comprimento 2 e dois lados de comprimento 1. Ele pode ser recortado em triˆangulos e remontado no retˆangulo de base

2 e altura 1. Indique um poss´ıvel recorte e como fazer o remonte. Determine tamb´em as medidas de cada triˆangulo.

  1. Dado um pent´agono de lado unit´ario, contruir um retˆangulo de base unit´aria e que seja equidecompon´ıvel com este pent´agono.
  2. Usando apenas a defini¸c˜ao de π e tamb´em que a ´area de uma circun- ferˆencia ´e π.r^2 , prove que 3 < π < 3 , 4. (Sugest˜ao: o oct´ogono e o dodec´agono podem auxiliar na solu¸c˜ao)
  3. A ´area da regi˜ao limitada pela circunferˆencia de raio 1 ´e o n´umero positivo denotado pela letra grega π. Use poligonos regulares para calcular o valor aproximado de π, com 4 casas decimais.
  4. Mostre que a ´area de um pol´ıgono regular de n lados ´e a metade de seu per´ımetro pelo ap´otema ( segmento que parte do centro geom´etrico do pol´ıgono regular e ´e perpendicular a um dos lados).
  5. Usando apenas o fato de que a ´area de um triˆangulo ´e a metade do produto da base pela altura e triangula¸c˜ao, encontre a ´area de um pent´agono regular.
  6. Encontre a ´area de um losango que tem uma diagonal que mede 30 e um lado que mede 17.
  7. Um paralelogramo tem per´ımetro igual a 28 e diagonais de medidas 8 e 12. calcule a medida dos lados.
  8. O ∆ABC ´e retˆangulo em A e est´a inscrito na circunferˆencia C 1. C 2 e C 3 s˜ao as circunferˆencias de diˆametro AB e AC respectivamente. As regi˜oes constituidas pelos pontos interiores a C 2 e exteriores a C 1 ou pelos pontos interiores a C 3 e exteriores a C 1 s˜ao chamadas de Luas de Hip´ocrates. Prove que a soma das ´areas das luas ´e igual `a ´area do triˆangulo.
  1. No quadril´atero ABCD temos que E = AC ∩ BD, AC = 30, BD = 25 e m(< CED) = 45. Calcule a ´area deste quadril´atero.
  2. No ∆ABC, seja D o ponto m´edio de AC, E o ponto m´edio de BC e F o ponto de interse¸c˜ao das medianas AE e BD. Mostre os triˆangulos ∆AF D e ∆BF E tˆem mesma ´area.
  3. Seja C um ponto do segmento AB e num mesmo plano determinado

pela reta

←→ AB considere tres semi-circunferˆencias com diˆametros AB, AC, BC. Seja CD o segmento perpendicular a AB, com D na semi- circunferˆencia de maior raio. Mostre que a ´area da regi˜ao limitada pelas tres semi-circunferˆencias ´e igual a ´area da regi˜ao limitada pela circunferˆencia cujo diˆametro ´e CD.

  1. (Teorema de Heron) Seja p = a+ 2 b+ co semi-per´ımetro do ∆ABC. Prove

que a ´area deste triˆangulo ´e

√ p(p − a)(p − b)(p − c). (Observa¸c˜ao: Uma prova pode ser obtida usando a f´ormula dos cossenos).

  1. (Lei dos senos) No ∆ABC, sejam Aˆ, Bˆ, Cˆ os ˆangulos de v´ertices A, B, C respectivamente. Ent˜ao, (^) sena( Aˆ) = (^) senb( Bˆ) = (^) senc( Cˆ) = 2r, onde r ´e o raio da circunferˆencia circunscrita ao triˆangulo.
  2. Use a lei dos senos para provar que a ´area do ∆ABC ´e abc 4 r , onde a, b, c s˜ao os lados e r o raio da circunferˆencia circunscrita.
  3. Conhecendo os valores a, b, c dos lados de um triˆangulo, calcule as alturas, os comprimentos das medianas e o raio da circunferˆencia cir- cunscrita. Quais s˜ao estes valores se a = 10, b = 5, c = 8?
  4. Dadas duas retas paralelas r e s e dois pontos P e Q em r, tra¸car a circunferˆencia que cont´em P e Q e ´e tangente a r.
  5. Dado o segmento de comprimento 2, obtenha o segmento de compri- mento: a) 2

b) 5/

  1. Tra¸car a reta que passa por um ponto P dado e pelo ponto de interse¸c˜ao de duas retas dadas, sabendo que este ponto de interse¸c˜ao est´a fora do papel.

e) A soma das medidas dos ˆangulos diedros de um prisma indefinido de n faces ´e igual a (n-2).90. f) N˜ao existe um poliedro com um n´umero par de faces, tendo cada uma o mesmo n´umero par de lados e com um n´umero impar de v´ertices. g) Num cubo, as extremidades de tres arestas que partem de um mesmo v´ertice, s˜ao v´ertices de um triˆangulo equil´atero.

  1. Por um ponto dado, construir um plano paralelo a duas retas reversas.
  2. Prove que se duas retas paralelas, uma ´e paralela a um plano, a outra tamb´em ´e, ou est´a contida neste plano.
  3. Prove que um feixe de planos paralelos que encontra duas retas trans- versais, determina sobre elas dois conjuntos de segmentos proporcio- nais.
  4. Se um plano e uma reta s˜ao paralelos, todo plano perpendicular `a reta, ´e perpendicular ao plano.
  5. Mostre que os planos perpendiculares `as faces de um triedro e que cont´em a aresta oposta, concorrem em uma reta.
  6. Dados os planos π 1 e π 2 e uma reta r tal que r ‖ π 1 e r ⊥ π 1 , mostre que π 1 e π 2 s˜ao planos perpendiculares.
  7. Seja ABCD um tetraedro tal que AD = BD = AC = BC =

AB = 2 e DC =

√ 2 −

  1. calcule a medida do ˆangulo diedro formado pelas faces ABD e ABC.
  2. Um prisma obl´ıquo tem por base um pol´ıgono convexo de 7 lados. Calcule a soma das medidas dos ˆangulos diedros deste prisma.
  3. Uma superf´ıcie poli´edrica ´e tal que todas as suas faces s˜ao regi˜oes poli- gonais com o mesmo n´umero de lados e o n´umero de arestas ´e o dobro do n´umero de v´ertices. Determine esta superf´ıcie.
  4. Mostre como se deve conduzir um plano que corte um dado ˆangulo poli´edrico de quatro faces, num paralelogramo. Fa¸ca um desenho da pirˆamide obtida.
  1. Mostre que a soma das medidas dos ˆangulos das faces de uma pirˆamide ´e 4(V-2).90.
  2. Um poliedro convexo, euleriano tem faces triangulares e faces quadran- gulares. Sabendo que este poliedro tem 9 arestas e que a soma das medidas dos ˆangulos das faces ´e 1440 graus, determine o n´umero de v´ertices e de faces e fa¸ca um esbo¸co deste poliedro.
  3. Um poliedro euleriano ´e tal que A = 2V , 3F = 4V e todas as suas faces tˆem o mesmo n´umero de lados. Determine este poliedro.
  4. Como deve ser dividida a altura de uma pirˆamide, por um plano para- lelo `a base, para obter dois s´olidos de mesmo volume?
  5. Um cubo tem aresta de medida 5. Determine a ´area lateral e o volume de uma pirˆamide que tem por base uma face do cubo e por v´ertice o centro do cubo.
  6. Um tronco de prisma reto tem por base um triˆangulo de ´area 7. Calcule o volume do tronco, sabendo que as arestas laterais medem 4, 5, 6.
  7. Determine o lado da base e a altura de um prisma regular hexagonal, dados o volume V e a ´area lateral S.
  8. Cortar uma pirˆamide de altura h por um plano paralelo `a base de modo que o volume da pirˆamide menor seja 1/8 do volume do tronco.
  9. Achar as tres medidas das arestas de um paralelep´ıpedo retˆangulo, sabendo a ´area da base ´e 72, o volume ´e 864 e a ´area total ´e 552.
  10. Mostre que o plano definido por uma aresta de um tetraedro e pelo ponto m´edio da aresta oposta, separa o tetraedro em dois s´olidos de mesmo volume.
  11. Prove que um tronco de paralelep´ıpedo reto tem por volume o produto da ´area de uma se¸c˜ao reta, pela m´edia das quatro arestas.
  12. Por cada v´ertice de um tetraedro qualquer, passamos o plano paralelo `a face oposta. Prove que o volume do tetraedro obtido ´e 27 vezes o volume do tetraedro dado.
  1. Dados quatro pontos n˜ao coplanares A, B, C, D, construa a ´unica esfera que cont´em estes quatro pontos.
  2. Calcule o volume do s´olido gerado por um triˆangulo equil´atero que gira ao redor de um eixo paralelo a um lado e que cont´em o v´ertice oposto ao lado, sabendo que o lado mede 2.
  3. Prove que o volume de uma esfera ´e 2/3 do volume do cilindro circuns- crito.
  4. Calcule o volume da esfera inscrita num cone circular de raio r e altura h.
  5. Qual ´e a raz˜ao entre a ´area da superf´ıcie esf´erica e do cone equil´atero circunscrito? E entre os volumes?

