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Uma introdução à topologia, com ênfase na definição de espaços topológicos e pontos de acumulação. O autor discute as propriedades de uma topologia sobre um conjunto, descreve diferentes tipos de topologias possíveis em um conjunto e discute a importância de descrever toda a coleção de abertos. Além disso, são apresentados conceitos relacionados, como a base de uma topologia e a topologia gerada por uma base.
O que você vai aprender
Tipologia: Notas de estudo
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Universidade Federal de S˜ao Carlos Centro de Ciˆencias Exatas e de Tecnologia Departamento de Matem´atica
Topologia geral ´e a base de conhecimento em v´arias ´areas da Matem´atica. Neste trabalho ser˜ao desenvolvidos temas b´asicos, como: espa¸cos topol´ogicos; base para uma topologia; subespa¸co topol´ogico; e topologia quociente.
Pref´acio vii
1 Espa¸cos Topol´ogicos 1 1.1 Bases para uma Topologia........................... 3 1.2 Topologia da Ordem.............................. 4 1.3 Produto sobre o Cartesiano X × Y...................... 5 1.4 Subespa¸cos Topol´ogicos............................. 5 1.5 Fecho e Interior de um conjunto........................ 6 1.6 Fun¸c˜oes Cont´ınuas............................... 8 1.7 Topologia Quociente.............................. 9
v
vi SUM ARIO´
O conceito de espa¸co topol´ogico nasceu do estudo da reta real, espa¸co euclidiano e fun¸c˜oes cont´ınuas aplicadas sobre esses espa¸cos. Definiremos espa¸co topol´ogico e estudaremos algumas formas de se construir uma topologia sobre um conjunto.
Defini¸c˜ao 1. Dizemos que uma topologia sobre um conjunto X ´e uma cole¸c˜ao τ de sub- conjuntos de X tendo as seguintes propriedades:
O conjunto X nessas condi¸c˜oes ´e chamado de Espa¸co Topol´ogico. Podemos, de outra forma, representar com um par ordenado (X, τ ) sendo um conjunto X e a topologia τ nele.
Dado um conjunto X e uma topologia τ sobre X, dizemos que todo U ∈ τ ´e um aberto de X. Tendo isso em mente, podemos dizer tamb´em que um espa¸co topol´ogico ´e um conjunto X junto a uma cole¸c˜ao de abertos de X, onde ∅ e X s˜ao abertos, qualquer uni˜ao de abertos ´e aberto, e intersec¸c˜oes finitas de abertos s˜ao abertos.
Exemplo 1.1. Seja X um conjunto de quatro elementos. X = {a, b, c, d}, existem v´arias poss´ıveis topologias no conjunto X.
Figura 1.1: τ =
Exemplo 1.2 (Topologia Discreta). Chamamos de Topologia Discreta, a topologia em que todos subconjuntos de X s˜ao abertos, ou seja, todo subconjunto U ⊂ X temos U ∈ τ.
Exemplo 1.3 (Topologia Ca´otica). Chamamos de Topologia Ca´otica, a topologia em que somente ∅ e o pr´oprio X s˜ao abertos (est˜ao em τ ) Veja Figura 1.1.
Exemplo 1.4 (Topologia do Complemento Finito). Chamamos de Topologia do Comple- mento Finito, a topologia em que todos subconjuntos U ⊂ X tais que, X \ U ou ´e vazio ou ´e finito.
H´a tamb´em a possibilidade de compararmos duas topologias sobre um mesmo conjunto X. Dizemos que τ ′^ ´e mais fina que τ , se τ e τ ′^ s˜ao duas topologias sobre X, e τ ′^ ⊃ τ. A grosso modo, comparamos dizendo que uma tem mais abertos que a outra.
1.1 Bases para uma Topologia
Como vimos podem existir v´arias topologias sobre um conjunto. Notamos que ´e necess´ario descrever toda a cole¸c˜ao de abertos. Podemos descrever uma cole¸c˜ao de abertos a partir de um cole¸c˜ao menor de abertos, o que iremos chamar de base para uma topologia.
Defini¸c˜ao 2. Dado um conjunto X, chamamos de base para uma topologia τ sobre X, uma cole¸c˜ao β de subconjuntos de X (onde esses subconjuntos s˜ao chamados de ”elementos b´asicos”) tais que:
I) Para todo x ∈ X, existe pelo menos um elemento b´asico que o cont´em.
II) Se x ∈ B 1 ∩ B 2 , onde B 1 ∈ β e B 2 ∈ β, ent˜ao existe B 3 ∈ β, com B 3 ⊂ B 1 ∩ B 2 tal que x ∈ B 3
Da defini¸c˜ao, dizemos que τ ´e uma topologia gerada por essa base β. Um subconjunto U ⊂ X ´e aberto em X se para todo x ∈ U , existir B 1 ∈ β tal que x ∈ B 1 e B 1 ⊂ U.
