Análise numérica e métodos para resolução de problemas matemáticos, Manuais, Projetos, Pesquisas de Cálculo Numérico

Baixe Análise numérica e métodos para resolução de problemas matemáticos e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Cálculo Numérico, somente na Docsity!

Ad´erito Lu´ıs Martins Ara´ujo

An´alise Num´erica

Engenharias Mecˆanica e de Materiais

F.C.T.U.C.

Cap´ıtulo 1

Preliminares

1.1 Introdu¸c˜ao

A an´alise num´erica ´e a disciplina da matem´atica que se ocupa da elabora¸c˜ao e estudo de m´etodos que permitem obter, de forma efectiva, solu¸c˜oes num´ericas para problemas matem´a- ticos, quando por uma qualquer raz˜ao n˜ao podemos ou n˜ao desejamos usar m´etodos anal´ıticos. Para perceber melhor o que se pretende dizer por de forma efectiva, consideremos o problema do c´alculo do determinante. Como ´e sabido (ser´a?), o determinante de uma matriz quadrada A = (aij )ni,j=1 ´e dado pela express˜ao

det (A) =

∑ ±a 1 i 1 · · · anin ,

onde a soma ´e efectuada sobre todas as n! permuta¸c˜oes (i 1 ,... , in) dos n´umeros 1, 2 ,... , n. Esta f´ormula te´orica s´o permite o c´alculo ef ectivo do determinante se a dimens˜ao da matriz for muito pequena. Por exemplo, se n = 25 o n´umero de permuta¸c˜oes poss´ıveis ´e superior a 15 quatrili˜oes (como ´e que se escreve este n´umero?)! Se possuirmos uma m´aquina que calcule cada termo da express˜ao anterior num bilion´esimo de segundo (coisa que nem remotamente os actuais computadores conseguem fazer), para calcular todas as parcelas necessitamos de 15 bili˜oes (como ´e que se escreve este n´umero?) de segundos, ou seja 400.000 anos!

Os problemas que a an´alise num´erica pretende dar solu¸c˜ao s˜ao geralmente origin´arios das ciˆencias naturais e sociais, da engenharia, das finan¸cas, e, como foi dito, n˜ao podem, geralmente, ser resolvidos por processos anal´ıticos.

Exemplo 1.1 (Lei da gravita¸c˜ao universal) Um dos primeiros e mais importantes modelos matem´aticos para problemas da f´ısica foi dado por Newton para descrever o efeito da gravidade. De acordo com esse modelo, a for¸ca da gravidade exercida pela Terra num corpo de massa m tem a magnitude

F = G m × mt d^2

onde mt ´e a massa da Terra, d a distˆancia entre os centros dos dois corpos e G a constante de gravita¸c˜ao universal.

O modelo de Newton para a gravita¸c˜ao universal conduziu a ciˆencia `a formula¸c˜ao de muitos problemas cuja solu¸c˜ao s´o pode ser obtida de forma aproximada, usualmente envolvendo a solu¸c˜ao num´erica de equa¸c˜oes diferenciais.

Exerc´ıcio 1.1.1 A equa¸c˜ao do segundo grau ax^2 + bx + c = 0 ´e usualmente resolvida pelas f´ormulas

x 1 =

−b +

b^2 − 4 ac 2 a , x 2 =

−b −

b^2 − 4 ac 2 a

1. Prove que uma solu¸c˜ao alternativa ´e dada por

x 1 =

2 c −b −

b^2 − 4 ac

, x 2 =

2 c −b +

b^2 − 4 ac

2. Escreva um programa de computador que resolva equa¸c˜oes de segundo grau de duas manei- ras distintas: (i) usando as f´ormulas (1.1); (ii) calculando uma raiz pela f´ormula de (1.1) em que n˜ao se subtraem n´umeros do mesmo sinal e a outra raiz pela f´ormula de (1.2) adequada.
3. Execute o programa constru´ıdo em 2. quando: (i) a = 1. 0 , b = − 5. 0 , c = 6. 0 ; (ii) a = 1. 0 , b = 12345678. 03 , c = 0. 92.

