Introduc¸ ˜
ao `
a Cinem´
atica dos Fluidos
PME 3230 - Mecˆ
anica dos Fluidos I
PME/EP/USP
Prof. Antonio Luiz Pac´
ıfico
2◦Semestre de 2016
PME 3230 - Mecˆ
anica dos Fluidos I (EP-PME) Cinem´
atica 2◦Semestre de 2016 1 / 31
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Introdução à Cinemática dos Fluidos, Notas de estudo de Cinemática
Cabe `a cinemática dos fluidos: descrever campos de velocidades; descrever campos de aceleraç ˜oes; descriç ˜oes dos movimentos; auxiliar na visualizaç ˜ ...
Tipologia: Notas de estudo
2022
1 / 31
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Introduc¸ ˜ao `a Cinem ´atica dos Fluidos
PME 3230 - Mec ˆanica dos Fluidos I
PME/EP/USP
Prof. Antonio Luiz Pac´ıfico
2 ◦^ Semestre de 2016
Conte ´udo da Aula
(^1) Introduc¸ ˜ao
(^2) Descric¸ ˜ao do Movimento dos Fluidos
(^3) Classificac¸ ˜ao de Escoamentos de Fluidos
(^4) Conceito de Vaz ˜ao
(^5) Exerc´ıcios
Exemplos de Vizualizac¸ ˜ao
Descric¸ ˜ao Euleriana e Langrangiana dos Escoamentos
Considere uma grandeza qualquer, G, escalar ou vetorial, que possa ser estudada em func¸ ˜ao do tempo.
M ´etodo de Lagrange [Joseph L. Lagrange (1736 a 1813)]: consiste em acompanhar a part´ıcula ao longo da sua trajet ´oria, de uma posic¸ ˜ao inicial A,
para, em cada instante, encontrar o valor da grandeza G = GL(xA, yA, zA, t).
Note que que o ponto (xA, yA, zA) define o ponto inicial - o nome - de cada
part´ıcula. Este m ´etodo aplicado `a mec ˆanica dos fluidos resulta em acompanhar muitas part´ıculas, o que torna esta tarefa extremamente dif´ıcil. Por ´em, h ´a algumas situac¸ ˜oes pr ´aticas onde o m ´etodo de Lagrange ´e ´util, tais como, a descric¸ ˜ao do movimento de b ´oias oce ˆanicas, bal ˜oes meteorol ´ogicos, migrac¸ ˜ao de p ´assaros, rastreamento de ve´ıculos por sat ´elite.
Principais Linhas do Escoamento
Linha de Trajet ´oria : conjunto de pontos percorridos por uma part´ıcula no campo de escoamento; ela fornece o hist ´orico das localizac¸ ˜oes da part´ıcula. Matematicamente ela ´e definida pela integrac¸ ˜ao dos componentes da velocidade:
x =
u.dt ; y =
v .dt ; z =
w.dt
Linha de Emiss ˜ao : uma linha instant ˆanea, formada pelos pontos ocupados por todas as part´ıculas origin ´arias de um ponto espec´ıfico do escoamento. Linha de Corrente : linha instant ˆanea que ´e tangente em todos os pontos ao vetor velocidade do escoamento. Para uma linha de corrente pode-se escrever: dx u
dy v
dz w
d~r
~V
Principais Linhas do Escoamento
V
V
V
V
para uma LC: V x d r = 0
r^ V
dr
y
x
z
LC
Observe que, para uma linha de corrente (LC), o produto vetorial
~V × d~r = 0, pois tanto ~V como d~r
est ˜ao na mesma direc¸ ˜ao. Tubo de corrente : ´e um tubo (fict´ıcio) cujas paredes s ˜ao formadas por linhas de corrente. Como a velocidade ´e tangente `as linhas de corrente, nenhuma part´ıcula fluida pode atravessar as paredes de um tubo de corrente. Uma tubulac¸ ˜ao ´e um tubo de corrente, assim como um canal aberto. Para escoamentos em regime permanente, as linhas de trajet ´oria, de emiss ˜ao e de corrente s ˜ao todas coincidentes.