Teorema 3 (Base). Seja X um conjunto, e seja β uma base para a topologia τ em X. Ent˜ao τ ´e igual a cole¸c˜ao de todas as uni˜oes de elementos b´asicos de β
Demonstra¸c˜ao. Seja U ∈ τ , temos que para todo x ∈ U existe Bx ⊂ β tal que x ∈ Bx e Bx ⊂ U. Temos que U = ∪x∈U Bx. Logo U ´e uma uni˜ao de elementos b´asicos de β.
Sejam duas topologias τ e τ ′^ geradas pelas bases β e β′^ respectivamente. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(I) Para cada x ∈ X, e cada elemento b´asico Bx ∈ β contendo x, existe B x′ ∈ β′^ tal que x ∈ B x′ ⊂ Bx;
(II) τ ′^ ´e mais “fina” que τ.
Exemplo 1.5. Se β ´e uma cole¸c˜ao de todos os intervalos abertos na reta real, (a, b) = {x : a < x < b} , ent˜ao a topologia gerada por essa base ´e chamada de topologia usual da reta.
Defini¸c˜ao 4 (Sub-base). Uma sub-base S para uma topologia em X ´e uma cole¸c˜ao de subconjuntos de X cuja uni˜ao ´e todo o X. A topologia gerada pela sub-base S ´e definida pela cole¸c˜ao τ de todas as uni˜oes de finitas intersec¸c˜oes de elementos de S
1.2 Topologia da Ordem
Se X um conjunto simplesmente ordenado, existe uma topologia natural sobre X, definida pela rela¸c˜ao de ordem e chamada Topologia da ordem. Suponhamos que o conjunto X tenha somente uma rela¸c˜ao de ordem simples <. Dado dois elementos a e b de X, em que a < b, ent˜ao existem quatro tipos de subconjuntos de X, chamados de intervalos, determinados por a e b:
Defini-se uma topologia sobre um conjunto X com uma simples rela¸c˜ao de ordem, considerando β uma cole¸c˜ao de todos os conjuntos dos tipos:
(I) Todos os intervalos abertos (a, b) em X;
(II) Todos intervalos da forma [a 0 , b) em X, onde a 0 ´e o menor elemento de X, se existir.
(III) Todos intervalos da forma (a, b 0 ], onde b 0 ´e o maior elemento de X, se existir.
Temos que a cole¸c˜ao β ´e uma base para uma topologia em X, chamada Topologia da Ordem. Assumimos que X tem mais que um elemento.
Defini¸c˜ao 5. Se X ´e um conjunto ordenado, e a ´e um elemento de X, ent˜ao existem quatro tipos de subconjuntos de X chamados raios, determinados por a:
Os dois primeiros tipos de conjunto s˜ao chamados raios abertos. Eles s˜ao abertos na topologia da ordem sobre X e formam uma sub-base para ela. Pois, se a < b, temos
Note que, se β ´e uma base para a topologia sobre X, ent˜ao a cole¸c˜ao βY = {B ∩ Y |B ∈ β} ´e uma base para τY.
Proposi¸c˜ao 7. Seja Y um subespa¸co de X. Se U ´e aberto em Y e Y ´e aberto em X, ent˜ao U ´e aberto em X.
Demonstra¸c˜ao. Se U ´e aberto em Y , ent˜ao U ´e da forma U = V ∩ Y , para algum V aberto em X. Por´em temos que Y ´e aberto em X, portanto U ´e interse¸c˜ao de abertos de X. Logo U ´e aberto (U ∈ τX ).
Defini¸c˜ao 8 (Conjuntos Fechados). Um subconjunto A de um espa¸co topol´ogico X, ´e dito fechado se e somente se seu complementar ´e aberto. Ou seja, X \ A ´e aberto.
Exemplo 1.7. O conjunto [a, b] ´e fechado em R, pois R \ [a, b] = (−∞, a) ∪ (b, +∞) que ´e um aberto de X.
Um conjunto pode ser aberto, fechado, aberto e fechado ou nenhum dos dois.
Exemplo 1.8. Seja Y = (0, 2) ∪ (3, 5) ⊂ R, e seja (Y, τY ), com topologia de subespa¸co.
Com esse conceito e poss´ıvel definir espa¸cos topol´ogicos utilizando a defini¸c˜ao de fe- chados. Seja X um espa¸co topol´ogico, ent˜ao temos que:
1.5 Fecho e Interior de um conjunto
Defini¸c˜ao 9. Dado um subconjunto B de um espa¸co X, temos:
Podemos dizer que o interior de um conjunto ´e o maior aberto contido nele, e o fecho ´e o menor fechado que o cont´em. Note que B˚ ´e aberto, que B¯ ´e fechado e temos
B^ ˚ ⊂ B ⊂ B.¯
Se B ´e aberto ent˜ao B˚ = B e se B ´e fechado ent˜ao B¯ = B.
Proposi¸c˜ao 10. Seja A um subconjunto de um espa¸co topol´ogico X. Suponha que a topologia ´e dada por uma base β, ent˜ao x ∈ A¯ se e somente se todo elemento b´asico que cont´em x intercepta A.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que existe uma vizinhan¸ca b´asica Ux de x, x ∈ Ux ∈ β , tal que Ux ∩ A = ∅. Logo A ⊂ U (^) xc. Como U (^) xc ´e fechado e A¯ ´e o menor fechado que cont´em A, temos que A¯ ⊂ U (^) xc. Mas x ∈ A¯ ent˜ao x ∈ U (^) xc, o que contradiz que x ∈ Ux. Assuma agora que todo elemento b´asico que cont´em x intercepta A. Suponha que exista um fechado V ⊃ A, x 6 ∈ V. Ent˜ao, x ∈ V c, onde V c^ ´e aberto, e existe um aberto b´asico Vx ∈ β, com Vx ∩ A = ∅. Como Vx ∩ A = ∅ ent˜ao V c^ ∩ A = ∅ o que contradiz o fato de x 6 ∈ V , pois x ∈ V c^ ∩ A, x ∈ A ⊂ V.
Defini¸c˜ao 11. Dizemos se um aberto U que cont´em x ∈ X ´e “vizinhan¸ca”de x. Logo, a defini¸c˜ao de A¯ pode ser da forma: x ∈ A¯ se, e somente se, toda vizinhan¸ca de x intercepta A.
Defini¸c˜ao 12 (Pontos de acumula¸c˜ao). Dado um subconjunto A de um espa¸co topol´ogico X, seja x ∈ X, dizemos que x ´e ponto de acumula¸c˜ao de A se toda vizinha de x intercepta o conjunto A em um ponto diferente de x. Denotamos como A′^ o conjunto de todos os pontos de acumula¸c˜ao de A.
Teorema 13. Sejam A um subconjunto de um espa¸co topol´ogico X e, A′^ o conjunto de todos os pontos de acumula¸c˜ao de A. Ent˜ao, vale que A¯ = A ∪ A′.
Demonstra¸c˜ao. Se x ∈ A¯, ent˜ao x ∈ A ou x 6 ∈ A. Para x ∈ A, A¯ ⊂ A. Portanto, A¯ ⊂ A ∪ A′. Agora, se x 6 ∈ A, vamos mostrar que ele necessariamente est´a em A′. Por hip´otese , existe U ∈ τx tal que x ∈ U e U ∩ A 6 = ∅, mas n´os temos agora que x 6 ∈ A, logo U ∩ (A − {x}) 6 = ∅. Ent˜ao x ∈ A′^ por defini¸c˜ao de ponto de acumula¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 14. Um subconjunto de um espa¸co topol´ogico ´e dito fechado se, e somente se, ele contem todos os seus pontos de acumula¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao. Um conjunto A ´e fechado se, e somente se, A = A¯. O teorema anterior mostra que A′^ ⊂ A, pois como A¯ = A ∪ A′, ent˜ao A′^ ⊂ A¯ = A.
Defini¸c˜ao 15 (Hausdorff). Seja X um espa¸co topol´ogico. Definimos X como sendo um espa¸co de Hausdorff, se para todo x 1 e x 2 em X, existem respectivamente duas vizinhan¸cas V 1 e V 2 disjuntas.
Teorema 16. Seja X um espa¸co de Hausdorff, todo conjunto com finitos pontos de X ´e fechado.
Demonstra¸c˜ao. Basta mostrar que todo conjunto unit´ario ´e fechado, pois usando a de- fini¸c˜ao de espa¸co topol´ogico sobre fechados, uni˜ao finita de fechado ´e fechado. Consideremos {x 0 } ⊂ X. Como X ´e de Hausdorff, tomamos um x 6 = x 0 , existem duas vizinhan¸cas disjuntas Ux e Ux 0. Como elas s˜ao disjuntas, Ux ∩ Ux 0 6 = ∅. Logo x n˜ao est´a no fecho de x 0 , para todo x ∈ X, portanto o fecho de {x 0 } ´e o pr´oprio conjunto. Ent˜ao {x 0 } ´e fechado.
Teorema 17. Sejam X um espa¸co de Hausdorff e A um subconjunto de X. Ent˜ao x ´e ponto de acumula¸c˜ao de A se e somente se para todo aberto que cont´em x, tamb´em cont´em infinitos pontos de A.
Exemplo 1.11. A aplica¸c˜ao f : X → Y ´e dita cont´ınua se para todo x ∈ X e toda vizinhan¸ca V de f (x) existir uma vizinhan¸ca Ux de x tal que f (Ux) ⊂ V.
Demonstra¸c˜ao. Seja V um aberto de Y , com f (x) ∈ V. Ent˜ao temos que x ∈ f −^1 (V ), logo existe uma vizinhan¸ca Ux tal que f (Ux) ⊂ V. Com isso temos que f −^1 (V ) pode ser escrito como uni˜ao de abertos, ent˜ao f −^1 (V ) ´e aberto, e f ´e cont´ınua.
Lema 20 (Lema da Colagem). Sejam X = A ∪ B, em que A e B s˜ao fechados em X, e f : A → Y e g : B → Y fun¸c˜oes cont´ınuas. Se f (x) = g(x), para x ∈ (A ∩ B), ent˜{ ao f e g combinam uma fun¸c˜ao h(x) cont´ınua h : X → Y definida por: h(x) =
f (x), se x ∈ A g(x), se x ∈ B
Demonstra¸c˜ao. Seja V um subconjunto fechado de Y , temos que
h−^1 (V ) = f −^1 (V ) ∪ g−^1 (V ),
por teoria dos conjuntos. Agora por hip´otese f ´e cont´ınua, ent˜ao f −^1 (V ) ´e fechado em A, logo fechado em X. Do mesmo modo g−^1 (V ) ´e fechado em X, logo a uni˜ao h−^1 (V ) tamb´em ´e fechado.
1.7 Topologia Quociente
Defini¸c˜ao 21. Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos e seja g : X → Y uma aplica¸c˜ao sobrejetora. Essa aplica¸c˜ao g ´e chamada de aplica¸c˜ao quociente quando um subconjunto U ∈ Y ´e aberto em Y se, e somente se, g−^1 (U ) ´e aberto em X.
Existem duas aplica¸c˜oes especiais dentre as quocientes, que s˜ao chamadas de:
Aplica¸c˜oes Abertas: Seja f : X −→ Y , f ´e uma aplica¸c˜ao aberta se para todo U ∈ τx, f (U ) ∈ τy. Ou seja, imagem de um aberto ´e aberta.
Aplica¸c˜oes Fechadas. f : X −→ Y , f ´e uma aplica¸c˜ao fechada se para todo U fechado em X, f (U )´e fechado em Y. Ou seja, imagem de um fechado for fechado.
Proposi¸c˜ao 22. Seja X um espa¸co topol´ogico, e seja A um conjunto, onde p : X −→ A ´e sobrejetora. Ent˜ao existe somente uma topologia τa relativa a aplica¸c˜ao p que a torna uma aplica¸c˜ao quociente. Esta topologia quociente ´e chamada de topologia induzida por p. A cole¸c˜ao ´e definida de modo que os subconjuntos U ⊂ A tenham imagem inversa p−^1 (U ) ⊂ τx. Essa cole¸c˜ao ´e uma topologia em A.
Demonstra¸c˜ao. • ∅ e A s˜ao abertos, pois p−^1 (∅) = ∅ e p−^1 (A) = X, pois p ´e sobreje- tora.
Exemplo 1.12 (Topologia Quociente). Seja g uma aplica¸c˜ao de R em um conjunto A
de trˆes elementos, A = {a, b, c}, definida por g(x) =
a , se x > 0 b , se x < 0 c , se x = 0 Logo, a topologia em A induzida por g possui como abertos os seguintes conjuntos
∅, A, {a}, {b}, {a, b},
pois temos que
Defini¸c˜ao 23. Seja X um espa¸co topol´ogico e seja X∗^ uma parti¸c˜ao de X, onde X∗^ ´e formado por conjuntos disjuntos cuja uni˜ao ´e todo X. Seja p, uma aplica¸c˜ao sobrejetora, p : X −→ X∗^ onde p leva todos os elementos x de X nos elementos Ux de X∗^ que os cont´em. Considerando sobre X∗^ a topologia quociente induzida por p, o par (X∗, τ ∗) ´e chamado de espa¸co quociente.
Exemplo 1.13. Seja X o retˆangulo [0, 1] × [0, 1]. Definimos uma parti¸c˜ao X∗^ de X da seguinte forma: s˜ao todos os conjuntos (x, y), em que 0 < x < 1 e 0 < y < 1. Podemos ver como conjuntos do tipo:
Os abertos mais comuns em X da forma p−^1 (U ) est˜ao representados na figura 1.7, cada figura representa um aberto de X que ´e igual a uni˜ao das classes de equivalˆencia.
Figura 1.7: Abertos de X
A imagem de cada um desses conjuntos pela aplica¸c˜ao p ´e um aberto de X∗, como indicado na figura 1.8. A descri¸c˜ao de X∗^ ´e um modo diferente de dizer o que expressamos nas figuras, quando “colamos”os v´ertices de um retˆangulo, formando um toro.