Sugest˜oes das Solu¸c˜oes e Respostas

  1. Se N ´e o ponto m´edio de AB, ent˜ao AC = 2MN e 4 ACG ∼ 4M N G pelo crit´erio AA de semelhan¸ca.
  2. Use o ex.1 e o crit´erio LAL de semelhan¸ca.
  3. Use os teoremas da bissetriz interna e externa e obtenha DE = 24.
  4. ADDC = (^12)
  5. Trace as transversais que ligam os v´ertices correspondentes. Para pro- var que as retas s˜ao concorrentes, tente por absurdo. Observe que se as retas forem paralelas, elas concorrem num ponto do infinito ou ponto ideal.
  6. Escreva as raz˜oes de semelhan¸ca.
  7. Seja D o p´e da altura que parte do v´ertice A e E o p´e da altura que parte do v´ertice C. Ent˜ao o 4 ADB ´e semelhante ao triangulo 4 CEB.
  8. No caso de m e n serem inteiros, proceda da seguinte maneira: Para obter M, no interior do segmento, dividir o segmento em m + n partes iguais e tomar M o m-´esimo ponto desta divis˜ao. Para obter N, dividir o segmento em m − n partes iguais, caso m > n e se d ´e o tamanho de cada parte, escolher o ponto N a direita de B e cuja distˆancia para B ´e

n.d. Se m < n, dividir o segmento em n − m partes iguais e tomar N a esquerda de A e cuja distˆancia seja m.d.

  1. Use as semelhan¸cas 4 ACC′^ ∼ 4ABB′, 4 BB′D ∼ 4CC′D e o teo- rema da bissetriz interna.
  2. Use o exerc´ıcio anterior.
  3. Inverta a igualdade dada, some 1 em cada lado e divida por 2 para obter AMAD = ANEC. Use isto para mostrar que N ´e ponto m´edio de EF , onde F ´e ponto de AC, tal que DF ´e paralelo BC. Conclua dai que o ponto de interse¸c˜ao dos segmentos DE e M N ´e o ponto m´edio de DE.
  4. Sem perda de generalidade ( por causa da semelhan¸ca ) podemos supor que OA = OD = 1. Note AB = z, OB = OC = x e BC = y. Use o teorema da bissetriz interna para provar que z = yx. Construa o 4 OAE, is´osceles e retˆangulo em A, para mostrar que x =

2 − 1 e finalmente verifique que y(2z + y) = z^2.

  1. Usando o teorema de Pit´agoras determine DM. O valor de DC ´e obtido usando ´areas dos 4 ABD e 4 ACD e o valor conhecido ABAC.
  2. Trace a corda AB prolongando ambos os seus lados para pontos M e N de forma que B e A ficam entre M e N e MB = AB = NA.
  3. Use a semelhan¸ca 4 ABE ∼ 4BDE.
  4. E s´´ o seguir o enunciado.
  5. Trace o diˆametro AD e observe que os ˆangulos 6 ACB e 6 ADB s˜ao congruentes, conclua que c = 2rsen(m(^6 ACD)). Use a f´ormula, Area´ = ab^ sin( 2 γ).
  6. Use a lei dos cossenos duas vezes e para a segunda parte use o resultado provado na primeira.
  7. medianas: 72 ,

√ 265 2 , 2

19 alturas:^12

√ 10 11 ,

12 √ 10 7 , 2

  1. Use a lei dos cossenos nos nos ∆ABD e ∆ACD, no ˆangulo de v´ertice D. Some os resultados, n˜ao esquecendo de usar o fato que cos(π − d) = −cos(d).
  1. O triˆangulo 4 ADB ´e retˆangulo em D. CD divide este triˆangulo em outros dois, todos semelhantes.
  2. Use a lei dos cossenos.
    1. Seja Q ponto tal que P ponto m´edio do segmento OQ, onde O ´e o v´ertice do ˆangulo. Trace por Q paralelas a r e a s.
  3. Construa o segmento de medida

5, usando um segmento de medida 2 e um segmento perpendicular de medida 1.

  1. Se o 4 OAB ´e tal que OA = OB = 1 e a medida do ˆangulo de v´ertice O ´e 36, ent˜ao os outros ˆangulos medem 72. Tome D em OA tal que OD = BD. Use o teorema da bissetriz interna para mostrar que OD = −1+

√ 5

Desta forma, o pent´agono regular pode ser construido com r´egua e compasso.

  1. Use os postulados do espa¸co.
  2. Resposta: octaedro.
  3. Resposta 8, 9 e 12.
  4. As alturas s˜ao iguais. 77.Divida o tronco dado em dois troncos com bases triangulares e use o exerc´ıcio 60.
  5. Use o fato que os v´ertices do tetraedro interno s˜ao os baricentros das faces do tetraedro externo.
  6. O cone equil´atero tem o diˆametro da base igual a geratriz e assim a ´area total ´e 34 πg^2.
  7. O centro da esfera ´e o encontro das perpendiculares aos circuncentros dos triˆangulos ABC e ACD.