Universidade Federal de Uberlândia – UFU
Faculdade de Engenharia Elétrica – FEELT
ELETROMAGNETISMO
Apostila de Exercícios Resolvidos
Curso de Graduação
Prof. Dr. Geraldo Caixeta Guimarães
Agosto/2001
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Indrodução ao Eletromagnetismo, Esquemas de Eletromagnetismo
Curso que aborda a teoria básica dos campos elétricos, da densidade de fluxo elétrico, a Lei de Gauss, os potenciais e correntes elétricas, todos da Eletrostática e Eletrodinâmica, são apresentados em seqüência até se chegar nas formulações da Equações de Poisson e Laplace. Já dentro do Magnetismo, considera-se primeiramente a teoria básica dos campos magnéticos, abordando importantes princípios como a Lei de Biot-Savart e a Lei Circuital de Ampère. Vários conceitos do Eletromagnetismo são então introduzidos, culminando com o estudo dos campos baseados nas equações de Maxwell, o qual justifica as aproximações que conduzem a teoria de circuitos elétricos.
Tipologia: Esquemas
Antes de 2010
1 / 146
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Universidade Federal de Uberlândia – UFU
Faculdade de Engenharia Elétrica – FEELT
ELETROMAGNETISMO
Apostila de Exercícios Resolvidos
Curso de Graduação
Prof. Dr. Geraldo Caixeta Guimarães
Agosto/
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
FFOORRMMUULLÁÁRRIIOO GGEERRAALL i
SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS,
CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS
Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas
Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas
Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas
SISTEMA (^) Cartesiano Cilíndrico Esférico
Cartesiano
z z
y y
x x
z z
y sen
x cos
z rcos
y rsen sen
x rsen cos
Cilíndrico
z z
tan (y/x) 0 2
x y 0
- 1
2 2
z z
z rcos
rsen
Esférico
tan y/x 0 2
tan x y z 0
r x y z r 0
- 1
- 1 2 2
2 2 2
tan z 0
r z r 0
- 1
2 2
r r
Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
FFOORRMMUULLÁÁRRIIOO GGEERRAALL iii
FÓRMULAS MATEMÁTICAS
DIVERGÊNCIA
CARTESIANAS:
z
z
D
y
y
D
x
x
D
D
CILÍNDRICAS:
z
z
1 ( D ) 1 D D
D
ESFÉRICAS:
D
rsen
(D sen ) 1
rsen
r
r
(r D
r
2
2
D
GRADIENTE
CARTESIANAS: x y z
z
V
y
V
x
V
V a a a
CILÍNDRICAS: z z
V 1 V V
V a a a
ESFÉRICAS:
a a a
V
rsen
V 1
r
r
V
V (^) r
LAPLACIANO
CARTESIANAS:
2
2
2
2
2
2
2
V
V
x
V
y
V
z
CILÍNDRICAS:
2 2
2
2
2
2
V
V V V
z
ESFÉRICAS:
2 2
2 2 2 2
2
2
V
r r^
r
V
r (^) r
V
r
V
sen
sen sen
ROTACIONAL
CARTESIANAS: z
y x y
x z x
z y
y
H
x
H
x
H
z
H
z
H
y
H
H a a a
CILÍNDRICAS:
z
z z
H 1 H H
z
H
z
1 H H
H a a a
ESFÉRICAS:
H a a
r
H rH
rsen
r
H sen H 1
rsen
(^1) r r
a
H
r
rH
r
1 r
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
FFOORRMMUULLÁÁRRIIOO GGEERRAALL iv
FÓRMULAS E PARÂMETROS IMPORTANTES
AS 4 EQUAÇÕES DE MAXWELL
Forma Pontual Forma Integral
t
B
E
S
B
E L d t
d S
d t
J J
D
H J
S
D
H L d t
d I S
D v
d dv S vol^ v
D ^ S
B 0
d 0 S
B ^ S
CONDIÇÕES DE CONTORNO ENTRE 2 MEIOS OU REGIÕES
Componentes tangenciais: Et1 = Et2 Ht1 – Ht2 = k
Componentes normais: Dn1 – Dn2 = S Bn1 = Bn
PERMISSIVIDADES DO ESPAÇO LIVRE OU VÁCUO
Permissividade elétrica do vácuo:
36
10 8 , 854 10
9 12
o [F/m]
Permissividade magnética do vácuo: o
7
[H/m]
EQUAÇÕES IMPORTANTES
Lei de Gauss: Qinterna S D d S
Teorema da Divergência: d dv S vol^
D^ ^ S D
Equação de Poisson:
2 V
v
Equação de Laplace:
2 V 0
Lei de Biot-Savart:
2 4 R
I d L a R H
onde Id L K dS J dv
Lei Circuital de Ampère: enlacada H ^ d L I
Teorema de Stokes: H d L H d S S
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
FORMULÁRIO GERAL vi
FORMULÁRIO DE DERIVADAS
#
u e v são funções de x; c, a e n são constantes arbitrárias.
1. a 0 dx
d
2. c x c dx
d
3.
n n 1 cx cnx dx
d (^)
4.