Derivadas Material, Local e Convectiva
A descric¸ ˜ao matem ´atica da taxa, ou derivada temporal, de uma propriedade do fluido num escoamento depende do m ´etodo escolhido para sua descric¸ ˜ao: euleriano ou lagrangiano. Como o m ´etodo euleriano ´e o mais utilizado, passa-se `a deduc¸ ˜ao de uma taxa neste m ´etodo para uma grandeza G (gen ´erica), escalar ou vetorial.
Considere dois instantes sucessivos, 1 e 2. De tal modo que se pode escrever
para cada um deles: G 1 = G(x 1 , y 1 , z 1 , t 1 ) e G 2 = G(x 2 , y 2 , z 2 , t 2 ). Para prever
o valor de G 2 conhecendo-se G 1 pode-se utilizar a expans ˜ao em s ´erie de Taylor a partir do ponto 1:
G 2 = G 1 +
∂G
∂x
1
· (x 2 − x 1 ) +
∂G
∂y
1
· (y 2 − y 1 )
∂G
∂z
1
· (z 2 − z 1 ) +
∂G
∂t
1
· (t 2 − t 1 ) + termos de ordem superior
Derivadas Material, Local e Convectiva
Dividindo-se a eq. anterior por (t 2 − t 1 ) e ignorando os termos de ordem
superior, obt ´em-se:
G 2 − G 1
t 2 − t 1
∂G
∂x
1
x 2 − x 1
t 2 − t 1
∂G
∂y
1
y 2 − y 1
t 2 − t 1
∂G
∂z
1
z 2 − z 1
t 2 − t 1
∂G
∂t
1
Na eq. acima, o lado esquerdo ´e a taxa m ´edia de variac¸ ˜ao (temporal) da grandeza G quando o fluido se move da posic¸ ˜ao 1 para a posic¸ ˜ao 2. No limite,
quando t 2 → t 1 :
tlim 2 →t 1
G 2 − G 1
t 2 − t 1
dG dt
DG
Dt
onde DG/Dt e conhecida como´ derivada material (ou substancial, ou total)
e representa a variac¸ ˜ao instant ˆanea da grandeza G do elemento fluido atrav ´es do ponto 1.
Derivadas Material, Local e Convectiva
A derivada local, ∂G/∂t, ´e o termo que se anula quando o escoamento
encontra-se em regime permanente.
Exemplo para interpretac¸ ˜ao: ”Em uma tubulac¸ ˜ao, a acelerac¸ ˜ao local aparece se uma v ´alvula est ´a sendo aberta ou fechada; e a acelerac¸ ˜ao convectiva ocorre na vizinhanc¸a de uma mudanc¸a da geometria da tubulac¸ ˜ao, tal como o estreitamento da sec¸ ˜ao ou um cotovelo. Em ambos os casos as part´ıculas mudam de velocidade, mas por raz ˜oes totalmente diferentes.”[(POTTER; WIGGERT; RAMADAN, 2014)]
Se G e um vetor, ent ˜´ ao primeiro deve-se fazer o produto ~V • ~∇ e, ent ˜ao,
aplicar o resultado a G. Se G e um escalar, ´´ e indiferente escrever
~V • ~∇
.G
ou ~V • ~∇.G.
Derivadas Material, Local e Convectiva
Numa descric¸ ˜ao lagrangiana, a derivada material ´e dada simplesmente por:
DGL Dt
= lim
∆t→ 0
GL(xA, yA, zA, t + ∆t) − GL(xA, yA, zA, t)
∆t
OBS: lembrar que o ponto (xA, yA, zA) define o ponto inicial (que ´e usado
ent ˜ao como nome) de uma part´ıcula espec´ıfica.
Embora mais simples matematicamente falando, sua dificuldade consiste em obter os valores da grandeza G de cada part´ıcula `a medida que passa o tempo (e a part´ıcula, portanto, move-se)!
