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Introdução à Algebra Linear: Lista de Exercícios 1, Notas de estudo de Álgebra

Uma lista de exercícios relacionados à algebra linear, contendo matrizes e sistemas lineares. Os exercícios abrangem diferentes operações matemáticas, como encontrar formas escalonadas, soluções e determinar se matrizes são simétricas ou ortogonais. Além disso, os exercícios incluem cálculos de potências de matrizes e determinação de inversas.

Tipologia: Notas de estudo

2022

Compartilhado em 07/11/2022

Maracana85
Maracana85 🇧🇷

4.2

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Introdu¸ao `a ´
Algebra Linear - 1alista de exerc´ıcios
Prof. - Juliana Coelho
1 - Ache uma forma escalonada para cada matriz abaixo. (Lembre que a forma escalonada
ao ´e ´unica, ent˜ao vocˆe pode obter uma resposta diferente do gabarito!)
N=µ210
137T=
3 1
0 2
11
P=µ21
84
W=
2202 0
1122 8
0 0 2 3 11
Z=
032233
120731
21 2 0 1 8
1 1 2 7 1 6
0 6 4 2 12
2 - Ache as solu¸oes dos sistemas lineares abaixo.
(a) ½2x+y= 0
x+ 3y= 7
(b)
2x+2y+2w= 0
x+y+2z+2w= 0
2z+3w= 11
(c)
xy+3z= 4
2x+yz= 0
3x+2z= 5
(d)
6x+3yz=1
4xy+z= 3
x2y= 1
3x+3yz=4
(e)
3y+2z+2w+3v= 3
x+2y+7w+3v= 1
2xy+2z+v=8
x+y+2z7w+v= 6
6y+4z+2wv=2
(f)
x+ 2y+z= 0
x+ 4y+ 3z+ 2w= 0
3y+ 2z+w= 0
2x+yw= 0
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Introdu¸c˜ao `a Algebra Linear - 1´ a^ lista de exerc´ıcios

Prof. - Juliana Coelho

1 - Ache uma forma escalonada para cada matriz abaixo. (Lembre que a forma escalonada n˜ao ´e ´unica, ent˜ao vocˆe pode obter uma resposta diferente do gabarito!)

N =

T =

 P =

W =

 Z =

2 - Ache as solu¸c˜oes dos sistemas lineares abaixo.

(a)

2 x + y = 0 −x + 3y = 7

(b)

2 x +2y +2w = 0 x +y +2z +2w = 0 2 z +3w = 11

(c)

x −y +3z = 4 2 x +y −z = 0 3 x +2z = 5

(d)

6 x +3y −z = − 1 − 4 x −y +z = 3 x − 2 y = 1 3 x +3y −z = − 4

(e)

3 y +2z +2w +3v = 3 −x +2y +7w +3v = 1 2 x −y +2z +v = − 8 x +y +2z − 7 w +v = 6 6 y +4z +2w −v = − 2

(f)

x + 2y + z = 0 −x + 4y + 3z + 2w = 0 3 y + 2z + w = 0 2 x + y − w = 0

3 - Considere as matrizes abaixo e fa¸ca o que se pede:

M =

 N =

O =

T =

P =

Q =

R =

S =

(a) Determine quais destas matrizes s˜ao sim´etricas. E antisim´etricas?

(b) Ache a transposta de N e de T ;

(c) Calcule P + Q;

(d) Calcule N · M, P · Q, P · (Q + 2O), T · N, N · T, M · N t.

(e) Uma potˆencia da matriz M ´e um produto da forma M · M ·... · M. Calcule as seguintes potˆencias: M 2 , M 3 e M 4.

(f) Uma matriz quadrada A ´e dita ortogonal se sua transposta ´e igual a sua inversa, isto ´e, se A·At^ = I, onde I ´e a matriz identidade. Quais das matrizes acima s˜ao ortogonais?

(g) Calcule a inversa, quando existir, das matrizes R, P e O.

4 - Considere a matriz

A =

0 2 a − b a + b 0 0 0 0 0

(a) Encontre a e b para que a matriz A seja sim´etrica;

(b) Encontre a e b para que a matriz A seja anti-sim´etrica.

5 - No que segue considere matrizes de ordem 2 × 2. Mostre que: (a) A soma M + M t^ ´e uma matriz sim´etrica;

(b) A diferen¸ca M − M t^ ´e uma matriz anti-sim´etrica;

(Obs.: Os mesmos resultados valem para matrizes de ordem superior.)

6 - Calcule o determinante das matrizes abaixo e decida quais s˜ao invers´ıveis.

M =

 P =

U =

 V =

11 - Determine os valores de a, b ∈ R para os quais o sistema linear abaixo ´e poss´ıvel e resolva este sistema. (^)     

3 x − 7 y = a x + y = b 5 x +3y = 5a + 2b x + y = a + b − 1

12 - Determine os valores de k para os quais cada sistema linear abaixo ´e poss´ıvel e deter- minado; poss´ıvel e indeterminado e imposs´ıvel.