1.2 Breve referˆencia hist´orica

Os algoritmos num´ericos s˜ao quase t˜ao antigos quanto a civiliza¸c˜ao humana. Os babil´onios, vinte s´eculos antes de Cristo, j´a possuiam tabelas de quadrados de todos os inteiros entre 1 e 60. Os eg´ıpcios, que j´a usavam frac¸c˜oes, inventaram o chamado ’m´etodo da falsa posi¸c˜ao’ para aproximar as ra´ızes de uma equa¸c˜ao. Esse m´etodo encontra-se descrito no papiro de Rhind (cerca de 1650 anos antes da era crist˜a). Na Gr´ecia antiga muitos foram os matem´aticos que deram contributos para o impulso desta disciplina. Por exemplo, Arquimedes de Siracusa (278-212, a.C.) mostrou que

< π < 3

e apresentou o chamado m´etodo da exaust˜ao para calcular comprimentos, ´areas e volumes de figuras geom´etricas. Este m´etodo, quando usado como m´etodo para calcular aproxima¸c˜oes, est´a muito pr´oximo do que hoje se faz em an´alise num´erica; por outro lado, foi tamb´em um importante precursor do desenvolvimento do c´alculo integral por Isaac Newton (1643-1729) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Heron, o velho, no s´eculo I a.C., deduziu um procedimento para determinar

a da forma (ser´as capaz de deduzir este m´etodo?)

1 2

( xn + a xn

) .

No ano 250 da nossa era, Diofanto obteve um processo para a determina¸c˜ao das solu¸c˜oes de uma equa¸c˜ao quadr´atica. Durante a Idade M´edia, os grandes contributos para o desenvolvimento da matem´atica algor´ıtmica vieram, sobretudo, do m´edio oriente, ´India e China. O contributo maior foi, sem d´uvida, a simplifica¸c˜ao introduzida com a chamada numera¸c˜ao hindu-´arabe. O aparecimento do c´alculo e a cria¸c˜ao dos logaritmos, no s´eculo XVII, vieram dar um grande impulso ao desenvolvimento de procedimentos num´ericos. Os novos modelos matem´a- ticos propostos n˜ao podiam ser resolvidos de forma expl´ıcita e assim tornava-se imperioso o desenvolvimento de m´etodos num´ericos para obter solu¸c˜oes aproximadas. O pr´oprio Newton

criou v´arios m´etodos num´ericos para a resolu¸c˜ao de muitos problemas, m´etodos esses que possuem, hoje, o seu nome. Tal como Newton, muitos vultos da matem´atica dos s´eculos XVIII e XIX trabalharam na constru¸c˜ao de m´etodos num´ericos. De entre eles podemos destacar Leonhard Euler (1707-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) e Carl Friedrich Gauss (1777-1875). Foi, no entanto, o aparecimento, na d´ecada de 40 do s´eculo XX, dos primeiros computa- dores que contribuiu decisivamente para o forte desenvolvimento da disciplina. Apesar de tanto Pascal como Leibniz terem constru´ıdo, j´a no s´ec. XVII, as primeiras m´aquinas de cal- cular e de Charles Babage, milion´ario inglˆes, ter constru´ıdo o que ´e considerado o primeiro computador (nunca funcionou!), foi apenas com o aparecimento do ENIAC, nos anos 40, que a ciˆencia usufruiu, de facto, desses dispositivos de c´alculo.

1.3 No¸c˜oes e teoremas b´asicos

Antes de come¸carmos propriamente com os assuntos da an´alise num´erica, relembremos algu- mas no¸c˜oes e teoremas importantes que conv´em ter sempre presentes. O primeiro teorema que iremos considrar ´e o chamado Teorema de Bolzano.

Teorema 1.3 (Bolzano) Se f for uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] ent˜ao, para todo o y com- preendido entre f (a) e f (b) existe pelo menos um x ∈ [a, b] tal que f (x) = y.

Como pode ser verificado, este teorema estabelece um resultado intuitivo: uma fun¸c˜ao cont´ınua para passar de um ponto para outro tem de passar por todos os valores interm´edios. Outro teorema b´asico ´e o seguinte e foi estabelecido por Michel Rolle (1652-1719).

Teorema 1.4 (Rolle) Se f for uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b], diferenci´avel em (a, b) e se f (a) = f (b) = 0 ent˜ao existe pelo menos um ξ ∈ (a, b) tal que f ′(ξ) = 0.

Em linguagem comum, este teorema diz-nos que entre dois zeros de uma fun¸c˜ao cont´ınua existe, pelo menos, um zero da sua derivada. Este resultado pode ser generalizado da forma que se segue.

Observa¸c˜ao 1.5 No teorema anterior n˜ao ´e necess´ario que f (a) e f (b) sejam ambos nulos; basta que f (a) = f (b).

Teorema 1.6 (Rolle generalizado) Se f for uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b], diferenci´avel n vezes em (a, b) e se tiver, neste intervalo, n zeros ent˜ao f ′^ tem pelo menos n − 1 zeros em (a, b), f ′′^ tem pelo menos n − 2 zeros em (a, b),.. ., f (n−1)^ tem pelo menos 1 zero em (a, b).

Outro resultado que conv´em ter presente (cultura geral) ´e o conhecido Teorema do Valor M´edio de Lagrange.

Teorema 1.7 (Valor M´edio de Lagrange) Se f for uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] e di- ferenci´avel em (a, b) ent˜ao existe pelo menos um ξ ∈ (a, b) tal que

f ′(ξ) =

f (b) − f (a) b − a

Para iniciar o nosso estudo, definamos dois tipos fundamentais de erros. Seja x um valor desconhecido e x um valor aproximado de x.

Defini¸c˜ao 1.10 Chama-se erro absoluto de x e representa-se por ∆x a quantidade

∆x = x − x.

Defini¸c˜ao 1.11 Chama-se erro relativo de x e representa-se por rx a quantidade

rx =

∆x x

Observa¸c˜ao 1.

1. Na pr´atica os valores dos erros absoluto e relativo usam-se, normalmente, em m´odulo pois, para a maioria dos problemas, n˜ao ´e relevante saber se o erro foi cometido por defeito ou por excesso;
2. Como na defini¸c˜ao de erro relativo o valor de x n˜ao ´e conhecido, ´e usual considerar a estimativa |rx| ≈ |∆x/x| ;
3. O erro relativo, atendendo a que ´e uma quantidade adimensionada, ´e muitas vezes representado sob a forma de percentagem. Note-se tamb´em que o erro relativo nos d´a uma maior informa¸c˜ao quanto `a precis˜ao da aproxima¸c˜ao que o erro absoluto.

E com base nas duas defini¸^ ´ c˜oes anteriores que iremos analisar os resultados num´ericos que aparecer˜ao como aproxima¸c˜oes a valores que n˜ao conhecemos com exactid˜ao.

1.4.1 Erros de arredondamento

Os dados de um determinado problema, podem estar `a partida afectados de imprecis˜oes resultantes de medi¸c˜oes incorrectas. Note-se que a escala de um instrumento de medi¸c˜ao nos d´a uma possibilidade de saber um limite superior para o erro com que esses valores vˆem afectados. Por exemplo, com uma r´egua usual, a medi¸c˜ao de uma distˆancia de 2 mm pode vir afectada com um erro de 0. 5 mm o que d´a um erro relativo de 2.5%. Outra causa de erro resulta das simplifica¸c˜oes impostas ao modelo matem´atico usado para descrever um determinado fen´omeno f´ısico. Por exemplo, ´e usual considerar que, para um dada problema, n˜ao h´a perdas de calor, o atrito ´e nulo, etc. Este tipo de erros fogem ao controlo do analista num´erico e s˜ao muito dif´ıceis de quantificar. Outra causa de erros resulta da forma como representamos os n´umeros reais. De facto, quando usamos um computador, a mantissa de um n´umero tem que ser limitada. Assim, existem n´umeros que n˜ao possuem representa¸c˜ao na m´aquina que estamos a trabalhar. Por exemplo, o n´umero x = 123.9346 n˜ao tem representa¸c˜ao numa m´aquina de base decimal cuja mantissa s´o permita armazenar 6 d´ıgitos. Temos assim necessidade de o aproximar por um outro que possa ser representado na referida m´aquina. Essa aproxima¸c˜ao vai ser efectuada por um processo conhecido por arredondamento. A forma de arredondar um n´umero real ´e a usual. Como tal

x = 123. 9346 ≈ 123 .935 = x,

e este novo valor j´a tem representa¸c˜ao na m´aquina que estamos a usar sob a forma .123935E2. Note-se que o arredondamento foi efectuado na terceira casa decimal e que |∆x| = |x − x| = 0. 0004 < 0. 5 × 10 −^3 ,

|rx| = |∆x| |x|

≈ 3. 23 × 10 −^6 < 5 × 10 −^6.

Se o arredondamento tivesse sido efectuado na segunda casa decimal vinha

x = 123. 9346 ≈ 123 .93 = x,

e assim |∆x| = 0. 0045 < 0. 5 × 10 −^2 ,

|rx| =

|∆x| |x|

≈ 3. 63 × 10 −^5 < 5 × 10 −^5.

Daqui resultam as seguintes defini¸c˜oes:

Defini¸c˜ao 1.13 Seja x uma aproxima¸c˜ao para x. Diz-se que x tem k casas decimais correctas se e s´o se |∆x| ≤ 0. 5 × 10 −k.

Defini¸c˜ao 1.14 Seja x uma aproxima¸c˜ao para x. Diz-se que x tem k algarismos significativos correctos^2 se e s´o se |rx| ≤ 5 × 10 −k.

Observa¸c˜ao 1.15 Note-se que estas defini¸c˜oes surgem por forma a que todo o n´umero obtido a partir de um valor exacto por conveniente arredondamento tenha todas as suas casas deci- mais e todos os seus algarismos significativos correctos.

Existe ainda outra possibilidade de erro quando trabalhamos em aritm´etica de v´ırgula flutuante. Suponhamos que estamos ainda numa m´aquina de base decimal cuja mantissa s´o permita armazenar 6 d´ıgitos. Consideremos, por exemplo, o seguinte n´umero: x = .100107E4. Assim temos que z := x^3 = 1003213435. 95.

Este n´umero n˜ao tem representa¸c˜ao nesta m´aquina. H´a pois necessidade de o arredondar. Temos ent˜ao z ≈ 100321 = z,

cuja representa¸c˜ao ´e z = .100321E6. Note-se que, apesar de |∆z| = 3435. 95

se tem

|rz | =

≈ 3. 42 × 10 −^6 < 5 × 10 −^6.

Para finalizar vamos definir o que se entende por precis˜ao da m´aquina. Esta caracter´ıstica ´e medida pelo chamado zero da m´aquina, denotado por , e definido com sendo o menor n´umero que pode ser representado satisfazendo a

(1 + ) > 1.

Assim, uma m´aquina ´e tanto mais precisa quanto menor for o seu zero. (^2) Na representa¸c˜ao decimal de um n´umero, um algarismo diz-se significativo se ´e diferente de zero. O zero tamb´em ´e significativo excepto quando ´e usado para fixar o ponto decimal.

Teorema 1.16 (Taylor) Se f admite derivadas cont´ınuas at´e `a ordem n (inclusiv´e) em [a, b], isto ´e, se f ∈ Cn([a, b]), e se f (n+1)^ existir em (a, b) ent˜ao, para todo o x, x 0 ∈ [a, b],

f (x) = Tn(x; x 0 ) + Rn(x; x 0 ), (1.3)

onde

Tn(x; x 0 ) =

∑^ n

k=

f (k)(x 0 ) k! (x − x 0 )k

e

Rn(x; x 0 ) =

f (n+1)(ξ) (n + 1)! (x − x 0 )n+1, ξ ∈ I{x, x 0 },

sendo I{x, x 0 } o intervalo aberto definido por x e x 0.

A (1.3) chamaremos f´ormula de Taylor sendo Tn(x; x 0 ) o polin´omio de Taylor de f em torno do ponto x 0 e Rn(x; x 0 ) o resto (de Lagrange) de ordem n (ou de grau n + 1). Se x 0 = 0 a (1.3) chamaremos f´ormula de Maclaurin.

