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3 Problemas de Transporte
A estrutura de um modelo de problemas de transporte pode ser vista na seguinte perspectiva:
Uma empresa que possui fábricas localizadas em algumas cidades e depósitos em outras. A empresa deve determinar um programa de transporte de seus produtos de forma a satisfazer a procura destes e minimizar os seus gastos mas respeitando a capacidade das fábricas e dos depósitos (transporte directo).
Os problemas de transporte são um caso particular dos problemas de programação linear, e em especial da programação linear inteira, porque o número de unidades a transportar de uma fábrica (local) para a loja (outro local) deve ser um número inteiro.
O modelo geral dos problema de transporte pode ser formulado assim:
Onde xij – é a quantidade transportada de origem i para o destino j; cij – é o custo de transporte de uma unidade de ai para bj; ai – é a quantidade disponível na origem i (oferta); bj – é a quantidade necessária no destino j (procura)
3.1 Resolução do Problema de Transporte
A obtenção de uma SBA inicial pode ser feita usando os seguintes métodos:
- Método do canto noroeste- NWC;
- Método do mínimo da matriz de custos;
- Método de Vogel-VAM.
3.1.1 Método de Canto Noroeste
Para encontrar a primeira aproximação de um problema de transporte pelo Método de Canto Noroeste (NWC = NorthWest Corner) é necessário seguir os seguintes passos:
Passo 1. Começar por colocar a quantidade necessária no canto noroeste, na posição x 11 , com uma alocação suficientemente grande.
Passo 2. Ajustar a linha ou coluna satisfeita com zero e simultaneamente passar a coluna ou linha seguinte:
Passo 3. Repetir os passos 1 e 2 até completar o preenchimento de quadro, obtendo-se assim a solução inicial (primeira aproximação), tendo em conta que:
3.1.2 Método de custo mínimo (lucro máximo)
O método de custo mínimo (lucro máximo), pode ser aplicado para procurar uma solução inicial viável de menor custo ou maior lucro. O procedimento do método é seguinte:
Passo 1. Começar por colocar o máximo possível à célula ou variável de menor custo unitário (maior lucro) e colocar zero nas células da linha ou coluna satisfeita.
Passo 2. Ajustar os elementos ou a quantidade que resta na linha ou coluna não ajustada, a partir da variável com menor custo (maior lucro).
Passo 3. Repetir o processo para as variáveis com outros custos na ordem crescente (decrescente) até completar o preenchimento do quadro.
3.1.3 Método de Vogel
O método de aproximação de Vogel (VAM – Vogel’s Approximation Method) é uma versão desenvolvida do método do custo mínimo, geralmente este método produz uma melhor solução inicial em relação ao método do canto noroeste.
O método de aproximação de Vogel, baseia-se na comparação dos custos (lucros), calculando resíduos ou penalidades em cada linha e em cada coluna da matriz. O procedimento para a determinação da solução inicial pelo método de aproximação de Vogel está resumido nos passos:
Passo 1. Para cada linha e coluna da tabela do problema de transporte, determinar a diferença positiva entre o menor custo unitário na linha e coluna e o imediatamente superior custo unitário. Se o problema é de maximização a diferença é calculada para os dois primeiros lucros unitários máximos. (O valor da diferença é o custo de oportunidade por não ter usado a melhor rota).
Passo 2. Identificar a linha ou coluna com o maior custo de oportunidade “penalidade”.
Passo 3. Na linha ou coluna escolhida, colocar o máximo possível para a variável com o menor custo unitário (maior lucro unitário para os problemas de maximização).
Passo 4. Eliminar a linha ou coluna que estiver completamente satisfeita depois desta alocação. A eliminação é feita colocando X’s nas células que não devem participar mais nos próximos cálculos das penalidades.
Passo 5. Repetir os passos 1, 2, 3 e 4 até que a solução inicial seja obtida.