(a)

x + y +kz = 2 3 x +4y +2z = k 2 x +3y − z = 1

(b)

x + y − z = 1 2 x +3y +kz = 3 x +ky +3z = 2

Gabarito:

1 - Fazendo L 1 ↔ L 2 e L 2 → L 2 + 2L 1 temos N ′^ =

Fazendo L 1 ↔ L 3 e L 3 → L 3 − 3 L 1 e L 3 → L 3 − 2 L 2 temos T ′^ =

Fazendo L 2 → L 2 − 4 L 1 temos P ′^ =

Fazendo L 1 ↔ L 2 e L 2 → L 2 − 2 L 1 e L 2 →

−L 2

e L 3 → L 3 − L 2 temos

W ′^ =

Fazendo L 1 ↔ L 2 e L 3 → L 3 + 2L 1 e L 4 → L 4 + L 1 e L 3 → L 3 − L 2 e L 4 → L 4 − L 2 e L 5 → L 5 − 2 L 2 e L 3 ↔ L 4 e L 4 → L 4 + 6L 3 e L 5 → L 5 − L 3 e L 4 →

L 4

e L 5 → L 5 + 4L 4

temos Z′^ =

2 - (a) x = −1 e y = 2. (b) x = −t −

, y = t, z =

e w =

(c) N˜ao existe solu¸c˜oes. (d) x = 1, y = 0 e z = 7. (e) x =

− 16 t − 55 12

, y =

1 − 2 t 3

, x = t, x = −

e x =

(f) x =

s + 2t 3

, y =

− 2 s − t 3

z = s e w = t

3 - (a) A matriz O ´e sim´etrica. Nenhuma delas ´e anti-sim´etrica.

(b) N t^ =

 (^) e T t^ =

(c) P + Q =

(d) N · M =

e P · Q =

e P · (Q + 2O) =

T · N =

 (^) e N · T =

e M · N t^ =

(e) M 2 =

 (^) e M 3 =

 (^) e M 4 =

(f) O e S s˜ao ortogonais. (g) R−^1 =

P n˜ao ´e invers´ıvel pois det(P ) = 0 e O−^1 = O =

4 - (a) A matriz ´e sim´etrica se M = M t, o que nos d´a o sistema { a + b = 2 a − b = 0

que tem como ´unica solu¸c˜ao a = b = 1. (b) A matriz ´e anti-sim´etrica se M = −M t, o que nos d´a o sistema { a + b = − 2 a − b = 0

que tem como ´unica solu¸c˜ao a = b = −1.

5 - (a) Sendo M =

a b c d

ent˜ao temos

X = M −^1 ·

Assim x = 8 e y = − 9. (b) Como a matriz

B =

´e invers´ıvel com inversa

B−^1 =

ent˜ao temos

X = B−^1 ·

Assim x = −1, y = 2 e z = 0. (c) Como a matriz

E =

´e invers´ıvel com inversa

E−^1 =

ent˜ao temos

X = E−^1 ·

Assim x = 6, y = 2, z = −1 e w = −1.

10 - (a) Suponha que Li ´e igual a k·Lj para algum k ∈ R. Fazendo a opera¸c˜ao elementar Li → Li − k · Lj , obteremos uma linha nula, e portanto A n˜ao ser´a invers´ıvel. (b) Fazendo as opera¸c˜oes Li → Li − Lj e Li → Li − Lk, obtemos uma linha nula e portanto A n˜ao ´e invers´ıvel. (c) Sim. Se A ´e desta forma ent˜ao sua transposta AT^ ´e como em (a) ou como em (b) e portanto AT^ n˜ao ´e invers´ıvel. Mas ent˜ao A n˜ao pode ser invers´ıvel pois vimos que se uma matriz ´e invers´ıvel, ent˜ao sua transposta tamb´em ´e. Assim A n˜ao ´e invers´ıvel.

11 - Precisamos montar e escalonar a matriz estendida do sistema:

M =

3 − 7 a 1 1 b 5 3 5 a + 2b 1 1 a + b − 1

1 1 b 0 1 (3b − a)/ 10 0 0 (24a − 12 b)/ 5 0 0 a − 1

 =^ M^

onde realizamos as opera¸c˜oes L 1 ↔ L 2 , L 2 → L 2 − 3 L 1 , L 3 → L 3 − 5 L 1 , L 4 → L 4 − L 1 , L 2 → −L 2 /10 e L 3 → L 3 + 2L 2. Assim, o sistema ser´a poss´ıvel se

a − 1 = 0 e

24 a − 12 b 5

o que nos d´a a = 1 e b = 2. Substituindo estes valores na matriz escalonada, obtemos

M ′^ =

que ´e a matriz estendida do sistema   

 

x + y = 2 y = 1 / 2 0 = 0 0 = 0

que tem como ´unica solu¸c˜ao x = 3/2 e y = 1/2.

12 - (a) Precisamos montar e escalonar a matriz estendida do sistema:

M =

1 1 k 2 3 4 2 k 2 3 − 1 1

1 1 k 2 0 1 2 − 3 k k − 6 0 0 k − 3 3 − k

 = M ′

onde realizamos as opera¸c˜oes L 2 → L 2 − 3 L 1 , L 3 → L 3 − 2 L 1 e L 3 → L 3 − L 2. Logo o sistema ser´a:

  • poss´ıvel e determinado se k − 3 6 = 0, ou seja, k 6 = 3;
  • poss´ıvel e indeterminado se k − 3 = 0 e 3 − k = 0, ou seja, k = 3;
  • imposs´ıvel se k − 3 = 0 e 3 − k 6 = 0, o que nunca ocorre. (b) Precisamos montar e escalonar a matriz estendida do sistema:

M =

2 3 k 3 1 k 3 2

0 1 k + 2 1 0 0 6 − k^2 − k 2 − k

 = M ′

onde realizamos as opera¸c˜oes L 2 → L 2 − 2 L 1 , L 3 → L 3 − L 1 e L 3 → L 3 − (k − 1)L 2. Logo o sistema ser´a: