





Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Os melhores documentos à venda: Trabalhos de alunos formados
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Comunidade
Peça ajuda à comunidade e tire suas dúvidas relacionadas ao estudo
Descubra as melhores universidades em seu país de acordo com os usuários da Docsity
Guias grátis
Baixe gratuitamente nossos guias de estudo, métodos para diminuir a ansiedade, dicas de TCC preparadas pelos professores da Docsity
Uma lista de exercícios relacionados à algebra linear, contendo matrizes e sistemas lineares. Os exercícios abrangem diferentes operações matemáticas, como encontrar formas escalonadas, soluções e determinar se matrizes são simétricas ou ortogonais. Além disso, os exercícios incluem cálculos de potências de matrizes e determinação de inversas.
Tipologia: Notas de estudo
1 / 9
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
1 - Ache uma forma escalonada para cada matriz abaixo. (Lembre que a forma escalonada n˜ao ´e ´unica, ent˜ao vocˆe pode obter uma resposta diferente do gabarito!)
2 - Ache as solu¸c˜oes dos sistemas lineares abaixo.
(a)
2 x + y = 0 −x + 3y = 7
(b)
2 x +2y +2w = 0 x +y +2z +2w = 0 2 z +3w = 11
(c)
x −y +3z = 4 2 x +y −z = 0 3 x +2z = 5
(d)
6 x +3y −z = − 1 − 4 x −y +z = 3 x − 2 y = 1 3 x +3y −z = − 4
(e)
3 y +2z +2w +3v = 3 −x +2y +7w +3v = 1 2 x −y +2z +v = − 8 x +y +2z − 7 w +v = 6 6 y +4z +2w −v = − 2
(f)
x + 2y + z = 0 −x + 4y + 3z + 2w = 0 3 y + 2z + w = 0 2 x + y − w = 0
3 - Considere as matrizes abaixo e fa¸ca o que se pede:
(a) Determine quais destas matrizes s˜ao sim´etricas. E antisim´etricas?
(b) Ache a transposta de N e de T ;
(c) Calcule P + Q;
(d) Calcule N · M, P · Q, P · (Q + 2O), T · N, N · T, M · N t.
(e) Uma potˆencia da matriz M ´e um produto da forma M · M ·... · M. Calcule as seguintes potˆencias: M 2 , M 3 e M 4.
(f) Uma matriz quadrada A ´e dita ortogonal se sua transposta ´e igual a sua inversa, isto ´e, se A·At^ = I, onde I ´e a matriz identidade. Quais das matrizes acima s˜ao ortogonais?
(g) Calcule a inversa, quando existir, das matrizes R, P e O.
4 - Considere a matriz
A =
0 2 a − b a + b 0 0 0 0 0
(a) Encontre a e b para que a matriz A seja sim´etrica;
(b) Encontre a e b para que a matriz A seja anti-sim´etrica.
5 - No que segue considere matrizes de ordem 2 × 2. Mostre que: (a) A soma M + M t^ ´e uma matriz sim´etrica;
(b) A diferen¸ca M − M t^ ´e uma matriz anti-sim´etrica;
(Obs.: Os mesmos resultados valem para matrizes de ordem superior.)
6 - Calcule o determinante das matrizes abaixo e decida quais s˜ao invers´ıveis.
11 - Determine os valores de a, b ∈ R para os quais o sistema linear abaixo ´e poss´ıvel e resolva este sistema. (^)
3 x − 7 y = a x + y = b 5 x +3y = 5a + 2b x + y = a + b − 1
12 - Determine os valores de k para os quais cada sistema linear abaixo ´e poss´ıvel e deter- minado; poss´ıvel e indeterminado e imposs´ıvel.
(a)
x + y +kz = 2 3 x +4y +2z = k 2 x +3y − z = 1
(b)
x + y − z = 1 2 x +3y +kz = 3 x +ky +3z = 2
1 - Fazendo L 1 ↔ L 2 e L 2 → L 2 + 2L 1 temos N ′^ =
Fazendo L 1 ↔ L 3 e L 3 → L 3 − 3 L 1 e L 3 → L 3 − 2 L 2 temos T ′^ =
Fazendo L 2 → L 2 − 4 L 1 temos P ′^ =
Fazendo L 1 ↔ L 2 e L 2 → L 2 − 2 L 1 e L 2 →
e L 3 → L 3 − L 2 temos
Fazendo L 1 ↔ L 2 e L 3 → L 3 + 2L 1 e L 4 → L 4 + L 1 e L 3 → L 3 − L 2 e L 4 → L 4 − L 2 e L 5 → L 5 − 2 L 2 e L 3 ↔ L 4 e L 4 → L 4 + 6L 3 e L 5 → L 5 − L 3 e L 4 →
e L 5 → L 5 + 4L 4
temos Z′^ =
2 - (a) x = −1 e y = 2. (b) x = −t −
, y = t, z =
e w =
(c) N˜ao existe solu¸c˜oes. (d) x = 1, y = 0 e z = 7. (e) x =
− 16 t − 55 12
, y =
1 − 2 t 3
, x = t, x = −
e x =
(f) x =
s + 2t 3
, y =
− 2 s − t 3
z = s e w = t
3 - (a) A matriz O ´e sim´etrica. Nenhuma delas ´e anti-sim´etrica.
(b) N t^ =
(^) e T t^ =
(c) P + Q =
(d) N · M =
e P · Q =
e P · (Q + 2O) =
(^) e N · T =
e M · N t^ =
(e) M 2 =
(^) e M 3 =
(^) e M 4 =
(f) O e S s˜ao ortogonais. (g) R−^1 =
P n˜ao ´e invers´ıvel pois det(P ) = 0 e O−^1 = O =
4 - (a) A matriz ´e sim´etrica se M = M t, o que nos d´a o sistema { a + b = 2 a − b = 0
que tem como ´unica solu¸c˜ao a = b = 1. (b) A matriz ´e anti-sim´etrica se M = −M t, o que nos d´a o sistema { a + b = − 2 a − b = 0
que tem como ´unica solu¸c˜ao a = b = −1.
5 - (a) Sendo M =
a b c d
ent˜ao temos
X = M −^1 ·
Assim x = 8 e y = − 9. (b) Como a matriz
B =
´e invers´ıvel com inversa
ent˜ao temos
X = B−^1 ·
Assim x = −1, y = 2 e z = 0. (c) Como a matriz
´e invers´ıvel com inversa
ent˜ao temos
Assim x = 6, y = 2, z = −1 e w = −1.
10 - (a) Suponha que Li ´e igual a k·Lj para algum k ∈ R. Fazendo a opera¸c˜ao elementar Li → Li − k · Lj , obteremos uma linha nula, e portanto A n˜ao ser´a invers´ıvel. (b) Fazendo as opera¸c˜oes Li → Li − Lj e Li → Li − Lk, obtemos uma linha nula e portanto A n˜ao ´e invers´ıvel. (c) Sim. Se A ´e desta forma ent˜ao sua transposta AT^ ´e como em (a) ou como em (b) e portanto AT^ n˜ao ´e invers´ıvel. Mas ent˜ao A n˜ao pode ser invers´ıvel pois vimos que se uma matriz ´e invers´ıvel, ent˜ao sua transposta tamb´em ´e. Assim A n˜ao ´e invers´ıvel.
11 - Precisamos montar e escalonar a matriz estendida do sistema:
3 − 7 a 1 1 b 5 3 5 a + 2b 1 1 a + b − 1
1 1 b 0 1 (3b − a)/ 10 0 0 (24a − 12 b)/ 5 0 0 a − 1
′
onde realizamos as opera¸c˜oes L 1 ↔ L 2 , L 2 → L 2 − 3 L 1 , L 3 → L 3 − 5 L 1 , L 4 → L 4 − L 1 , L 2 → −L 2 /10 e L 3 → L 3 + 2L 2. Assim, o sistema ser´a poss´ıvel se
a − 1 = 0 e
24 a − 12 b 5
o que nos d´a a = 1 e b = 2. Substituindo estes valores na matriz escalonada, obtemos
que ´e a matriz estendida do sistema
x + y = 2 y = 1 / 2 0 = 0 0 = 0
que tem como ´unica solu¸c˜ao x = 3/2 e y = 1/2.
12 - (a) Precisamos montar e escalonar a matriz estendida do sistema:
1 1 k 2 3 4 2 k 2 3 − 1 1
1 1 k 2 0 1 2 − 3 k k − 6 0 0 k − 3 3 − k
onde realizamos as opera¸c˜oes L 2 → L 2 − 3 L 1 , L 3 → L 3 − 2 L 1 e L 3 → L 3 − L 2. Logo o sistema ser´a:
2 3 k 3 1 k 3 2
0 1 k + 2 1 0 0 6 − k^2 − k 2 − k
onde realizamos as opera¸c˜oes L 2 → L 2 − 2 L 1 , L 3 → L 3 − L 1 e L 3 → L 3 − (k − 1)L 2. Logo o sistema ser´a: