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Vetores
Definição
Diferente de uma grandeza escalar (massa, altura, tempo, etc), uma grandeza vetorial precisa de modulo, direção e sentido:
Modulo : valor numerico Direção Relacionada á angulo ou inclinação (vertical, horizontal, diagonal)
Sentido Relacionado á inicio e fim (direita pra esquerda, de cima pra baixo etc.)
É representado com letras e uma seta em cima:. Graficamente é representado por uma flecha:
Assim, o tamanho da flecha indica o modulo, a inclinação a direção e a seta o sentido
Vetores opostos e equipolentes
Definição Vetores opostos e equipolentes Vetores no Plano Cartesiano Decomposição de vetores Operações com vetores Mesma direção Direções diferentes Vetor unitario e versor Projeção Ortogonal Combinação Linear Dependencia Linear
A
Para dizer que dois vetores são equipolentes , eles precisam ter todos os seus componentes iguais (modulo, direção e sentido).
Para dizer que dois vetores são opostos , estes devem ter o mesmo modulo, a mesma direção, porém o sentido diferente.
Vetores no Plano Cartesiano
Um vetor no plano cartesiano é representado através de pontos. Por exemplo: o vetor que liga os pontos e :
O vetor chamado de é:
A (1, 2) B (3, 3)
u
Portanto o vetor equipolente de origem no ponto 0, 0 é.
Decomposição de vetores
A princípio todo vetor pode ser decomposto para descobrir diferentes prorpiedades deste. Vamos pegar o exemplo de um vetor que representa a
velocidade de um avião:. Que tem módulo igual a 800 km/h. Este
vetor tem uma inclinação de 45º em relação ao solo (eixo x).
Sabemos que a velocidade do avião é 800 km/h, mas se quisermos encontrar apenas a velocidade de subida, ou a velocidade em que este se desloca no chão, com base no desenho, temos que usar a trigonometria da seguinte forma:
v = A (2, 1)
u = A (2, 2)
Se queremos achar a velocidade de subida que corresponde ao vetor w , devemos utilizar a formula do seno:
O seno de 45º é , portanto:
Resolvendo:
com o resultado é:
Operações com vetores
Mesma direção
Mesmo sentido ⇒ soma de vetores Exemplo: o vetor e o vetor
O vetor resultante é tem modulo igual a 7, sendo assim podemos escrever como apenas um só
sin α = hip
cat op
2
2
w
w = 400^2
2 ≈1.
w = 565.
u = 5 v = 2
O vetor resultante chamaremos de r = AD , portanto:
Para acharmos o modulo de r, temos que achar um polígono na figura, para facilitarmos o calculo:
Origens Iguais Regra do paralelogramo
Exemplo: Os vetores e no plano tem a mesma origem e o angulo entre
eles é
u v α = 90º
Para isso devemos usar a lei dos cossenos:
Trigonometria
Vamos supor que o angulo sendo assim o angulo :
Sendo assim:
a^2 = b^2 + c^2 − 2 b ∗ c ∗ cos A
α = 45º A = 135º
a = w
b = v
c = u
Produto Escalar
Usando o exemplo de um vetor e o vetor. Para calcular o produto escalar devemos:
O produto escalar entre vetores pode ser usado para classificar como o angulo entre eles se classifica: Se o produto escalar for positivo, o angulo entre eles será agudo ( )
Se o produto escalar for nulo, o angulo entre eles será reto ( )
Se o produto escalar for negativo, o angulo entre eles será obtuso ( )
Angulo entre vetores
Para calcular o módulo de um vetor usamos:
Vetor unitario e versor
O vetor unitario é aquele que independente de sua direção e sentido, seu modulo é 1. Quando se quer transformar um vetor qualquer em um vetor unitario, chamamos este novo vetor de versor. Sua maneira de calcular é:
u = A (2, 3) v = B (4, 5)
u ⋅ v = (2 ⋅ 4) + (3 ⋅ 5)
u ⋅ v = 8 + 15
u ⋅ v = 23
α < 90 º
α = 90º
α > 90º
cos θ = ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ a b
a ⋅ b
∣ a ∣ = x^2 + y^2
versor v = ∣ ∣ v
v
Perceba que os vetor inicial e o versor são muito parecidos, porém seu módulo é diferente, percebe-se isso pela escala dos graficos.
Projeção Ortogonal
A palavra ortogonal está diretamente relacionada ao angulo de 90º. A palavra projeção está ligada a "extenção" ou "alongamento".
Assim a projeção ortogonal é dita como um alongamento de um vetor até que seus finais estejam a 90° um em relação ao outro.
Como exemplo, vamos pegar os vetores u e v :
Se traçarmos um segmento de reta no final de cada vetor:
Se analisarmos, podemos dizer que o angulo formado é = 90º:
Para isso usamos a formula:
O valor de k é:
Portanto a formula final é:
Combinação Linear
A forma em que se configura a Combinação Linear
Ou seja o vetor pode ser a combinação linear de outros infinitos vetores. Por
exemplo os vetores
proj (^) uv = k ⋅ u
k = ∣ ∣ u^2
v ⋅ u
proj (^) uv = ⋅ ∣ ∣ u^2
v ⋅ u u
v = c 1 (^) ⋅ v 1 + c (^) 2 ⋅ 2 … c (^) n ⋅ vn
v a , b , c
a =(0, 0, 1) b =(0, 0, 2) c =(0, 0, 3)
Podemos dizer que o vetor é combinação linear de , pois:
Agora vamos ver o exemplo dos vetores :
Para saber é necessario utilizar a notação:
Ou seja:
Dependencia Linear
Vetores Linearmente Independentes LI São vetores em que a sua combinação linear resulta em 0, ou seja:
Vetores Linearmentes Dependentes LD É quando os vetores tem sua combinação linear diferente de 0, ou seja:
c a e b
c = a + b
p , m , n , o
p = =
m =
n =
o
p = c (^) 1 ⋅ m + c 2 (^) ⋅ n + c 3 (^) ⋅ o
⎧ c 1 (^) ⋅ 1 + c (^) 2 ⋅ 0 + c (^) 3 ⋅ 0 = 2 c 1 (^) ⋅ 0 + c (^) 2 ⋅ −1 + c 3 ⋅ 0 = 4 c 1 (^) ⋅ 0 + c (^) 2 ⋅ 0 + c (^) 3 ⋅ 2 = −
c (^) 1 ⋅ v 1 + c 2 (^) ⋅ v 2 +… + c (^) n ⋅ vn = 0
c (^) 1 ⋅ v 1 + c 2 (^) ⋅ v 2 +… + c (^) n ⋅ vn = 0
