Baixe Lei de Gauss: Fluxo Elétrico e Superfícies Gaussianas e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Eletromagnetismo, somente na Docsity!
Cap´ıtulo 2
Lei de Gauss
2.1 Fluxo El´etrico
Figura 2.1: Fluxo de E constante atrav´es de A perpendicular. (Serway)
- O fluxo ΦE de um campo vetorial E~ constante per- pendicular a uma superf´ıcie A ´e definido como
ΦE = EA (2.1)
- Fluxo mede o quanto o campo atravessa a superf´ıcie. Mede densidade de linhas de campo.
Figura 2.2: Fluxo de E constante atrav´es de A formando ˆangulo θ. (Serway)
- O fluxo ΦE de E~ constante formando um ˆangulo θ com A ´e definido como
ΦE = EA cos θ = E~ · A~ (2.2)
- Mede o quanto a componente perpendicular do campo, i.e. E cos θ, atravessa a superf´ıcie A. Ou, similarmente, o quanto o campo E atravessa a com- ponente normal da ´area, i.e. A cos θ.
22 CAP´ITULO 2. LEI DE GAUSS
Figura 2.3: Fluxo el´etrico atrav´es da su- perf´ıcie A. O fluxo ´e positivo, zero e nega- tivo nos pontos 1, 2 e 3 respectivamente, de acordo com o ˆangulo θ. (Serway)
- Generalizando para um campo el´etrico qualquer e uma superf´ıcie qualquer, o fluxo el´etrico ΦAE atrav´es de A ´e definido como
ΦAE ≡
A
E^ ~ · d A~ (2.3)
onde d A~ ´e o vetor ´area perpendicular `a superf´ıcie. Novamente E~ · d A~ = E dA cos θ, onde θ ´e o ˆangulo entre E~ e d A~, conforme Fig. 2.
- Para θ < 90 o, Φ > 0, fluxo saindo.
- Para θ > 90 o, Φ < 0, fluxo entrando.
- Para θ = 90o, Φ = 0, sem fluxo.
2.2 Lei de Gauss
A Lei de Gauss relaciona o fluxo el´etrico atrav´es de uma superf´ıcie fechada A com a carga el´etrica qin dentro da superf´ıcie
ΦAE ≡
A
E^ ~ · d A~ = qin ǫ 0
(Lei de Gauss) (2.4)
A Lei de Gauss ´e uma das Eqs. de Maxwell, i.e. ´e uma lei fundamental do eletromagnetismo. Vamos mostrar que a Lei de Coulomb para cargas pontuais implica a Lei de Gauss. Nos exemplos, ser´a trivial mostrar que a Lei de Gauss implica a Lei de Coulomb e, portanto, elas s˜ao equivalentes.
Figura 2.4: A Lei de Gauss ´e verificada para uma carga pontual usando a Lei de Cou- lomb. (Halliday)
Primeiramente, considere uma carga pontual como na Fig 2.4, cujo campo el´etrico a uma distˆancia r ´e dado pela Lei de Coulomb. Considere o fluxo ΦE atrav´es de uma superf´ıcie Gaussiana esf´erica de raio r e centro na carga. Por simetria E~ ´e paralelo a d A~, e temos
ΦE =
A
E^ ~ · d A~ =
A
E dA cos 0
= E
A
dA = EA
q 4 πǫ 0 r^2
(4πr^2 ) = q ǫ 0
Portanto a Lei de Gauss ´e obtida nesse caso. Considere agora o fluxo em uma superf´ıcie qualquer. O ponto crucial ´e que o fluxo atrav´es dessa superf´ıcie ´e igual ao fluxo atrav´es da superf´ıcie esf´erica.
