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Introdução à teoria de Probabilidades e
Estatística
Ficha técnica
Autor: Hercilio Xavier Malhope
Titulo: Introdução à teoria de Probabilidades e Estatística
Edição: 1ª edição
Editora: Texto-editores
Maputo. @2018@, texto-editores, herciliohxmm@gmail.com,
estudante do 3º ano de Matemática
Licenciatura em Ensino de Matemática com Habilitações em Ensino
de Física
Universidade Pedagógica, UP-Massinga @
DELEGAÇÃO DE MAPUTO
Faculdade de Ciências pedagógicas
DEPARTAMENTO DE PAGE CURSO DE BACHARELATO EM PLANIFICAÇÃO ADMINISTRAÇÃO E GESTÃO DE EDUCAÇÃO PROGRAMA DE EXTENSÃO
Introdução á Teoria Probabilidade e Estatística
Estatística
É uma ciência cujo objectivo é observar fenómenos da mesma natureza, recolha, organização, descrição, analise e interpretação de dados, viabilizando a utilização dos mesmos na tomada de decisão.
Partes da estatística
Estatística descritiva é o ramo ou parte da estatística cujo objectivo é a observação dos fenómenos da mesma natureza, colecta, organização, classificação, analise e interpretação dos dados
Estatística inferencial
Ramo da estatística que trata das condições de generalização de conclusões tiradas a partir da observação de uma parte das unidades(amostra) para todo o conjunto das unidades a estudar(população).
População ou universo
É a totalidade dos elementos que apresentam pelo menos uma característica comum objecto de estudo
Amostra
É um subconjunto ou parte das unidades estatísticas seleccionadas da população para o estudo, muitas vezes quando não é possível ou é deficil estudar toda a população.
Unidade estatística
Corresponde a cada elemento que constitui a população observada.
Características da informação estatística
Qualidade
Dados estatísticos devem traduzir uma realidade de forma simples e clara. O controlo da qualidade dos dados é indispensável para a sua fiabilidade.
Qualitativas
São aquelas que não podem se medir. Estão relacionadas com uma qualidade e apresentam-se em modalidades, essas podem ser nominais ou ordinais. Exemplo: cor de olhos, o curso preferido, etc.
Nominais quando não apresentam nenhuma ordem. Exemplo: estado civil, cor de olhos…
Ordinal , quando for possível organizar obedecendo uma certa ordem. Exemplo: Nivel de instrução, nível académico…
Distribuição de frequências
Dados brutos
São dados originais que ainda não se encontram numericamente organizados
Rol estatístico ou Role
É uma lista em que os valores ou dados números são dispostos em uma determinada ordem crescente ou decrescente
Amplitude total ou Range
É a diferença entre o maior valor e o menor de série estatística ou é a diferença entre os extremos do rol.
(^) = á −
Exemplo 01:
Dados brutos:
18 20 21 18 20 19 19 18 20 23 Rol:
18 18 18 19 19 20 20 20 21 23 Amplitude total:
(^) = 23 − 18 = 5
Frequência absoluta ( fi )
É o número de repetição de um valor individual ou de uma classe de valores de variável
Frequência relativa ( fr )
É a proporção de observação de um valor individual ou de valores pertencentes a uma categoria em relação ao número total de observações.
= = × 100%
Frequência absoluta acumulada (Fi)
É a soma de frequência absoluta dessa ordem ou classe com as frequências anteriores partindo de cima para baixo.
Exemplo 02: tabela de dados não agrupados
fi Fr fr (%) Fi Fr Fr (%) 18 10 0,1408 14,08 10 0,1408 14, 19 15 0,2112 21,12 25 0,3520 35, 20 12 0,1690 16,90 37 0,5210 52, 21 13 0,1830 18,30 50 0,7040 70, 22 10 0,1408 14,08 60 0,8448 84, 23 11 0,1549 15,49 71 1 100
71 1 100 ______^ ______^ _______
Dados agrupados
Procedimentos para a construção de uma tabela de frequência com dados agrupados:
- Construir o Rol
- Determinar a amplitude total
- Determinar ou escolher o número de classes: a) Método I: escolher aleatoriamente K entre cinco (5) a vinte (20). b) Método II: calcular pela fórmula de Starges = 1 + 3,3 log c) Método III: calcular o valor aproximado da raiz quadrada positiva de N, ≈ √ .
