Baixe Análise do Diagrama de Bode em Sistemas LTI e outras Notas de aula em PDF para Matlab, somente na Docsity!
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Lab. 4 – Laboratório de Resposta em Frequência
1
Análise do Diagrama de Bode
Construção do Diagrama de Bode
Diagrama de Bode de uma Função Resposta em Frequência
Identificação Experimental da Função Resposta em Frequência
Método da Resposta em Frequência
Análise do Diagrama de Bode
Para construção do diagrama de Bode, é conveniente escrever a função resposta em frequência
G(j ) na forma fatorada , tal como:
(j 1 )(j 1 ) (j 1 )
(j 1 )(j 1 ) (j 1 )
G(j ) K
21 22 2 n
11 12 1 m
o
Observa-se que em (4.1), no caso de não existirem raizes em zero nos polinômios do numerador e do
denominador, Ko representará diretamente o ganho de G(j ) na frequência ω=0 , também conhecido como
ganho DC da função resposta em frequência. Uma vez que a metodologia estabelecida para o traçado do
diagrama de Bode baseia-se na respostas em frequência de cada um dos termos que compõe (4.1),
interessa-nos analisar o comportamento em frequência das três classes de termos dadas a seguir:
- (^)
K j o
- (^)
1 j 1
(4.3)
1
r
2
r
j 2
j
(4.4)
Construção do Diagrama de Bode
O Matlab possui uma função denominada bode.m para construir diagramas de Bode. Como
parâmetros de entrada desta função deve-se passar um vetor contendo os coeficientes do numerador da
função resposta em frequência e um outro vetor contendo os coeficientes do denominador da função
resposta em frequência.
Exemplo: Considere LTI representado pela seguinte função resposta em frequência:
1 Este material foi reproduzido parcialmente com base nas notas de aula do curso Análise de Sistemas de
Controle, de autoria dos professores Luís Fernando Alves Pereira e José Felipe Haffner.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
(j 1 )(j 100 )
j 10
G( j )
(^) (4.5)
Para construir o diagrama de Bode deste sistema utiliza-se o comando:
bode(num,den)
Onde
num = [1 10] é o vetor que contém os parâmetros do polinômio do numerador de (4.5), j 10
e
den = [1 101 100] é o vetor que contém os parâmetros do polinômio do denominador de (4.5), ou seja
( j 1 )(j 100 ) j 101 j 100
2 .
Fig. 4.1: Diagrama de Bode da função resposta em frequência apresentada em (4.5).
Pode-se observar que a função bode.m produz automaticamente a escala de frequência em
radianos por segundo. Eventualmente pode-se necessitar observar o comportamento da função resposta em
frequência em uma escala de frequência mais ampla que a gerada automaticamente pela função bode.m.
Como a escala de frequência geralmente abrange deste valores muito pequenos até valores elevados é usual
representá-la em escala logarítmica. Para gerar o vetor de frequências utiliza-se a função logspace.m , ou
seja:
w=logspace(-2, 4, 1000);
O comando anterior gera o vetor w, com 1000 elementos e com a faixa de frequência variando de
0.01 rad/s (
4 ). Sendo assim, os dois primeiros parâmetros da função são os
expoentes de dez e o último o número de pontos considerado.
Utilizando a função bode.m e inserindo o vetor de frequência pode-se analisar o diagrama de
Bode dentro da região especificada (0.01 rad/s até 10000 rad/s), como pode ser observado na Figura 4.2.
bode(num,den,w)
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
- Gerar o gráfico de fase (use semilogx.m )
Construir os gráficos da magnitude e de fase na mesma figura tal como a função bode.m (use
o comando subplot )
- Verificar se o script funciona corretamente ( use bode.m )
i. Observar que para classe de termos (4.3), no ponto de interseção das assíntotas de baixa
e alta frequências, as assíntotas diferem da curva real de magnitude em 3.0 dB, para o
caso das frequências onde se encontram as raízes do numerador de (4.1) (zeros da função
resposta em frequência), e em – 3.0 dB para o caso das frequências onde se encontram as
raízes do denominador de (4.1) (polos da função resposta em frequência).
ii. Observar para classe de termos (4.3), que a curva assintótica tem declividade de 45
o para
1 , e que as curvas real e assintótica diferem de +
o e – 11
o para 0. 2 e
5 respectivamente.
iii. Observar que para esta classe de termos, frequências uma década abaixo do ponto de
quebra praticamente não exercem influência nas curvas de magnitude e fase.
Fig. 4.3a: Curva de magnitude assintótica e real considerando G( j ) 10 j 1.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Fig. 4.3b: Curva de fase assintótica e real considerando G( j ) 10 j 1.
A terceira classe de termos representa as parcelas da função resposta em frequência compostas por
raízes complexas. Para análise destes termos, algumas informações serão obtidas da família de curvas
apresentadas na Figura 4.4, obtidas a partir da seguinte função de transferência de segunda ordem:
2
r r
2
2
r
(j ) 2 j
G(j )
que pode ser convenientemente rescrita na forma
j / 2 j / 1
G(s )
r
2
r
i. Verifique que em (4.7), na freqüência r
2
G( j ) .
ii. Determinar a faixa de valores de coeficiente de amortecimento em que um sinal de
entrada do tipo u( t) Asen t 1 r
, aplicado a (4.7), resultará em um sinal de saída em
regime permanente do tipo y( t) A sen( t ) 2 r
com A /A 1 2 1
. Utilizar o esquema
em Simulink proposto na Figura (4.5).
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Exemplo da Aplicação do Método :
Num sistema desconhecido foi levantada a resposta em freqüência, utilizando sinais de 1rad/s até
1000 rad/s. Alguns resultados do teste estão apresentados na Tabela 4.1.
Magnitude Fase (graus) Freqüência (rad/s)
Tab. 4.1: Alguns resultados armazenados no arquivo de dados.
A função teste2.m, cujo script é apresentado no Anexo B, implementa todas as etapas realizadas
no processo de identificação da função de transferência a partir dos dados de magnitude e de fase
obtidos empregando o método da resposta em freqüência.
1º Passo : Análise do diagrama de Bode do processo desconhecido.
Verificando o gráfico da fase na Figura 4.5 pode-se observar a presença de um pólo duplo ou um
pólo complexo na freqüência de 5 rad/s, pois a fase varia de 0º a 180º em uma década.
Fig. 4. 6 : Diagrama de Bode de um processo desconhecido.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
No gráfico de magnitude, o pico na curva de magnitude que ocorre na freqüência de 5.0 rad/s
determina que o polo é complexo e seu fator de amortecimento é calculado com base no valor do referido
pico, isto é
_G( j ) 12. 14
- 0 rad/s_
dB (4.8)
_G( j ) 18. 59
- 0 rad/s_
dB (4.9)
G 5. 0 G 1. 0 / 20
O pólo complexo pode ser representado pela seguinte função resposta em frequência
2
r r
2
2 r
r
(j ) 2 j
G(j )
Logo, a primeira aproximação da função resposta em frequência, sendo c = 5.0 rad/s e =0.24 , é
dada por:
(j ) 2. 4 j 25
G (j ) 2
1
2º Passo: Traçar o diagrama de Bode entre a diferença dos dados do processo e os dados obtidos com a
função resposta em frequência aproximada G 1 (jω).
Pela análise da Figura 4. 7 percebe-se a existência de um pólo próximo a 90 rad/s.
Logo deve-se acrecentar um pólo na função resposta em frequência aproximada. A nova função
resposta em frequência é a seguinte:
j 90
(j ) 2. 4 j 25
G (j ) 2
2
Fig. 4.7: Diagrama de Bode entre a diferença dos dados reais e os obtidos através de G 1 (jω) ..
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Fig. 4.9: Diagrama de Bode entre a diferença do processo e G 3 (jω).
Reescrevendo (4.14) obtém-se
(j 9 )(j 90 )((j ) 2. 4 j 25 )
74. 25 (j 30 )
G (j ) 2
4
A Figura 4.10 mostra que o erro entre o processo e a função resposta em frequência G 4 (jω) é
relativamente pequeno. A Figura 4.11 mostra o diagrama de Bode construido com o os dados do processo
e com G 4 (jω). Observa-se que ambas as curvas são muito semelhantes e pode-se considerar G 4 (jω) uma
boa aproximação do processo.
Fig. 4.10: Diagrama de Bode do erro entre o sistema e G 4 (jω).
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Fig. 4.11: Diagrama de Bode do sistema e da função resposta em frequência G 4 (jω).
