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ISAAC NEWTON (1642 – 1727)
Naturalis Principia Mathematica
- Autor das leis conhecidas
atualmente como 3 Leis de
Newton.
Kepler, Galileu, Copérnico e
Descartes.
existência de átomos e do
espaço vazio. Por isso, a
posição de Descartes era sua
principal adversária.
- Em 1665, graduou-se como bacharel na Universidade de Cambridge.
- Em seguida, volta para sua cidade natal devido a uma terrível peste que atacou Londres, matando um grande número de pessoas.
- Newton passa os dois anos seguintes na fazenda de sua família. Assim, em 1666, aos 24 anos, ele já havia desenvolvido (de acordo com vários historiadores):
1-) seu teorema do binômio;
2-) sua fórmula de interpolação;
3-) um esboço medianamente completo do cálculo de fluxões, que viria a ser o cálculo infinitesimal (cálculo diferencial e integral);
4-) pesquisas sobre a natureza da luz (decomposição da luz branca);
5-) uma formulação provisória de sua teoria da gravitação, pelo menos como uma hipótese de trabalho razoável.
OS “PRINCIPIA” DE NEWTON
- Livro 1: leis gerais do movimento dos corpos sujeitos à ação de forças centrais. Aborda o movimento de um ou dois corpos no vazio e o problema de três corpos. (Problema de três corpos foi mal resolvido por Newton. Não é tão simples quanto parece. Em 1885, Poincaré mostra que o problema de três corpos pode apresentar caos.)
- Livro 2: estudo do movimento nos meios resistivos; dependência da resistência com a velocidade; fundamentos da hidrostática e corpos flutuantes; movimento do pêndulo (fundamental para a compreensão de forças centrais e, consequentemente, do movimento dos planetas ao redor do Sol); movimento de líquidos em tubos e movimento de projéteis.
- Livro 3: o sistema de mundo, ou seja, o movimento dos planetas, o movimento da Lua e suas anomalias, a aceleração da força gravitacional, o problema das marés, etc.
- Segundo Newton, corpos lançados no ar não sofrem
nenhuma resistência além do ar. Retirando-se o ar (vácuo), a
resistência cessa e nesse vazio todos os corpos descem com a
mesma velocidade.
- Ele aplicava o mesmo argumento aos espaços celestiais
(acima da atmosfera da Terra). Dessa forma, os planetas e
cometas prosseguem constantemente suas revoluções em
órbitas dadas em espécie e posição, de acordo com as leis da
gravitação.
- Newton relacionava a força da gravidade com a massa dos
corpos e afirmava que essa força se propaga em todos os lados
a imensas distâncias, decrescendo sempre com o quadrado
das distâncias. Ele também percebeu que a força gravitacional
agia como se toda a massa dos corpos estivesse concentrada
em seu centro.
AS TRÊS LEIS DE NEWTON
- Nos Principia, Newton apresenta os princípios fundamentais da dinâmica, que hoje são conhecidos como as Três Leis de Newton:
- 1ª Lei de Newton (Lei da Inércia): Todo corpo persiste em seu estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme, a menos que seja compelido a modificar esse estado pela ação de forças impressas sobre ele.
- 2ª Lei de Newton (Relação entre força e momento linear): A variação temporal do momento linear é proporcional à força impressa (força resultante sobre o corpo) e tem a direção e o sentido da força. Isso significa que força e momento são grandezas vetoriais, isto é, possuem módulo, direção e sentido.
- 3ª Lei de Newton (Ação e reação): A toda ação corresponde uma reação igual e contrária. As ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais em módulo e dirigidas em sentidos opostos.
(quando a massa do corpo é constante)
dp F F ma dt
FORÇA CENTRAL E 2 ª LEI DE KEPLER
- A partir das duas primeiras leis de Kepler (Lei das
Órbitas e Lei das Áreas), Newton intuiu que o Sol deveria
ser responsável por algum tipo de ação mais direta sobre
os planetas.
- Pela 1ª Lei de Kepler, os planetas moviam-se em órbitas
elípticas. Isso significava, utilizando a 1ª Lei de Newton,
que alguma força era aplicada sobre o planeta para
desviá-lo da reta.
- Logo, os planetas estavam sendo continuamente
acelerados. Pela 2ª Lei de Newton, deveria haver uma
força na direção da aceleração. Mas qual seria esta força?
- As hipóteses de Newton precisavam concordar com os resultados encontrados por Kepler.
- Newton demonstrou que um corpo sujeito a uma força central obedece à 2ª e à 3ª Leis de Kepler.
- Mas o que é uma força central? É uma força dirigida para o centro.
- Vários tipos de trajetória são possíveis de acordo com a velocidade e a posição iniciais do corpo: queda em direção ao centro (corpos em queda livre, lançamento oblíquo de projéteis, etc.), circunferência (figura ao lado), elipse (órbita dos plane- tas), parábola (alguns asteroides) e hipér- bole (órbita de corpos muito rápidos), etc.
- Em um MCU (figura ao lado), a velocidade do corpo é perpendicular à força central em todos os instantes.
http://osfundamentosdafisica.blogsp ot.com.br/2013/09/cursos-do-blog- mecanica_23.html
PRINCÍPIO DA
GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
- Corpo de massa m em órbita circular de raio R em torno do corpo de massa M. A força de atração gravitacional F que atua sobre o corpo de massa m é do tipo centrípeta.
Luis Gregório Dias da Silva (IFUSP), Notas de aula de Gravitação (2014)
- Pela 2ª Lei de Newton tem-se:
- Pela 3ª Lei de Kepler (Lei dos períodos), tem-se:
onde C tem o mesmo valor para todos os planetas.
- Combinando as duas expressões obtemos:
- Logo, a 3ª Lei de Kepler leva à conclusão de que a força gravitacional varia inversamente com o quadrado da distância do planeta ao Sol.
2 | (^) c | | (^) c | (^42)
R F m a m T
3 2 const.
R C T
2 | (^) c | (^42)
m F C R
- Vemos também que a força gravitacional é proporcional à massa
m do planeta.
- Pela 3ª Lei de Newton, o planeta exerce uma força igual em módulo e com sentido contrário sobre o Sol. A força exercida
sobre o Sol será proporcional à massa M do Sol.
- Dessa forma, Newton foi levado à seguinte expressão para a força de atração gravitacional :
onde G seria agora uma “constante universal” característica da força gravitacional.
- Esta é a Lei de Newton da Gravitação , também conhecida como Princípio da Gravitação Universal.
- Exercício: Refaça a demonstração procurando compreender
todas as etapas. Quanto vale C , a constante da 3ª Lei de Kepler?
grav 2
mM F G R
QUE VALOR DE R UTILIZAR?
- Lei de Newton da Gravitação:
- Newton não conhecia o valor de G nem as massas dos planetas, da Lua ou do Sol.
- Outra dificuldade bastante séria era saber que valor de R poderia ser utilizado na expressão acima. Por exemplo, no caso da atração gravitacional entre a Terra e um corpo próximo à sua superfície, parte da Terra está bem próxima ao corpo enquanto outras partes estão a grandes distâncias do mesmo.
- Newton afirmava que para efeito do cálculo da força gravitacional, pode-se considerar toda a massa concentrada no centro dos corpos.
- Dessa forma, quando os corpos possuem densidades homogêneas, considera-se R como sendo a distância entre seus centros.
1 2 grav 2
m m F G R
ÓRBITA DA LUA EM TORNO DA TERRA
- Depois de inferir a forma de sua força gravitacional, Newton
precisava testá-la e compará-la com resultados conhecidos.
- Um dos testes foi feito para explicar o movimento da Lua
em órbita em torno da Terra.
- Há muito tempo conhecia-se o período de translação da
Lua em torno da Terra: TL = 27,3 dias.
- Dessa forma, Newton utilizou sua expressão da Lei da
Gravitação para calcular o período de translação da Lua:
- onde mT é a massa da Terra, mL é a massa da Lua e RTL é a
distância entre os centros da Terra e da Lua.
2
T L TL TL
m m F G R
- A órbita da Lua em torno da Terra é praticamente circular. Portanto, podemos estudá-la como um movimento circular uniforme e valem as fórmulas apresentadas nos slides anteriores para a força e a aceleração centrípetas:
- A força centrípeta é provocada pela força de atração gravitacional entre a Terra e a Lua:
- Logo, o período de translação da Lua ao redor da Terra será
2 2 2 c L c L L TL L TL L
F m a m R m R T
2 2 2
T^2 TL c L L TL TL L
R F F gm m R R T
(^)
2 3 TL L T
R T R g
- Nessa expressão, todas as grandezas eram conhecidas à
época de Newton: o valor de g foi determinado por Galileu, RT
era conhecido desde Eratóstenes e RTL foi determinado por
Hiparco:
- Utilizando esses valores, Newton obteve TL = 27,3 dias,
reproduzindo o valor já conhecido.
Exercício: Refaça os cálculos e verifique o resultado.
- Este resultado foi um dos primeiros a confirmar a validade
do Princípio da Atração Gravitacional de Newton.
- Além disso, ele confirma a hipótese de que a queda da
maçã e o movimento da Lua têm a mesma origem.
9,8 / 2 ; 6400 ; 60 6400 g m s RT km RTL km
