ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR
PLANILHA DE CÁLCULO PARA VERIFICAÇÃO DE
PILARES DE CONCRETO ARMADO
NATAL-RN
2018
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
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Análise de Pilares de Concreto Armado: Métodos de Cálculo e Efeitos de Segunda Ordem, Slides de Cálculo
A análise de pilares de concreto armado, incluindo a determinação dos esforços de primeira e segunda ordem, a aplicação de métodos de cálculo como o pilar-padrão com curvatura e rigidez aproximadas, e o método geral acoplado a diagramas momento-curvatura. Além disso, discute os efeitos de segunda ordem local e a importância do índice de esbeltez.
O que você vai aprender
- Como calcular o máximo momento fletor de segunda ordem em pilares de concreto armado?
- Quais são os métodos de cálculo de esforços de segunda ordem em pilares de concreto armado?
- Como determinar os esforços de primeira ordem em pilares de concreto armado?
- Por que o índice de esbeltez é importante na análise de pilares de concreto armado?
- O que são os efeitos de segunda ordem local em pilares de concreto armado?
Tipologia: Slides
2022
Compartilhado em 07/11/2022
usuário desconhecido 🇧🇷
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ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR
PLANILHA DE CÁLCULO PARA VERIFICAÇÃO DE
PILARES DE CONCRETO ARMADO
NATAL-RN
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Itajá Dantas de Souza Júnior
Planilha de cálculo para verificação de pilares de concreto armado
Trabalho de conclusão de curso na modalidade
Monografia, submetido ao Departamento de
Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte como parte dos requisitos
necessários para obtenção do Título de Bacharel
em Engenharia Civil.
Orientadora: Prof. Dra. Fernanda Rodrigues
Mittelbach
Natal-RN
Itajá Dantas de Souza Júnior
Planilha de cálculo para verificação de pilares de concreto armado
Trabalho de conclusão de curso na modalidade
Monografia, submetido ao Departamento de
Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte como parte dos requisitos
necessários para obtenção do título de Bacharel em
Engenharia Civil.
Aprovado em 28 de Novembro de 2018:
___________________________________________________
Prof. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach
___________________________________________________
Prof. Dr. Rodrigo Barros
___________________________________________________
Eng. Pedro Mitzcun Coutinho
Natal-RN
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais, Itajá Dantas e Sara Joyce, que me deram a vida e os exemplos que me
formaram o caráter, a quem dedico esta conquista.
Ao meu irmão Ítalo Thales, por sempre estar presente nos momentos felizes e tristes, e
pela amizade que só existe entre irmãos.
À minha amada amiga e namorada, Luiza Leiros, por todo apoio e compreensão
durante as horas difíceis e pela adorável companhia nas horas felizes.
Aos meus amigos engenheiros Allan, Johan, Breno, Vanderson, Ewerton, Eduardo,
Amanda, Kaio, João, Paulo Henrique, Ricardo Barros, Maria Lopes e Francisco Romerito
pelo companheirismo nos momentos adversos (dos quais o curso de engenharia civil é repleto,
eles bem sabem) e pelos eventos marcantes no decorrer do curso.
Aos professores do curso de engenharia civil da UFRN, pelas valiosas lições
aprendidas ao longo deste bacharelado, particularmente à minha orientadora, Fernanda
Mittelbach, um verdadeiro anjo em forma de professora.
Ao seu Wilson Martins, da coordenação do curso, quem eu espero que esteja curtindo
sua aposentadoria.
RESUMO
Este trabalho trata do desenvolvimento de um código computacional inserido numa planilha
do Microsoft Excel. A planilha é uma ferramenta prática capaz de, conforme as prescrições da
ABNT NBR 6118:2014, resolver numericamente problemas de flexão composta oblíqua e
também determinar os esforços de segunda ordem local em pilares biapoiados de concreto
armado com índice de esbeltez não superior a 140 e f ck
até 50 MPa, com os métodos do pilar-
padrão com curvatura aproximada, pilar-padrão com rigidez 𝜅 aproximada, pilar-padrão
acoplado a diagramas momento-curvatura e método geral acoplado a diagramas momento-
curvatura. Os resultados da planilha foram validados analiticamente pela verificação manual
de uma seção de concreto armado, com uma diferença de 0,897%, e numericamente
comparando-os aos resultados do CAD/TQS (MAPE = 0, 57 %), do P-Calc (MAPE = 0,0%,
análise de seção; MAPE = 0, 60 %, método geral acoplado a diagramas momento-curvatura) e
do Oblíqua (MAPE = 5,5%).