24 CAP´ITULO 2. LEI DE GAUSS
Figura 2.8: Fluxo por uma superf´ıcie qualquer devido a uma carga pontual. O fluxo ´e igual ao fluxo atraves de uma superf´ıcie esf´erica interna `a superf´ıcie qualquer, i.e. Φ = q/ǫ 0 , implicando a Lei de Gauss. (Young)
2.3 Condutores e Isolantes
Materiais podem ser classificados de acordo com a facilidade com que as cargas negativas (el´etrons) se movem no interior deles. Materiais que permitem que cargas se movam livremente s˜ao chamados condutores e materias que n˜ao permitem tal movimento s˜ao chamados isolantes. Exemplos de condutores sao os metais em geral, o corpo humano, ´agua com ´acido, base ou sais. Exemplos de n˜ao-condutores incluem n˜ao-metais, borracha, pl´astico, vidro e ´agua pura. Semicondutores s˜ao intermedi´arios entre condutores e isolantes, como o silicon e germˆanio em chips de computadores. Supercondutores s˜ao condutores perfeitos. Carga em excesso em um condutor sempre se acumla na sua superf´ıcie. Para mostrar isso, considere uma superf´ıcie Gaussiana dentro do condutor. O campo no interior deve ser nulo
E^ ~ = 0 (2.7)
pois, se n˜ao fosse, as cargas estariam se movendo dentro do condutor, o que n˜ao ocorre, pois elas rapidamente entram em equil´ıbrio eletrost´atico. Para que o campo seja nulo, ´e preciso que n˜ao haja carga dentro da superf´ıcie Gaussiana. Segue que toda a carga se acumula na superf´ıcie do condutor.
2.4 Exemplos
A Lei de Gauss ´e ´util em situa¸c˜oes em que a simetria permite o uso de superf´ıcies gaussianas convenientes, que facilitam a determina¸c˜ao do campo el´etrico. A seguir, alguns exemplos simples.
2.4.1 Carga Pontual: Lei de Coulomb
Considere uma carga pontual e uma superf´ıcie Gaussiana esf´erica ao seu redor.
2.4. EXEMPLOS 25
Figura 2.9: Lei de Gauss para uma carga pontual reproduz a Lei de Coulomb. (Halliday)
Por simetria E~ ´e paralelo a d A~, e temos que
∮
A
E^ ~ · d A~ =
A
E dA cos 0
= E
A
dA = EA
= E(4πr^2 )
q ǫ 0
o que implica
E =
q 4 πǫ 0 r^2
Ou seja, a Lei de Gauss reproduz a Lei de Coulomb, provando que elas s˜ao equivalentes.
2.4.2 Casca Esf´erica e Esfera S´olida
Com a Lei de Gauss, ´e trivial obter os teoremas de Newton sem calcular integrais. A ´unica coisa relevante ´e a carga interna `a superf´ıcie gaussiana. Para pontos fora da casca, uma superf´ıcie gaussiana esf´erica permite concluir que o campo da casca esf´erica ´e o mesmo de uma carga no seu centro. O mesmo vale para a esfera s´olida. J´a para pontos no interior da casca, como n˜ao h´a cargas dentro da superf´ıcie gaussiana, o campo ´e zero. Para a esfera s´olida, somente a carga interior contribui, e o campo cresce linearmente.
2.4.3 Linha de Carga Infinita
Figura 2.10: Lei de Gauss para uma linha carregada infinita. (Halliday)
Considere uma linha de carga infinita, como na Fig 2.10. Nesse caso, o problema tem simetria cil´ındrica, j´a que todos os pontos a uma distˆancia r da linha de carga s˜ao equivalentes. Considerando a superf´ıcie gaussiana mostrada na figura e aplicando a Lei de Gauss, temos ∮
A
E^ ~ · d A~ =
A
E dA = E
A
dA = EA
= E [(2πr)h]
q ǫ 0 = λh ǫ 0
Portanto
E =
λ 2 πǫ 0 r
Note que esse ´e o mesmo resultado que obtivemos integrando o campo el´etrico na linha infinita. Note ainda que a resposta n˜ao depende da altura h da superf´ıcie gaussiana, pois essa aparece tanto no fluxo quanto na carga e ´e cancelada.
