Baixe Conceitos e cálculo de limites de funções com símbolo de infinito e outras Resumos em PDF para Nanotecnologia, somente na Docsity!
Limites envolvendo infinito – primeira parte
Ao infinito... e al´em! Buzz Lightyear, Toy Story
Meta da aula
- Estender o conceito de limites de fun¸c˜oes aos casos que envolvem o s´ımbolo ∞.
Objetivos
Ao final desta aula, vocˆe dever´a ser capaz de:
- Calcular limites infinitos quando x → a, x → a+^ ou x → a−.
- Identificar e representar geometricamente as ass´ıntotas verticais dos gr´aficos de fun¸c˜oes.
Introdu¸c˜ao
Nesta primeira aula sobre limites envolvendo infinito, vocˆe aprender´a o significado de s´ımbolos tais como
lim
x→a+^
f (x) = + ∞,
e descobrir´a como reconhecer quando isso ocorre. Assim vocˆe aprender´a a calcular estes limites. Al´em disso, tamb´em conhecer´a a interpreta¸c˜ao geom´etrica desses limites. Antes de mais nada, leia a seguir um pequeno hist´orico sobre o assunto.
Breve hist´orico
Infinito n˜ao ´e uma no¸c˜ao exclusiva dos matem´aticos. Nas mais diferentes ´areas do conhecimento humano, deparamo-nos com coisas que s˜ao muito, muito grandes e, tamb´em, coisas extremamente pequenas. Veja a manchete estampada numa certa p´agina de internet em 23 de setembro de 2004: “Cientistas registram colis˜ao frontal de gal´axias”. Uma equipe internacional de cientistas observou a colis˜ao frontal de dois conjun- tos de gal´axias – uma “tempestade c´osmica perfeita”. Segundo um dos cientistas, “viu-se a forma¸c˜ao de um dos maiores objetos do universo”. No outro extremo deste espectro, encontramos, j´a sem surpresas, coisas como exames de DNA, que revelam as partes mais ´ınfimas de que somos feitos, ou ainda, lemos reportagens que nos preparam para um novo mundo servido por novidades da nanotecnologia.
Nanotecnologia ´e um conjunto de t´ecnicas que capacidade humana devisam a estender a manipular a mat´eria at´e os limites do ´O dom´atomo.ınio da nanotecnologia permitiria criar novos materiais eprodutos usando a capacidade da tecnologia moderna de ver e manipular Ela permitiria entre outras´atomos e mol´eculas. coisas, aumentar exponencialmente a capacidade de armazenar e processar dados dos computadores, criar novos meios de aplicar medicamentos e gerar materiais mais leves e maisresistentes do que os conhecidos.
S´o para citar dois pioneiros, Anaximandro (610 - 540 a.C.) inaugurou esse debate posicionando-se favoravelmente ao infinito: o universo cont´em uma infinidade de mundos, a dura¸c˜ao do universo ´e infinita, e assim por diante. Ele foi citado e rebatido por Arist´oteles (384 - 322 a.C.). Vocˆe deve concordar que o conjunto dos n´umeros naturais ´e, pelo menos potencialmente, infinito, no sentido que, n˜ao importa at´e quanto contamos, sempre podemos seguir adiante. Sobre isso, Arist´oteles poderia dizer que os n´umeros n˜ao s˜ao coisas que existem fora da mente humana e, portanto, n˜ao formam algo realmente infinito. Como vocˆe pode ver, a quest˜ao ´e, no m´ınimo, delicada. Mas n´os vamos nos refugiar nas ´aguas tranq¨uilas da Matem´atica. Nossa tarefa ser´a bem mais simples. Muito bem, vamos a isso!
Limites infinitos
O s´ımbolo lim x→a+^
f (x) = + ∞ ser´a usado para indicar situa¸c˜oes nas
quais os valores de f (x) tornam-se arbitrariamente grandes, na medida em que calculamos f em valores de x > a, mais e mais pr´oximos de a. Um exemplo simples dessa situa¸c˜ao ocorre nas vizinhan¸cas de zero, no caso da fun¸c˜ao f (x) =^1 x
x g(x)
- 1 − 19. 9
- 01 − 190.