Palavras-chave: Pilares. Concreto armado. Flexão composta oblíqua. Análise de
segunda ordem.
ABSTRACT
This paper describes the development of a computer code inserted into a Microsoft Excel
workbook. The workbook is a practical tool able to, according to the ABNT NBR 6118:
prescriptions, numerically solve biaxial bending problems and also evaluate the additional
second-order loads in hinge-hinge columns of reinforced concrete whose slenderness ratio is
not greater than 140 and a f ck
not greater than 50 MPa, using the following methods: model
column with approximate curvature, model column with κ approximate rigidity, model
column with moment-curvature diagrams and general method with moment-curvature
diagrams. The results of the workbook were validated analytically by manually verifying a
reinforced concrete cross-section, with a difference of 0,897%, and numerically by comparing
these results to the CAD/TQS’s (MAPE = 0,57%), P-Calc’s (MAPE = 0,0%, cross-section
verification; MAPE = 0, 60 %, general method with moment-curvature diagrams) and
Oblíqua’s (MAPE = 5,5%) results.
Palavras-chave: Columns. Reinforced Concrete. Biaxial bending. Second order analysis.
Figura 32 – Envoltória resistente calculada pela planilha de cálculo com indicação dos pontos.
Figura 33 – Seção genérica. ...................................................................................................... 54
Figura 34 – Seção, comprimento equivalente e esforços atuantes no pilar. ............................. 55
Figura 35 – Envoltória resistente. ............................................................................................. 58
ÍNDICE DE TABELAS
SUMÁRIO
Índice de esbeltez limite λ 1
- Figura 1 – Momentos e excentricidades iniciais no topo e na base do tramo.
- Figura 2 – Aproximação em apoios extremos.
- Figura 3 – Excentricidades de forma.
- Figura 4 – Excentricidade de forma absorvida por viga.
- Figura 5 – Imperfeições geométricas globais.
- Figura 6 – Excentricidade acidental por imperfeições local.....................................................
- Figura 7 – Envoltória mínima de primeira ordem.
- Figura 8 – Envoltória mínima de segunda ordem.
- Figura 9 – Diagrama de tensão-deformação do concreto submetido à compressão.
- Figura 10 – Diagrama de tensão-deformação do aço.
- Figura 12 – Seção de concreto armado no domínio 4.
- Figura 13 – Seção de concreto armado.
- Figura 14 – Intervalo de iteração contendo a posição da linha neutra.
- Figura 15 – Diagrama de interação de uma seção de concreto armado.
- Figura 16 – Metodologia de solução numérica da planilha.
- Figura 17 – Momentos de primeira e segunda ordem num pilar em balanço.
- Figura 18 – Pilar biapoiado submetido a um carregamento.
- Figura 19 – Esforços num elemento infinitesimal de barra.
- Figura 20 – Relação momento-curvatura.
- Figura 21 – Determinação do comprimento equivalente de flambagem.
- Figura 22 – Entrada de dados.
- Figura 23 – Entrada de dados: geometria, esforços e parâmetros de segunda ordem.
- Figura 24 – Entrada de dados: características dos materiais e detalhamento da armadura.
- Figura 25 – Saída de dados.
- Figura 26 – Saída de dados: resistência da seção.
- Figura 27 – Saída de dados: resistência da seção.
- Figura 28 – Saída de dados: envoltória resistente.
- Figura 29 – Seção em análise.
- Figura 30 – Equilíbrio da seção no ELU.
- Figura 31 – Seção submetida a flexão composta oblíqua.
- Tabela 1 – Momentos Resistentes Calculados, em kNm..........................................................
- Tabela 2 – Diferenças nos momentos calculados.
- Tabela 3 – Comparações entre momentos resistentes calculados na planilha e no TQS.
- Tabela 4 – Comparações entre momentos calculados na planilha e no P-Calc.
- Tabela 5 – Comparações entre momentos calculados na planilha e no P-Calc.