A título de comparação e validação do método proposto para a identificação da função resposta
em frequência de sistemas LTI , é apresentado na equação (4.16) a função resposta em frequência do
sistema
(s 7 )(s 70 )(s 2 s 25 )
70 (s 20 ) G (s ) 2
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Anexo B
%1º passo:Gerar dados do sistema
%e plotar o diagrama de Bode
figure(1)
br1=conv([1 7],[1 70]);
br=conv(br1,[1 2 25]);
ar=[70 70*20];
[MAGr,PHASEr,Wr]=bode(ar,br,1:0.1:1000);
MAGdbr=20*log10(MAGr);
magmaxr=max(MAGdbr);
subplot(2,1,1)
semilogx(Wr,MAGdbr,'-r')
title('Diagrama de Bode')
text(10,-12.14,'<--- - 12.14')
text(0.35, - 18.59,'-18.59 --->')
ylabel('20log(M)')
grid
subplot(2,1,2)
semilogx(Wr,PHASEr,'-r',[5 7],[- 100 - 100],'-r',...
[7 10],[- 100 - 50],'-r')
text(10,-50,'5 rad/s')
ylabel('Fase (graus)')
xlabel('Freqüência (rad/s)')
grid
%2º passo 1º aproximação da FT
figure(2)
b1=[1 2.4 25];
a1=25;
[MAG1,PHASE1,W1]=bode(a1,b1,Wr);
MAGdb1=20*log10(MAG1);
%magmaxr=max(MAGdbr);
subplot(2,1,1)
semilogx(W1,MAGdbr-MAGdb1,....
'-r',[90 900],[- 30 - 50],'-r')
text(120,-30,'<--- 20 db/década')
title('Diagrama de Bode')
ylabel('20log(M)')
grid
subplot(2,1,2)
semilogx(W1,PHASEr-PHASE1,'-r',...
[30 300],[- 40 - 85],'-r',[10 30],[- 40 - 40],'-r',...
[300 1000],[- 85 - 85],'-r',90,-60,'ok')
text(120,-60,'<--- 45º/década')
ylabel('Fase (graus)')
xlabel('Freqüência (rad/s)')
grid
%3º passo 2º aproximação da FT
figure(3)
b2=conv([1 90],b1);
a2=90*a1;
[MAG2,PHASE2,W2]=bode(a2,b2,Wr);
MAGdb2=20*log10(MAG2);
%magmaxr=max(MAGdbr);
subplot(2,1,1)
semilogx(W2,MAGdbr-MAGdb2,'-r',...
[1 9 30 1000],[-18.90 - 18.90 - 30 - 30],'-r')
text(10,-18.9,'<--- 9 rad/s')
text(8,-30,'30 rad/s --->')
text(30,-25,'<--- 20db/década')
title('Diagrama de Bode')
ylabel('20log(M)')
grid
subplot(2,1,2)
semilogx(W2,PHASEr-PHASE2,'-r')
ylabel('Fase (graus)')
xlabel('Freqüência (rad/s)')
grid
%4º passo: 3º aproximação da FT
figure(4)
b3=conv([1 9],b2);
a3=a20.3[1 30];
[MAG3,PHASE3,W3]=bode(a3,b3,Wr);
MAGdb3=20*log10(MAG3);
%magmaxr=max(MAGdbr);
subplot(2,1,1)
semilogx(W3,MAGdbr-MAGdb3,'-r')
title('Diagrama de Bode')
ylabel('20log(M)')
grid
subplot(2,1,2)
semilogx(W3,PHASEr-PHASE3,'-r')
ylabel('Fase (graus)')
xlabel('Freqüência (rad/s)')
grid
%5º passo: Ajuste do Ganho DC da FT
figure(5)
b3=conv([1 9],b2);
a3=a20.30.11*[1 30];
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
[MAG3,PHASE3,W3]=bode(a3,b3,Wr);
MAGdb3=20*log10(MAG3);
%magmaxr=max(MAGdbr);
subplot(2,1,1)
semilogx(W3,MAGdbr-MAGdb3,'-r')
title('Diagrama de Bode')
ylabel('20log(M)')
grid
subplot(2,1,2)
semilogx(W3,PHASEr-PHASE3,'-r')
ylabel('Fase (graus)')
xlabel('Freqüência (rad/s)')
grid
%6º passo: Comparação dos resultados obtidos
figure(6)
[MAGr,PHASEr,Wr]=bode(ar,br,1:0.1:1000);
[MAG4,PHASE4,W4]=bode(a3,b3,1:0.1:1000);
MAGdbr=20*log10(MAGr);
MAGdb4=20*log10(MAG4);
subplot(2,1,1)
semilogx(Wr,MAGdbr,'-r',W4,MAGdb4,':b')
title('Diagrama de Bode')
ylabel('20log(M)')
grid
subplot(2,1,2)
semilogx(Wr,PHASEr,'-r',W4,PHASE4,':b')
ylabel('Fase (graus)')
xlabel('Freqüência (rad/s)')
grid