- 009 − 209. 8765432
- 004 − 437. 5
- 002 − 750
- 001 −1 000 –
0
y
0.002 0.006 0.01x 0.014 0.
Figura 5. Gr´afico da fun¸c˜ao g(x) =^1 1000 −^2000 x 2 x.
A impress˜ao ´e que, ao tomarmos valores de x mais e mais perto de zero, passando de 0.1 para 0.001, os valores de f (x) se afastam de zero, na dire¸c˜ao negativa, passando de aproximadamente −20 para −1 000. Se base´assemos nosso estudo apenas nessas informa¸c˜oes, tender´ıamos a respon- der lim x→ 0 +^
g(x) = − ∞. No entanto, resta a pergunta: ter´ıamos tomado
valores de x suficientemente pr´oximos de zero para determinar o comporta- mento da fun¸c˜ao? A resposta ´e n˜ao! Veja a pr´oxima s´erie de valores assim como o gr´afico de g sobre um intervalo um pouco maior.
x g(x)
- 1 − 19. 9
- 0009 − 987. 654321
- 0006 − 555. 555556
- 00051 − 76. 893503
- 0005 0
- 0002 15 000
- 0001 80 000 –
0
500
1000
1500
y
0.002 0.006 0.01x 0.014 0.
Figura 5. Gr´afico da fun¸c˜ao g(x) =^1 1000 −^2000 x 2 x.
Vocˆe deve ter notado que os gr´aficos est˜ao com a escala de x diferente da escala de y. Caso contr´ario, n˜ao poder´ıamos interpret´a-los adequadamente.
Na verdade, o que ocorre ´e
lim x→ 0 +
1 − 2000 x 1000 x^2 =^ +^ ∞.
At´e o fim da aula vocˆe aprender´a a fazer este tipo de c´alculo. O exemplo a seguir nos reserva ainda outro tipo de surpresa.
Exemplo 5.3.
Agora, vamos estudar o lim x→ 0 +
1000 + x 8 x^2 + 0. 01.
Veja uma tabela com alguns valores de x e de h(x) = 1000 +^ x 8 x^2 + 0. 01
, assim
como o seu gr´afico, no intervalo [0. 0009 , 1].
x g(x) 10 1. 262484219 2 31. 3027179 1 124. 968789
- 2 3030. 909091
- 05 33335. 0
- 001 99920. 16387
- 0009 99935. 33190
0
20000
40000
60000
80000
y
0.2 0.4 (^) x 0.6 0. (^) Figura 5.
Gr´afico da fun¸c˜ao h(x) = 8 1000 +x (^2) + 0.^ x 01.
Novamente, uma an´alise precipitada, que levasse em conta apenas esses
dados, nos levaria a crer que (^) xlim→ 0 +
1000 + x 8 x^2 + 0. 01 = +^ ∞. Se fiz´essemos isso, estar´ıamos incorrendo em outro erro. Neste caso, a fun¸c˜ao tem limite (finito) no ponto zero. Veja o seu gr´afico numa outra perspectiva.
Isso quer dizer que a restri¸c˜ao do gr´afico de f ao intervalo (a, a + r) est´a acima da reta y = M , conforme a ilustra¸c˜ao a seguir.
Figura 5.
a a + r
M
Gr´afico de fun¸c˜ao tal que lim x → a+^ f (x) = + ∞.
Lembre-se do exemplo 5.3. Como o gr´afico de h(x) = 8 1000 +x (^2) + 0.^01 x n˜ao
ultrapassa a reta y = 100 001, o limite de h(x), quando x tende a zero, pela direita, n˜ao pode ser infinito.
Fazendo as devidas adapta¸c˜oes, obtemos as defini¸c˜oes para lim x→a+^
f (x) = − ∞, lim x→a−^
f (x) = + ∞ e lim x→a−^
f (x) = − ∞.
Veja mais um caso.
Defini¸c˜ao 2
Considere f uma fun¸c˜ao tal que, para um certo R > 0 ,
(a − R, a) ⊂ Dom(f ).
Dizemos que lim x→a−^
f (x) = − ∞
se, para cada M > 0 , existe um r > 0 (R > r > 0 ) tal que, se x ∈ (a − r, a), ent˜ao f (x) < −M.