Acelerac¸ ˜ao
Concluindo,
~a =
∂u
∂t
+ u ·
∂u
∂x
+ v ·
∂u
∂y
+ w ·
∂u
∂z
ax
·~i
∂v
∂t
+ u ·
∂v
∂x
+ v ·
∂v
∂y
+ w ·
∂v
∂z
ay
·~j
∂w
∂t
+ u ·
∂w
∂x
+ v ·
∂w
∂y
+ w ·
∂w
∂z
az
·~k
Escoamentos Uni, Bi e Tridimensionais
Um campo de escoamento ´e melhor caracterizado pela distribuic¸ ˜ao de velocidade e desse modo o escoamento ´e dito ser uni, bi ou tridimensional se a velocidade do escoamento varia basicamente em uma, duas ou tr ˆes dimens ˜oes respectivamente. Quando a variac¸ ˜ao de velocidade em certas direc¸ ˜oes ´e pequena em relac¸ ˜ao as outras, as primeiras podem ser ignoradas (erro desprez´` ıvel). Para a regi ˜ao de perfil de velocidade completamente desenvolvido (trecho de area de sec´ ¸ ˜ao constante na figura) o escoamento ´e unidimensional em coordenadas cil´ındricas, mas bidimensional em coordenadas cartesianas!
Escoamentos Viscosos e N ˜ao Viscosos
A forc¸a de arrasto que se sente ao colocar a m ˜ao para fora de um carro em movimento ´e devida ao atrito viscoso com o ar, a diferenc¸a de press ˜ao (a montante e jusante) ou ambos? Neste exemplo a resposta seria: depende muito mais da diferenc¸a de press ˜ao que do atrito viscoso. Mas, como predizer a import ˆancia relativa da viscosidade em qualquer instante, para qualquer condic¸ ˜ao de escoamento? A resposta ´e que podemos por meio do c ´alculo do n ´umero de Reynolds: Re = ρ.V .L/μ. Para Re elevados os efeitos da viscosidade s ˜ao desprez´ıveis; para Re pequenos os efeitos viscosos ser ˜ao dominantes. Um escoamento onde a viscosidade pode ser desprezada ´e chamado inv´ıscido. Existem muitos desdobramentos relativosa esta quest ˜ao que ser ˜ao apresentados `a medida que o curso avance. Na figura acima, em (a) seria a forma das LC previstas para um escoamento inv´ıscido sobre uma esfera, mas na pr ´atica, em (b), sabe-se que a viscosidade ´e fundamental para explicar este escoamento espec´ıfico.
Escoamentos Laminares e Turbulentos
Um escoamento laminar ´e aquele onde as part´ıculas movem-se em camadas lisas, ou l ˆaminas. Quando o fluido ´e transl ´ucido tem apar ˆencia ”vitrificada”. Um escoamento turbulento ´e aquele no qual as part´ıculas misturam-se rapidamente, devido `as flutuac¸ ˜oes aleat ´orioas no campo tridimensional de velocidades. N ˜ao existem escoamentos turbulentos uni ou bidimensionais, s ˜ao sempre tridimensionais. O que se pode falar ´e apenas de uma direc¸ ˜ao predominante do escoamento, como indicado na figura acima para a componente na direc¸ ˜ao axial (x) do escoamento. Assim, o conceito de regime permanente, quando o escoamento ´e turbulento, deve ser entendido para a m ´edia da vari ´avel (propriedade) em an ´alise: escoamentos turbulentos s ´o podem ser permanentes em m ´edia. Neste tipo de escoamento as flutuac¸ ˜oes (u′, v ′, w′) transportam quantidade de movimento atrav ´es das LC’s aumentando a tens ˜ao de cisalhamento m ´edia. Escoamentos turbulentos apoiam-se em teorias semi-emp´ıricas e em dados experimentais. Turbul ˆencia ´e propriedade do escoamento, n ˜ao do fluido.