Atente-se ao grande interesse pr´atico deste resultado que afirma que, mediante certas condi¸c˜oes, uma fun¸c˜ao pode ser escrita como a soma de um polin´omio com um resto. Esco- lhendo valores de x e x 0 tais que

lim n→+∞ Rn(x; x 0 ) = 0. (1.4)

temos que, a partir de um valor de n suficientemente grande, a fun¸c˜ao dada pode ser apro- ximada pelo seu polin´omio de Taylor. Assim, qualquer opera¸c˜ao a efectuar sobre a fun¸c˜ao (deriva¸c˜ao, integra¸c˜ao, etc.) poder´a ser feita sobre o polin´omio.

Observa¸c˜ao 1.17 A escolha dos valores de x e x 0 dever´a ser feita de modo a que eles perten¸cam ao intervalo de convergˆencia da s´erie

∑^ ∞

k=

f (k)(x 0 ) k! (x − x 0 )k

designada por s´erie de Taylor. Neste curso n˜ao iremos dar ˆenfase a esta quest˜ao.

O objectivo fundamental dos problemas que surgem neste contexto ´e o de determinar o menor valor de n que verifica max ξ∈I{x,x 0 }

|Rn(x; x 0 )| < η ,

sendo η > 0 uma tolerˆancia previamente fixada. Obtemos assim a aproxima¸c˜ao

f (x) ≈ Tn(x; x 0 ),

cujo erro n˜ao excede η. O valor de Rn(x; x 0 ), sendo um erro absoluto uma vez que

|f (x) − Tn(x; x 0 )| = |Rn(x; x 0 )|,

´e tamb´em designado erro de truncatura.

Defini¸c˜ao 1.18 Uma fun¸c˜ao f cujo resto da sua f´ormula de Taylor verifique (1.4), para todo o x ∈ (x 0 − ε, x 0 + ε), com ε positivo e escolhido de forma adequada, diz-se anal´ıtica em x 0.

Como a f´ormula de Taylor ´e definida usando apenas informa¸c˜ao relativa `as derivadas da fun¸c˜ao num ´unico ponto, ´e surpreendente que muitas das fun¸c˜oes que s˜ao definidas de forma natural na matem´atica, bem como os limites das equa¸c˜oes diferenciais que servem de modelo a muitos problemas da engenharia, f´ısica, biologia, sociologia, etc, sejam fun¸c˜oes anal´ıticas.

Exerc´ıcio 1.4.4 Determine um valor aproximado de e^2 com 3 casas decimais correctas, usando a f´ormula de Maclaurin aplicada `a fun¸c˜ao f (x) = ex.

Resolu¸c˜ao: A fun¸c˜ao f (x) = ex^ ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica para todo o x real (prove!) e atendendo a que f (k)(x) = ex^ a s´erie de Maclaurin de f ´e dada por

ex^ =

∑^ ∞

k=

xk k!

Assim, fixando um valor de n, temos que

ex^ ≈ 1 + x + x^2 2

x^3 6

xn n!

com |Rn(x; 0)| ≤ ex (n + 1)!

|xn+1| ≤ 3 x (n + 1)!

|xn+1|.

Vamos ent˜ao determinar qual o menor valor de n tal que

|Rn(2; 0)| ≤

(n + 1)!

| 2 n+1| ≤ 0. 5 × 10 −^3.

Por tentativas... n = 9 ⇒

210 = 0. 254 × 10 −^2

n = 10 ⇒

211 = 0. 462 × 10 −^3.

Logo a aproxima¸c˜ao pedida ´e

e^2 ≈

∑^10

k=

xk k!

1.5 Exerc´ıcios de aplica¸c˜ao `a engenharia

Exerc´ıcio 1.5.1 O fluxo atrav´es de uma parte da camada fronteira num flu´ıdo viscoso ´e dada pelo integral definido (^) ∫

1. 8 0

1 .4(1 − e−^4 x 2 ) dx.

Calcule uma aproxima¸c˜ao para o integral com quatro casas decimais correctas.