Veja a representa¸c˜ao gr´afica desta situa¸c˜ao.
Figura 5.
a − r a
−M
Gr´afico de fun¸c˜ao tal que lim x → a−^ f (x) = − ∞.
Veja alguns exemplos.
Exemplo 5.4.
Aqui est˜ao alguns exemplos de limites infinitos.
(a) lim x→ 0 −
x
= − ∞ ; (b) lim x→ 0 −
sen x
(c) lim x→ 9 +
√^3
x − 3 =^ +^ ∞^ ;^ (d)^ xlim→ 0 +
3 x^2 + 1 (x − 1)^2 =^ +^ ∞^.
Al´em disso, se lim x→a−^
f (x) = + ∞ e lim x→a+^
f (x) = + ∞, dizemos
simplesmente que
xlim→a f^ (x)^ =^ +^ ∞.
Da mesma forma, se lim x→a−^
f (x) = − ∞ e lim x→a+^
f (x) = − ∞,
dizemos simplesmente que
xlim→a f^ (x)^ =^ − ∞.
Atividade 5.1.
Considerando o gr´afico da fun¸c˜ao f na figura a seguir, determine os limites indicados.
preciso que o limite do denominador, quando x tende a a, seja zero, e o limite do numerador seja diferente de zero. Neste caso, todo o trabalho consistir´a em fazer uma an´alise dos sinais para determinar se o limite ser´a + ∞ ou − ∞.
Come¸camos calculando o dom´ınio da fun¸c˜ao, determinando as retas can- didatas a ass´ıntotas verticais. Nesse caso, para que f esteja bem definida, ´e necess´ario que x^2 − x − 6 6 = 0. Portanto, Dom(f ) = R − { − 2 , 3 }.
Vamos estudar o comportamento de f nas vizinhan¸cas dos pontos − 2 e 3. Para isso, usaremos os limites laterais. Veja, a seguir, a an´alise dos sinais da fun¸c˜ao que est´a no denominador, y = x^2 − x − 6.
- (^) u − − − − − (^) u+ + + + + − 2 3
Muito bem, estamos preparados para calcular os limites.
(a) (^) x→−lim 2 −
2 x − 3 x^2 − x − 6 =^ − ∞. Realmente, quando x tende a −2, o numerador y = 2x − 3 tende a −6. A an´alise de sinais feita anteriormente mostra que, se x tende a −2, pela esquerda, o denominador tende a zero com sinal positivo. Assim, o limite
de f (x) =
2 x − 3 x^2 − x − 6 , quando^ x^ tende a^ −2, pela direita, ser´a^ − ∞.
(b) (^) x→−lim 2 +
2 x − 3 x^2 − x − 6 =^ +^ ∞. Neste caso, o numerador continua com o sinal negativo, mas quando x tende a 2, pela direita, o denominador tente a zero com sinal negativo, como pode ser visto na sua an´alise de sinal. Portanto, o limite de f (x) = 2 x − 3 x^2 − x − 6 , com^ x^ tendendo a^ −2 pela direita, ser´a +^ ∞.
(c) lim x→ 3 −
2 x − 3 x^2 − x − 6 =^ − ∞. Veja como a situa¸c˜ao mudou, uma vez que o limite do numerador, quando x tende a 3, ´e positivo. Quando x tende a 3, pela esquerda, o denominador tende a zero com sinal negativo. Conclu´ımos que o limite de
f (x) = 2 x^ −^3 x^2 − x − 6
, com x tendendo a 3 pela esquerda, ser´a − ∞.
(d) lim x→ 3 +
2 x − 3 x^2 − x − 6 =^ +^ ∞. Neste caso, a situa¸c˜ao do numerador n˜ao se alterou e o denominador
tende a zero com sinal positivo. O limite de f (x) = (^) x (^22) −x^ −x −^3 6 , com x
tendendo a 3 pela direita, + ∞.
Assim, o gr´afico de f tem duas ass´ıntotas verticais: x = −2 e x = 3. Veja um esbo¸co de seu gr´afico.
Figura 5.
− 2 3
Gr´afico da fun¸c˜ao f.
Aqui est´a mais um exemplo.
Exemplo 5.6.
