A aproxima¸c˜ao pela reta tangente L(x) ´e a melhor aproxima¸c˜ao de primeiro grau (linear) para f (x) pr´oximo de x = a porque f (x) e L(x) tˆem o mesmo valor e a mesma taxa de varia¸c˜ao (derivada) em a. Para uma aproxima¸c˜ao melhor que a linear, vamos tentar uma aproxima¸c˜ao de segundo grau (quadr´atica) P (x). Em outras palavras, aproximaremos uma curva por uma par´abola em vez de uma reta. Para nos assegurarmos de que ´e uma boa aproxima¸c˜ao, estipularemos o seguinte(Do livro C´alculo de James Stewart):

(i) P (a) = f (a), (P e f devem ter o mesmo valor em a). (ii) P 0 (a) = f 0 (a), (P 0 e f 0 devem ter o mesmo valor em a). (iii) P 00 (a) = f 00 (a), (P 00 e f 00 devem ter o mesmo valor em a).

Exerc´ıcios:

(1) Encontre a aproxima¸c˜ao quadr´atica P (x) = A + Bx + Cx 2 para a fun¸c˜ao f (x) = cos(x) que satisfa¸ca as condi¸c˜oes (i), (ii) e (iii) com a = 0 1. (2) Para aproximar uma fun¸c˜ao f por uma fun¸cao quadr´atica P pr´oxima a um n´umero a, ´e melhor escrever P na forma 1 P (x) = A + B(x a) + C(x a) 2. Mostre que a fun¸cao quadr´atica satisfaz as condi¸coes (i), (ii) e (iii) ´e

P (x) = f (a) + f 0 (a)(x a) +

f 00 (a) 2

(x a) 2.

Polinˆomio de Taylor 1

Em vez de ficarmos satisfeitos com a aproxima¸c˜ao lineares ou quadr´aticas para f (x) pr´oximo a x = a, vamos tentar encontrar aproxima¸c˜oes melhores por polinˆomios de graus mais altos. Procuramos por um polinˆomio de grau n

P (^) n (x) = c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) 3 + · · · + c (^) n (x a) n

tal que P (^) n e suas primeiras n derivadas tenham os mesmos valores em x = a que f e suas primeiras n derivadas. Derivando repetidamente e fazendo x = a, prova-se que essas condi¸c˜oes est˜ao satisfeitas se c 0 = f (a), c 1 = f 0 (a), c 2 = f^

(^00) (a) 2! ,^ c^3 =^

f 000 (a) 3! e em geral ,

c (^) k =

f (k)^ (a) k! onde k! = 1 · 2 · 3 · · · · k. O polinˆomio resultante

(^1) Exerc´ıcio do livro C´alculo de James Stewart 1

2

P (^) n (x) = f (a) + f 0 (a)(x a) +

f 00 (a) 2!

(x a) 2 +

f 000 (a) 3!

(x a) 3 + · · · +

f (n)^ (a) n!

(x a) n

´e denominado polinˆomio de Taylor de grau n de f centrado em a.

Exerc´ıcios:

(3) Encontre um polinˆomio que satisfa¸ca: (a) P (0) = 7, P 0 (0) = 3, P 00 (0) = 8, P 000 (0) = 54; (b) P (1) = 1, P 0 (1) = 5, P 00 (1) = 32, P 000 (1) = 42; (c) P (2) = 2, P 0 (2) = 4, P 00 (2) = 8, P 000 (2) = 66. (4) Em cada caso encontre os polinˆomios de Taylor de grau um, dois, trˆes e quatro no ponto a indicado. (a) f (x) = e x^ em a = 0 (b) f (x) = cos x em a = 0 (c) f (x) = senx em a = ⇡/ 6 (d) f (x) = tan x em a = ⇡/ 3 (e) f (x) = ln x em a = 1

Resto de Lagrange: 2

Dado o polinˆomio de Taylor de grau n de uma fun¸c˜ao f (x), denotamos por R (^) n (x) a diferen¸ca entre f (x) e P (^) n (x), isto ´e, R (^) n (x) = f (x) P (^) n (x). Temos, entao, f (x) = P (^) n (x) + R (^) n (x), isto ´e,

f (x) = f (a) + f 0 (a)(x a) +

f 00 (a) 2!

(x a) 2 + · · · +

f (n)^ (a) n!

(x a) n^ + R (^) n (x). (1)

Para os valores de x nos quais R (^) n (x) ´e ”pequeno”, o polinˆomio P (^) n (x) d´a uma boa aproxima¸c˜ao de f (x). Por isso, R (^) n (x) chama-se resto. O problema, agora, consiste em determinar uma f´ormula para R (^) n (x) de tal modo que ele possa ser avaliado. Temos a seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao (F´ormula de Taylor): Seja f : [a, b]! IR uma fun¸c˜ao definida num intervalo [a, b]. Suponhamos que as derivadas f 0 , f 00 ,... , f (n)^ existem e sejam continuas em [a, b] e que f (n+1)^ exista em (a, b). Seja c um ponto qualquer em [a, b]. Ent˜ao, para cada x 2 [a, b], x 6 = c, existe um ponto z entre c e x tal que:

f (x) = f (c) + f 0 (c)(x c) +

f 00 (c) 2!

(x c) 2 + · · · +

f (n)^ (c) n!

(x c) n^ +

f (n+1)^ (z) (n + 1)!

(x c) n+1^ (2)

e recebe o nome de F´ormula de Mac-Laurin. Observando as f´ormulas (1) e (2), vemos que, na F´ormula de Taylor apresentada, o resto R (^) n (x) ´e dado por

R (^) n (x) =

f (n+1)^ (z) (n + 1)!

(x c) n+^.

(^2) Extra´ıdo do livro C´alculo A de Diva Mar´ılia Flemming e Mirian Buss Gon¸calves