- Tabela 6 – Resumo dos resultados da análise de 2ª ordem local.
- 1 INTRODUÇÃO
- 1.1 Considerações iniciais
- 1.2 Excentricidades nos pilares...........................................................................................
- Excentricidade inicial
- Excentricidade de forma
- Excentricidade acidental
- Momento mínimo de primeira ordem
- Excentricidade de segunda ordem
- Excentricidade suplementar de fluência
- Resumo das excentricidades
- 1.3 Objetivos
- Geral
- Específicos
- ESTADO-LIMITE ÚLTIMO 2 SEÇÕES DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À FLEXOCOMPRESSÃO EM
- 2.1 Hipóteses básicas
- 2.2 Diagramas de tensão-deformação
- 2.3 Domínios de estado-limite último
- 2.4 Deformação num ponto qualquer da seção transversal
- 2.5 Resistência à flexão da seção transversal
- 2.6 Metodologia de solução numérica da planilha de cálculo
- 3 ANÁLISE DA SEGUNDA ORDEM LOCAL EM PILARES
- 3.1 Equação diferencial do equilíbrio de um pilar sem carregamentos transversais
- Solução analítica da equação diferencial do equilíbrio
- 3.2 Pilar-Padrão
- 3.3 Rigidez e relações momento-curvatura
- 3.4 Índice de esbeltez 𝝀
- 3.5 Métodos de determinação dos efeitos de segunda ordem local
- Método do pilar-padrão com curvatura aproximada
- Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada
- Método do pilar-padrão acoplado a diagramas momento-curvatura
- Método geral acoplado a diagramas momento-curvatura
- Resumo dos métodos
- 4 FUNCIONAMENTO DA PLANILHA DE CÁLCULO
- 4.1 Entrada de dados
- 4.2 Saída de dados
- 5 VALIDAÇÃO DA PLANILHA DE CÁLCULO
- 5.1 Verificação de seção
- Verificação analítica da resistência a flexão normal simples
- Verificação da resistência a flexão composta oblíqua
- comparação ao CAD/TQS Verificação da resistência de uma seção submetida a flexão composta normal em
- 5.2 Determinação dos esforços de segunda ordem local
- Pilar-padrão com curvatura aproximada
- Pilar-padrão com rigidez 𝜿 aproximada
- Método do pilar-padrão acoplado a diagramas momento-curvatura
- Método geral acoplado a diagramas momento-curvatura
- Resumo dos resultados
- 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
- 7 REFERÊNCIAS
centro geométrico da seção. De acordo com Carvalho e Pinheiro (2009), as excentricidades
atuantes nos pilares são divididas em:
Excentricidade inicial;
Excentricidade de forma;
Excentricidade acidental;
Excentricidade de segunda ordem;
Excentricidade suplementar de fluência.
Excentricidade inicial
A excentricidade inicial é resultado do engastamento parcial entre pilar e viga,
particularmente em pilares de borda e de canto. A ligação monolítica transfere momentos
fletores ao pilar, originando a excentricidade inicial. A excentricidade inicial do esforço
normal atuante (𝑒
𝑖
) é determinada pela equação 1 , onde 𝑀 é o momento fletor transferido ao
pilar e 𝑁 é o esforço normal no pilar.
𝑖
Convém mencionar que a excentricidade inicial usualmente tem valores distintos no
topo e na base do tramo considerado (figura 1 ) e também nas das direções 𝑥 e 𝑦.
Figura 1 – Momentos e excentricidades iniciais no topo e na base do tramo.
Fonte: Scadelai, 2004, p. 34.
A NBR 6118/14, no item 14.6.6, permite uma simplificação do cálculo da influência
da solidariedade dos pilares extremos com uma viga contínua, conforme as equações 2 a 4 e a
figura 2 :
Na extremidade da viga:
𝑣𝑖𝑔𝑎
𝑒𝑛𝑔
𝑖𝑛𝑓
𝑠𝑢𝑝
𝑖𝑛𝑓
𝑠𝑢𝑝
𝑣𝑖𝑔𝑎
No tramo superior do pilar:
𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟,𝑠𝑢𝑝
𝑒𝑛𝑔
𝑠𝑢𝑝
𝑖𝑛𝑓
𝑠𝑢𝑝
𝑣𝑖𝑔𝑎
No tramo inferior do pilar:
𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟,𝑖𝑛𝑓
𝑒𝑛𝑔
𝑠𝑢𝑝
𝑖𝑛𝑓
𝑠𝑢𝑝
𝑣𝑖𝑔𝑎
Onde: 𝑟 𝑖
𝑖
𝑖
, sendo 𝐼
𝑖
o momento de inércia do elemento 𝑖 e 𝑙
𝑖
o seu comprimento,
conforme a figura 2.
𝑒𝑛𝑔
é o momento de engastamento perfeito da ligação viga contínua-pilar extremo;
𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟,𝑠𝑢𝑝
é o momento na extremidade inferior do pilar superior;
𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟,𝑖𝑛𝑓
é o momento na extremidade superior do pilar inferior;
𝑣𝑖𝑔𝑎
é o momento na extremidade da viga;
Figura 2 – Aproximação em apoios extremos.
Fonte: ABNT, 2014, p. 94.
Excentricidade de forma
Nos projetos estruturais de edifícios, devido a necessidades arquitetônicas, é comum
que o eixo da viga se desencontre do eixo baricêntrico do pilar no qual se apoia, como
ilustrado na figura 3. Nessas situações, a reação da viga apresenta uma excentricidade em
relação ao centro do pilar: a excentricidade de forma.
estrutura. Essas imperfeições são classificadas em dois grupos: imperfeições globais e
imperfeições locais.
a) Imperfeições globais
A análise global das estruturas reticuladas, contraventadas ou não, deve sempre
considerar um desaprumo dos elementos verticais, conforme a figura 5.
Figura 5 – Imperfeições geométricas globais.
Fonte: ANBT, 2014, p. 59.
O ângulo de desaprumo, 𝜃
𝑎
, pode ser avaliado pela equação 5 :
𝑎
1
1
Onde: 𝜃 1 𝑚í𝑛
vale 1/300 para estruturas reticuladas e imperfeições locais;
1 𝑚á𝑥
vale 1/ 2 00 para estruturas reticuladas e imperfeições locais;
𝐻 é a altura total da edificação (para imperfeições globais) ou a altura do lance do
pilar (para imperfeições locais), em metros;
𝑛 é o número de prumadas de pilares no pórtico plano.
Em pilares isolados em balanço, considera-se 𝜃
1
= 1 / 200 , e se o edifício tiver
predominância de lajes lisas ou lajes cogumelo, adota-se 𝜃 𝑎
1
As ações de vento também devem ser consideradas no cálculo das imperfeições
globais, de acordo com os seguintes critérios:
i. Se 30% da ação do vento for maior que a ação total do desaprumo, considera-
se somente a ação do vento.
ii. Se 30% da ação do desaprumo for maior que a ação total do vento, considera-
se somente a ação do desaprumo, respeitando-se a consideração de 𝜃
1 𝑚í𝑛
iii. Nos demais casos, as ações de vento e desaprumo devem ser combinadas, sem
a necessidade da consideração do 𝜃
1 𝑚í𝑛
b) Imperfeições locais
Imperfeições locais produzem uma excentricidade que é calculada para apenas um
lance de pilar. São considerados, nesse caso, o efeito do desaprumo do pilar e o efeito da falta
de retilineidade no pilar, conforme a figura 6.
Figura 6 – Excentricidade acidental por imperfeições local.
Fonte: Adaptado da ABNT, 201 4 , p. 60.
O ângulo 𝜃
1
pode ser avaliado pela equação 6 , e a NBR 6118/14 sugere que nos casos
usuais de estruturas reticuladas a análise das imperfeições locais pode prescindir da
verificação de desaprumo, considerando-se somente os efeitos da falta de retilineidade.
Momento mínimo de primeira ordem
A NBR 6118/14 permite, para estruturas reticuladas, que o efeito das imperfeições
locais seja substituído pela consideração de um momento mínimo de primeira ordem:
1 𝑑,𝑚í𝑛
𝑑
Onde ℎ é a altura da seção transversal na direção considerada, em metros.
O momento mínimo de primeira ordem pode ser convenientemente expresso em
termos de uma excentricidade mínima de acordo com a equação 8 :
1 𝑑,𝑚í𝑛