Vamos encontrar as ass´ıntotas verticais da fun¸c˜ao
g(x) = x (x − 1)^2 (x + 2)
calculando todos os poss´ıveis limites infinitos.
Come¸camos determinando o dom´ınio da fun¸c˜ao. Essa parte ´e f´acil: o dom´ınio de g ´e o conjunto R − { − 2 , 1 }.
Agora, a an´alise do sinal da fun¸c˜ao que se encontra no denominador, y = (x − 1)^2 (x + 2).
Exemplo 5.7.
A fun¸c˜ao tangente ´e um exemplo de fun¸c˜ao que, por ser peri´odica, apre- senta uma infinidade de ass´ıntotas. Veja o seu gr´afico.
Figura 5. Gr´afico da fun¸c˜ao tangente.
Aqui est´a uma oportunidade de testar as suas habilidades. Vocˆe poder´a colocar em pr´atica as an´alises de sinais que aprendeu no Pr´e-C´alculo.
Atividade 5.2.
Seja a = (2k^ + 1)^ π 2
, tal que k ∈ Z. Fazendo a an´alise de sinais de
y = sen x e de y = cos x, numa pequena vizinhan¸ca de a, mostre que
lim x→a−^
tg x = + ∞ e lim x→a+^
tg x = − ∞.
Resumo da ´opera
Limites infinitos, com x → a, ocorrem quando h´a um quociente, com o limite do numerador sendo um n´umero diferente de zero e o limite do denominador igual a zero.
Geometricamente, esses limites correspondem `as ass´ıntotas verticais. Veja tamb´em que ´e poss´ıvel termos um dos limites laterais sendo infinito e o outro finito. Isso ´e suficiente para caracterizar uma ass´ıntota vertical.
Do ponto de vista operacional, tudo o que temos de fazer ´e uma an´alise de sinal, do tipo que vocˆe aprendeu a fazer no Pr´e-C´alculo.
O limite do numerador ´e positivo? E negativo? E o limite do denomi-´ nador vai a zero com sinal positivo? Com sinal negativo?
Os limites laterais desempenham um importante papel. Veja ainda mais um exemplo.
Exemplo 5.8.
Calcule lim x→a±
2 x + 1 x^2 − 2 x − 3
, para a = −1 e a = 3.
lim x→− 1 −
2 x + 1 x^2 − 2 x − 3
pois lim x→− 1 −^
2 x + 1 = − 1 e lim x→− 1 −^
x^2 − 2 x − 3 = 0+.
As outras respostas s˜ao:
lim x→− 1 +
2 x + 1 x^2 − 2 x − 3 =^ +∞,
lim x→ 3 −
2 x + 1 x^2 − 2 x − 3
lim x→ 3 +
2 x + 1 x^2 − 2 x − 3
Veja o gr´afico da fun¸c˜ao.
Figura 5.
− 1 3
Gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = (^) x (^2 2) −x 2 + 1x − 3.
Exerc´ıcios
- Calcule os seguintes limites:
(a) lim x→ 3 +
x + 2 x − 3 ;^ (b)^ xlim→ 1 +
x^2 − 4 x^2 − 1 ;
(c) lim x→− 1 +
x − 3) x^2 − 1
; (d) lim x→− 1 −
x^2 − 1 x + 1
(e) lim x→ 1 −
√x − 5 1 − √x ;^ (f)^ x→lim 2 / 3 +
x 2 − 3 x ;
(g) lim x→π+^
sec x ; (h) lim x→ 2 π+^
cotg x ;
(i) lim x→ 0 −
3 x 1 − ex^ ;^ (j)^ xlim→ 1 +
2 x ln x.
- Determine as ass´ıntotas verticais da fun¸c˜ao f (x) = 8 4 − x^2
, calculando
todos os seus poss´ıveis limites infinitos.
- Determine as ass´ıntotas verticais da fun¸c˜ao g(x) =
1 − x x^3 − 2 x^2 − x + 2 , calculando todos os seus poss´ıveis limites infinitos.
- Dˆe um exemplo de uma fun¸c˜ao definida em R − Z que tenha x = n como uma ass´ıntota vertical, para cada n ∈ Z.
Determine o valor de a tal que
lim x→ 1 +
x − 3 x^2 − a x + 1
