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Matemática básica

para Ciencias de la

Salud

Función cuadrática Análisis de una función cuadrática

Funciones básicas

FUNCIONES BÁSICAS Función Cuadrática. Análisis de una función cuadrática. Función Exponencial. Análisis de una función exponencial. Función Logarítmica. Análisis de una función logarítmica.

Se llama función cuadrática a toda función de la forma:

𝟐

2 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑜. −2𝑥 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 y 5 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

Ejemplo : Graficarla función:

2. Como a = 1 (positivo), entonces la parábola abre hacia arriba 2 f ( ) x  x  6 x  5

Donde h k

V

1. Hallamos el V(h,k) h = − 6 2 ( 1 )

= − 3 𝑘 = (− 3 )^2 + 6(-3) + 5 = - 4

3 ) Hallamos las intersecciones (si es que lo hubiese): Intersección con el eje “x”: y=f(x)= 0 ; es decir: x 2

• 6 x + 5 = 0 Al resolver se obtiene: x = - 1 y x = - 5 ; Son las soluciones de la ecuación, por ello se obtiene los puntos: Intersección con el eje “y”: x = 0 2

 f (0)  (0  3)  4 ^ f (0)^ ^5

( 1;0) ( 5;0) y   

 se int er sec ta en : (0;5)

Cóncava hacia arriba.

Vértice

Intersecciones con el eje x

4. Graficando. : 3, 4 ( 3, 4) Donde h k V        

Intersecciones con el eje “y”

b) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2

• 4 𝑥 + 3 2 , ( ) 2 4 b b h k f h c a a      ∗ 𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒: 𝑉(ℎ, 𝑘) 2 4 2 2(1) ( ) ( 2) 4( 2) 3 1 h k f h             Tenemos el vértice: (-2,-1)

• Para hallar la intercepción en los eje ‘x’: F(X)= 𝑥^2 + 4 𝑥 + 3 =0 => => ( 1, 0) ( 3, 0)  
• La concavidad depende del termino cuadrático
• Para hallar la intercepción en los eje ‘y’ , x= 𝑓 0 = 02 + 4 ( 0 ) + 3 = 3 ∴ 𝑠𝑒 int𝑒𝑟sec𝑡𝑎 𝑒𝑛: ( 0 ; 3 )

a  0 cóncava hacia arriba

1 2 ( 1)( 3) 0 1 3 X X X X       

2 ) Graficar las siguientes funciones y señale su dominio y rango. a) 𝑓 𝑥 = −𝑥^2 − 2 𝑥 + 3 2 , ( ) 2 4 b b h k f h c a a      ∗ 𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒: 𝑉(ℎ, 𝑘) 2 2 1 2( 1) ( ) ( 1) 2( 1) 3 4 h k f h               Tenemos el vértice: (-1,4) ∗ 𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 D(F) = IR ∗ 𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 D(F) = <−∞, 4 ] b) 𝑓 𝑥 = 𝑥^2 + 4 𝑥 + 3 2 , ( ) 2 4 b b h k f h c a a      ∗ 𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒: 𝑉(ℎ, 𝑘) 2 4 2 2(1) ( ) ( 2) 4( 2) 3 1 h k f h             Tenemos el vértice: (-2,-1) ∗ 𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 D(F) = IR ∗ 𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 D(F) = [-1,∞ >

4 ) Una función cuadrática de la forma y=ax^2 +bx+ 1 toma el valor 7 para x = − 1 y toma el valor de 49 para x = 2. Determina esta función. 2

6 .........(I)

y a b

a b

a b

2 (2) (2) 1 49 4 2 1 24 2 .........(II) y a b a b a b         Solución :

a b

a b

a

a

b

De I y II : La función es : y=10x^2 +4x+

5 ) Se tiene una función cuadrática de la forma Solución : 2 f ( ) x   x  3 mx  m  11

. Hallar el valor de ‘m’ si pasa por el punto ( 2 ,- 8 ) 2 Dato : (2) 8 (2) (2 ) 3 (2) 11 8 4 6 11 8 7 15 7 7 1 f f m m m m m m m                  

Determinar la gráfica correspondiente a: