Teorema Fundamental do Cálculo: Funções Definidas por Integrais, Notas de estudo de Cálculo

Baixe Teorema Fundamental do Cálculo: Funções Definidas por Integrais e outras Notas de estudo em PDF para Cálculo, somente na Docsity!

Teorema Fundamental

do Cálculo

Prof. Dr. José Ricardo R Zeni Unesp, FEG, Depto de Matemática Guaratinguetá, setembro de 2019. Direitos Reservados. Reprodução autorizada desde que mencionada a fonte.

Função Definida por uma Integral

Preliminares

Proposição 1: Se f é integrável em [ a, b ] então f é integrável em qualquer intervalo [ a, x ] com a ≤ x ≤ b. Assim, é possível definir uma função F através da integral definida F(x) = 𝑎 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 (função do limite superior de integração, o limite inferior é constante e igual a a )

Função Definida por uma Integral

Exemplos Elementares

1. F(x) = 0 𝑥 𝑡 2 𝑑𝑡 = x 3 /3.
2. F(x) = 0 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = 1 – cos(x).
3. F(x) = 1 𝑥 1 𝑡 𝑑𝑡 = ln(x).
4. F(x) = 0 𝑥 (^1) 1 + 𝑡 2 𝑑𝑡 = arctan(x).

Função Definida por uma Integral

Exemplo – Integrando Descontínuo em x=

Seja f f(x) = 0 , 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 1 1 , 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 Então F(x) = 0 𝑥 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 0 , 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 1 𝑥 − 1 , 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 F é contínua em x = 1.

Função Definida por uma Integral

Exemplos – Funções Especiais 1

1. Função Erro erf(x) = 2 π 0 𝑥 𝑒𝑥𝑝(−𝑡 2 )𝑑𝑡 y = exp(- x 2 ) y = erf(x)

Função Definida por uma Integral

Exemplos – Funções Especiais 2

2. Função Seno Integral Si(x) = 0 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡

y = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑥 y = Si(x)

Teorema Fundamental do Cálculo

Parte 1 – Argumentação

Lembrando da definição da derivada 𝑑 𝑑𝑥 F(x) = lim ∆𝑥 → 0 ∆𝐹 ∆𝑥 Sendo ∆F = F(x + ∆x) – F(x) = 𝑥 𝑥+∆𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 Obs. ∆F ≈ f(x). ∆x área de um retângulo y = f(t) base ∆x e altura f(x)

Teorema Fundamental do Cálculo

Parte 2 – Cálculo da Integral Definida

Teorema: Seja G(x) uma primitiva qualquer de f(x), isto é, dG/dx = f(x). Então 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐺 𝑏 − 𝐺 𝑎. Demonstração Se F(x) = 𝑎 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 então 𝑑𝐹/𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 , E também 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎. Lembrando que se dG/dx = dF/dx então G(x) = F(x) + c. Assim, G(b) – G(a) = F(b) – F(a).

Exemplos e Exercícios Thomas, 11ª edição, capítulo 5, seção 4.

• Cálculo de Integrais Definidas (usando o TFC) Exemplo 5a-c. Exercícios 1 a 34.
• Derivada da integral (em relação aos limites de integração) Exemplo 3a-e, 4. Exercícios 35 a 50.
• Cálculo da Área de regiões finitas usando integrais. Exemplos 6, 7 e 8. Exercícios 51 a 60.