- Determinar o intervalo de classes (i/h)
- Mediana
= +
× , Onde:
Li é o limite inferior da classe mediana
Fa é a frequência absoluta acumulada da classe anterior a classe mediana
fmed é frequência absoluta da classe mediana
i intervalo da classe mediana
- Moda
= + (^) 2 − ( + ) − ×
Onde:
fmod é a frequência absoluta da classe modal
fa é a frequência absoluta da classe anterior a classe modal
fp é a frequência absoluta da classe posterior a classe modal
Exemplo 05: continuando com o exercício do exemplo 04, vamos calcular as medidas de tendência central
Classes (%) . [150; 153,9[ 4 151,95 0,100 4 0,100 10,0% 607, [153,9; 157,8[ 9 155,85 0,225 13 0,325 32,5% 1402, [157,8; 161,7[ 11 159,75 0,275 24 0,600 60,0% 1757, [161,7; 165,6[ 8 163,65 0,200 32 0,800 80,0% 1309, [165,6; 169,5[ 5 167,55 0,125 37 0,925 92,5% 837, [169,5; 173,4[ 3 168,45 0,075 40 1 100% 505,
40 1 6420
̅ = ∑ ∑ ^. =^642040 = 160,
− × = 157,8 +
− 13 11 × 3,9 =
= 157,8 + 11 7 × 3,9 = 157,8 + 2,4818 = 160,
= + 2 − ( + ) − × = 157,8 + 2 × 11 − (9 + 8) 11 − 9 × 3,9 =
Posições relativas entre média, mediana e moda
- é = = . ̅ = =
- é > > . ̅ > >
- é < < . ̅ < <
Medidas separa trizes
Quartil: = +
(^) × ; = 1,2,3.
Deciz: = +
(^) × ; ∈ ℕ: 1 ≤ ≤ 9
Percentis: = + (^) × ; ∈ ℕ: 1 ≤ ≤ 99
Medidas de dispersão
Amplitude Variância ou dispersão Desvio padrão Coeficiente da variação
Variância ou dispersão ( ^ )
Exemplo 06: Recorrendo ao enunciado do exemplo 04, vamos calcular as medidas de dispersão nessa distribuição. ̅ = 160,
( − ̅ ) ^ ( − ̅ ) . 73,1025 292, 21,6225 194, 0,5625 6, 9,9225 79, 49,7025 248, 63,2025 189, 218,115 1010,
^ = ∑( − ̅)
= ∑( − ̅)^
≤ 15 ⟹ Menor variedade
Coeficiente de Assimetria de Pearson
= ̅^ − ^ = 3 ( ̅^ − ^ )
= ^ + ^ − 2 −
- < 0 , Assimetria negativa
- = 0 , Simétrica
- > 0 , Assimetria positiva
Coeficiente de achatamento ou curtose
= 2( ^ − − )
Se = 0,263, mesocurtica
Se > 0,263 ⟹ platicurtica
Se < 0,263 ⟹ leptocurtica
Exemplo 07: uma amostra de 67 professores mostrou os seguintes anos de serviço:
6 17 8 25 11 25 14 5 14 9 18 12 8 19 10 32 13 33 17 7 22 11 23 16 10 25 39 6 15 9 19 22 29 12 30 18 13 34 17 8 17 11 24 11 4 14 4 21 15 6 19 10 18 12 30 13 7 16 7 26 2 11 27 7 5 9 32
a) Construa uma tabela de frequência b) Calcule as frequências relativas e as frequências acumuladas c) Apresente o histograma da distribuição de frequências d) Determine as medidas de tendência central e) Calcule o coeficiente de variação f) Classifique a distribuição quanto ao nível de assimetria g) Classifique a distribuição quanto ao grau de achatamento ou curtose Resolução
− × = 12,58 +
− 29 14 × 5,29 =
= 12,58 + 33,5 − 29 14 × 5,29 = 12,58 + 4,5 14 × 5,29 = 12,58 + 1,7 = 14,
= + 2 − ( + ) − × = 7,29 + 2 × 17 − (12 + 14) 17 − 12 × 5,29 =
= 7,29 + 34 − 26^5 × 5,29 = 7,29 + 26,45 8 = 7,29 + 3,306 = 10,
e) = ̅ = ∑( ̅) (^) . ∑ = ^
, =8,
= (^) , , = 0,556 ≈ 55,6%, Alta variação
f) = ̅ = , , , = , , = 0,59, > 0 ⟹
g) = (^) ( ^ )
× − 43 10 × 5,29 = 17,87 +
− 43 10 × 5,29 =
= 17,87 + 50,25 − 43 10 × 5,29 = 17,87 + 0,725 × 5,29 = 21,
− 12 17 × 5,29 = 7,29 +
17 × 5,29 =
× − 59 6 × 5,29 = 28,45 +
9 × 6,7 − 59
6 × 5,
= 28,45 + 1,3 × 5,29 6 = 28,45 + 1,146 = 29,
= 2 + 6,7 − 0 12 × 5,29 = 2 + 6,7 12 × 5,29 = 2 + 2,954 = 4,
= 2(29,596 − 4,954) 21,705 − 8,768 = 2 × 24,642 12,937 = 12,93749,284 = 0,
< 0,263 ⟹ leptocúrtica
Correlação e regressão linear
Como determinar o coeficiente de correlação e recta de regressão?
Para determinar o coeficiente de correlação de entre duas variáveis usamos a fórmula seguinte:
= ∑ . − ∑ . ∑ ∑ ^ − (∑ ) ^ × ∑ ^ − (∑ ) Se| | = 1 ⟹ Correlação perfeita Se 0,2 ≤ | | < 0,4 ⟹ correlação fraca Se 0,4 ≤ | | < 0,7 ⟹ correlação moderada Se 0,7 ≤ | | ≤ 0,9 ⟹ correlação forte
Ainda podemos dizer que a correlação é:
Positiva: > 0 Nula: = 0 Negativa: < 0
Respondendo a segunda questão que deseja-se saber como determinar a recta de regressão, na estatística usamos a seguinte formula:
= +
Onde a e b são constantes que determinamos a partir das seguintes formulas:
= ∑^ ^ − ^ ^ ∑^ ^ ^ =^ ^ −^ ̅
= ∑ (∑ )
(∑ ) ^ − ∑( )
= 10 × 473 − 65 × 65
√10 × 481 − 4225 × √10 × 475 − 4225
√4810 − 4225 × √4750 − 4225
√585 × 525
= 554,189^505 = 0,
Conclui-se que a correlação forte positiva b) = +
= (∑ . ) − (∑ )(∑ ) ∑( ) (^) − (∑ ) =
= 10 × 473 − 422510 × 481 − 4225 = 4730 − 42254810 − 4225 =^505585 = 0,
= 6,5 − 0,863 × 6,5 = 6,5 − 5,611 = 0,
= 0,889 + 0,863 ⟹ Recta da regressão linear
Introdução á teoria de Probabilidades
Probabilidade
A fim de obter uma medida de certeza, chance ou probabilidade com que pode ocorrer se esperar a ocorrência e grau de resultado do evento atribui-se um número entre [0;1] pertencente ao conjunto dos números reais.
Espaço amostral
Espaço amostral de um experimento aleatório A é o conjunto de todos resultados possíveis desse experimento.
= { ; ; ; … ; }
Subespaço amostral
Um subespaço amostral W de S é qualquer subconjunto do espaço amostral incluindo conjunto vazio.
= { ; ; ; … ; }, <
Exemplo 01: lançando um dado com as faces enumeradas de 1 a 6 e observando o número que aparece na face de cima.
a) Qual será o espaço amostral desse experimento b) Esperava o subespaço de S constituindo por todos os números pares.
Resolução
a) = {1,2,3,4,5,6} b) = {2, 4, 6}
Exemplo 02: No lançamento de uma moeda 3 vezes e observando á sequencia de cara e corroa que aparece.
a) Qual será o espaço amostral? b) Escreve o subespaço considerando a ocorrência de duas ou mais caras?
Resolução
Incompatíveis ou mutuamente exclusivos, se a ocorrência de um deles exclui a ocorrência do outro Elementares, são formados por um só resultado; Não elementares, são formados por dois ou mais resultados da experiencia. Exemplo 05: seja = {1,2,3,4,5,6} o universo amostral associado ao lançamento de um dado. Indique o tipo de acontecimento associado a cada subconjunto. = { 1 , 3 , 5 } = { 2 , 4 , 6 } = { 3 , 6 } = { 4 } = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ={sair uma face 8}
Elementares: D
Não elementares: A, B, C, E.
Impossível: F
Definição frequencista de Probabilidade
Construa uma tabela de três
Número de lançamentos 10 20 30 40 50 Número de K (caras) 5 15 30 10 5 Frequência relativa 0,5 0,75 1 0,25 0,
Chama-se probabilidade do acontecimento a frequência relativa obtida num lançamento de uma moeda não viciada ao ar, tendo como variável sair face cara
Definição clássica de Probabilidade
Chama-se probabilidade de um acontecimento A, ao cociente entre o número de casos favoráveis do acontecimento A e o número de casos possíveis ou elementos de S.
( ) = ú ú
Exemplo 06: Numa caixa contendo três bolas vermelhas, duas brancas e cinco azuis, retirou-se uma bola da caixa. Qual é a probabilidade de sair uma bola:
a) Azul b) Vermelha c) Branca
Resolução:
= {5 , 2 , 3 } = # + # + # = 5 + 2 + 3 = 10
a) ( ) = (^) = = 0, b) ( ) = (^) = 0, c) ( ) = (^) = 0,
Exemplo 07: No lançamento de um dado, calcule as probabilidades de ocorrência dos seguintes acontecimentos:
a) Sair um número par b) Sair um número impar c) Sair um número múltiplo de 5 d) Sair um número menor que 6
Resolução
= {1,2,3,4,5,6}, = # = 6 a) = {2, 4, 6} = # = 3
( ) = =^36 =^12 = 0,
b) = {1, 3, 5}^ = # = 3
( ) =^36 = 0,
c) = {5}^ = # = 1
( ) =^16 = 0,
