Baixe Lista de exercício de eletricidade e magnetismo III e outras Exercícios em PDF para Eletromagnetismo, somente na Docsity!
Eletromagnetismo 3
FIS 2303 - 2021.
Lista de Exercícios - 1 (para 26/03/2021)
- (10 p) Mostre que os polinômios definidos pela formula de Rodrigues
Pl(x) =
2 ll!
dl dxl^
(x^2 − 1)l,
satizfazem a Equação ordinária de Legendre
d dx
( (1 − x^2 )
dP dx
)
- (10 p) Mostre que
∫ (^1)
− 1
dx Pl′ (x) Pl(x) =
2 l + 1
δl′,l.
Encontre o fator de normalização de Pl(x).
- (10 p) Definimos a função de Legendre associada
P (^) lm (x) = (−1)m^ (1 − x^2 )m/^2
dm dxm^
Pl(x),
que pode ser escrita como
P (^) lm (x) =
(−1)m 2 ll!
(1 − x^2 )m/^2
dm+l dxm+l^
(1 − x^2 )l,
com a ajuda da fórmula de Rodrigues. Mostre que a) P (^) lm (x) satisfazem as equações de Legendre generalizada
d dx
( (1 − x^2 )
dP dx
)
( l(l + 1) −
m^2 1 − x^2
) P = 0;
b) Vale a relação ∫ (^1) − 1
dx P m
′ l′^ (x)^ P^
m l (x) =^
2 l + 1
(l + m)! (l − m)!
δl′,l.
- (10 p) Definimos os harmônicos esféricos como
Yl,m(θ, φ) =
√√ √√ 2 l + 1 4 π
(l − m)! (l + m)!
P (^) lm (cos θ) ei m φ.
Mostre que a) Vale Yl,−m(θ, φ) = (−1)m^ Y (^) l,m∗ (θ, φ);
b) Vale a relação de ortogonalização ∫ (^2) π
0
dφ
∫ (^) π
0
dθ sin θ Y (^) l∗′,m′ (θ, φ) Yl,m(θ, φ) = δl′,l δm′,m.
- (5 p) Verifique que vale a relação de completeza
∑^ ∞
l=
∑^ l
m=−l
Y (^) l,m∗ (θ′, φ′) Yl,m(θ, φ) = δ(cos θ′^ − cos θ) δ(φ′^ − φ).
Você não precisa provar a relação acima.
- (5 p) Construa um tensor Cartesiano Tijk, de rango 3, a partir de {xi, yj }, simétrico em x ↔ y e aintissimétrico em i ↔ j.
- (10 p) Suponha que a forma correta para o potencial eletrostático seja
φ(r) =
q 4 πε 0
r
α rβ
) .
onde α é pequeno e 0 < β < 2. Obtenha o resultado do experimento de Cavendish para este problema: duas esferas oncentricas de raios a e b > a, ligadas por um fio condutor fino. Uma carga q é colocada sobre a esfera externa. Quando o equilíbrio é reestabelecido, encontre o valor da carga da esfera interna em primeira ordem em α. Defina o que “pequeno” significa para este problema.
- (10 p) Dois planos condutores infinitos fazem um ângulo de 45o. Uma carga q é colocada a uma distância b do vértice, na bissetriz que faz o ângulo de 22.5o^ com cada plano. a) Faça um esquema do problema; b) Resolva esse problema pelo método das imagens: encontre as ima- gens e onde elas se localizam.