Exercícios
Exercício Nr 3.1- Uma empresa transportadora é alugada para levar artigos de três fábricas U1, U2 e U3 para 2 armazéns V1 e V 2 de onde são vendidos para os clientes a porta. O custo de transporte de uma carrada está indicado por cada rota, bem como a capacidade das fábricas (Oferta) e dos armazéns (Demanda). a) Formule o problema em termos de programação linear. b) Aplique o método conveniente para determinar as quantidades que devem ser transportadas de cada fábrica para cada armazém para que a empresa transportadora minimize o seu custo. Teste a optimidade da solução obtida.
Exercício Nr 3.2- Uma empresa possui 2 armazéns onde dispõe de 15, 25 toneladas de arroz. Estes armazéns abastecem 3 cidades que necessitam respectivamente de 20, 10, 10 toneladas de arroz. Considere o quadro seguinte onde se apresentam os custos de transportes em mil meticais por tonelada. Cidade1 Cidade2 Cidade Armaz1^10 3 Armaz2 12 7 9 a) Use o método de NWC e de VAM para obter a primeira aproximação de solução. b) Verifique se a distribuição “a” é óptima, caso contrário optimize-a. c) Resolva o mesmo problema (Nr 3.2), mas agora suponha que a matriz dos custos representa lucros e procure maximizar o lucro total.
Exercício Nr 3.3- Uma empresa tem 3 fábricas a produzir um dado produto que deve ser depois transportado para 2 centros de distribuição. As fábricas (1, 2 e 3) produzem 50, 40 e 10 unidades por mês, respectivamente. Os centros de distribuição (1 e 2) necessitam de receber 20 e 60 unidades por mês, respectivamente. Os custos unitários de transporte (em K u.m.) são dados no quadro: Centro1 Centro Fábrica1 1 3 Fábrica2 4 5 Fábrica3^6 (a) Formule o problema em termos de programação linear. (b) Formule o problema dual do precedente. (c) Resolva o problema, calculando a solução básica admissível inicial através do método: i) do “canto noroeste”; ii) do “mínimo da matriz de custos”; iii) das “penalidades”. (d) Teste a optimidade da solução obtida pelo método do “ custo mínimo”, caso não seja óptima realize todas iterações necessárias até obter a solução óptima.
Exercício Nr 3.4- Considere o seguinte problema de maximização do lucro das modistas que recebem requisisões de clientes que pretendem um novo tipo de vestido para o verão. Os lucros unitários de cada vestido produzido pela modista i quando comprados estão no quadro.
Tamanho do Vestido: (^1 2 3) Tamanho Quantidade : (^40 20 30) Modista 1 2 3 Modista (i) : 1 2 1 6.0 3.0 2. Quantidade : 40 30 2 3.0 5.0 1. Determinar o plano óptimo de modo que as modistas tenham o máximo lucro possível.
Exercício Nr 3.5- Três reservatórios, com capacidades diárias de 15, 20 e 25 milhões de litros de água, abastecem 4 cidades com consumos diários de 8, 10, 12 e 15 milhões de litros de água. O custo de abastecimento, por milhão de litros (em K$), é apresentado na tabela sguinte: Cidades A B C D R1 2 3 4 5 Reservatórios R2^3 2 5 R3 4 1 2 3 O problema consiste em determinar a política de abastecimento óptima (aquela com menor custo).
a)Formule o problema em termos de PL.
b)Formule o problema como um problema de transportes e resolva-o usando
o respectivo algoritmo.
c)Teste a optimilidade de solução.
d)Por razões de mercado, o reservatório R2 não abastece a cidade C, formule como um problema de transportes e resolva-o.
Exercício Nr 3.6- Considere o seguinte problema de maximização do lucro de uma empresa que
foi alugada para transportar 65 caixas de sabao bingo para quatro distritos localizados na
provincia de Gaza.
Local1 Local2 Local3 Local4 Disponibilidfades Origem1 15 13 23 22 25 Origem2 23 16 31 13 11 Origem3 18 15 29 19 15 Origem4^12 23 15 16 Necessidades 25 14 12 14 65 a)Usando o método do canto NW encontre a primeira aproximação de solução.
b)Usando o método de Vogal encontre a primeira aproximação de solução.
c)Teste a optimidade da solução ” b ” caso não seja óptima realize todas iterações necessárias
até obter a solução óptima.