2 x
x dx
d
5. dx
du
n u
u dx
d
n n 1
n
6. dx
dv
dx
du u v dx
d
7. dx
du cu c dx
d
8. dx
du v dx
dv uv u dx
d
2 v
u dx
dv v dx
du
v
u
dx
d
10. dx
du u nu dx
d (^) n n 1
11. dx
du a a a dx
d (^) u u ln
12. dx
dv u u dx
du u vu dx
d (^) v v 1 v ln
13. dx
du
du
df f u dx
d
14. a 0 ,a 1 dx
du
u
log e log u dx
d (^) a a
15. dx
du
u
u dx
d ln
16. dx
du senu cosu dx
d
17. dx
du cosu senu dx
d
18. dx
du tgu sec u dx
d (^2)
19. dx
du cotgu cosec u dx
d (^2)
20. dx
du secu secutgu dx
d
21. dx
du cosecu cosecucotgu dx
d
22. dx
du
1 u
arcsenu dx
d
2
23. dx
du
1 u
arccosu dx
d
2
24. dx
du
1 u
arctgu dx
d
2
25. dx
du
1 u
arccotgu dx
d
2
26. dx
du
u u 1
1 arcsecu dx
d
2
27. dx
du
u u 1
1 arccosecu dx
d
2
dx
du
du
dy
dx
dy (Regra de Chain)
29. dz z
F
dy y
F
dx x
F
dF
(Diferencial total de F(x,y,z))
F y
F x
dx
dy F( x,y) 0
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
FORMULÁRIO GERAL vii
FORMULÁRIO DE INTEGRAIS
#
u e v são funções de x; C, a e n são constantes arbitrárias.
1. f xdx f(x ) dx
d
2. u vdx udxvdx C 3. a udx audxC 4. C n 1 n 1
u u du
n 1 n
5. uC u
du ln
6. e du e C
u u
7. C a 0 ,a 1 a
a a du
u u ln
8. senudu cosuC 9. cosudu senuC 10. tg udu ln cosuC ln secuC 11. cotg udu ln senuC ln cosecuC 12. sec udu ln secutguC
C
u tg (^)
ln
13. cosec udu ln cosecucotguC
= C
u tg (^)
ln
14. C 4
sen 2 u
u sen udu
2
15. C 4
sen 2 u
u cos udu
2
16. sec udu tguC
2
17. cosec udu cotguC
2
18. tg udu tguuC
2
19. cotg udu cotguuC
2
20. secutgudu secuC 21. cosecucotgudu cosecuC
22. C
a
u arctg a
u a
du
2 2
23. C
u a
u a
2 a
u a
du
2 2
ln
24. C
a u
a u
2 a
a u
du
2 2
ln
25. C
a
u arcsen
a u
du
2 2
26. u u a C
u a
du (^22)
2 2
ln
27. u u a C
u a
du (^22)
2 2
ln
28. C
a
u arcsec a
u u a
du
2 2
29. C
u
a u a
a
u u a
du
2 2
2 2
ln
30. C
u
a a u
a
u a u
du
2 2
2 2
ln
C
u a
u
a
1
u a
du
2 23 /^2222
2 2 2 2 a u 2
u a^ u du
C
a
u arcsen 2
a
2
2 2 2 2 u a 2
u u^ a du
u u a C
2 2 ln
34. (^) udv uvvdu (Integração por partes)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
FFOORRMMUULLÁÁRRIIOO GGEERRAALL vii
FORMULÁRIO DE INTEGRAIS
#
(^) u e v são funções de x; C, a e n são constantes arbitrárias.
1. f xdx f(x )
dx
d
2. u vdx udx vdx C 3. a udx a udxC 4. C ^ n 1 n 1
u u du
n 1 n
5. ^ uC u
du ln
6. e^ du^ e C
u u
7. C a^0 ,a 1 a
a a du
u u ln
senudu cosuC
9. cosudu^ senuC 10. tg^ udu ln cosuC ln secuC 11. cotg^ udu ln senuC ln cosecuC 12. sec^ udu^ ln secutguC
C
u tg (^)
ln
13. cosec^ udu^ ln cosecucotguC
= C
u tg (^)
ln
14. ^ C 4
sen 2 u
u sen udu
2
15. C 4
sen 2 u
u cos udu
2
16. sec^ udu^ tguC
2
17. cosec^ udu^ cotguC
2
18. tg^ udu^ tguuC
2
19. cotg^ udu^ cotguuC
2
20. secutgudu^ secuC
cosecucotgudu cosecuC
22. C
a
u arctg a
u a
du
2 2
23. C
u a
u a
2 a
u a
du
2 2
ln
24. C
a u
a u
2 a
a u
du
2 2
ln
25. C
a
u arcsen
a u
du
2 2
26. u u a C
u a
du (^22)
2 2
ln
27. u u a C
u a
du (^22)
2 2
ln
28. C
a
u arcsec a
1
u u a
du
2 2
29. C
u
a u a
a
u u a
du
2 2
2 2
ln
30. C
u
a a u
a
u a u
du
2 2
2 2
ln
C
u a
u
a
1
u a
du
2 23 /^2222
2 2 2 2 a u 2
u a u du
C
a
u arcsen 2
a
2
2 2 2 2 u a 2
u u a du
u u a C
2 2 ln
34. (^) udv^ uvvdu (Integração por partes)
- Página 1.1 –
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO
CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 – – AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL
CAPÍTULO 01
ANÁLISE VETORIAL
1.1) Um vetorB
é dado por: B a x 2 a y 3 a z
. Determine um vetor A
de módulo igual
a (^) 3 e componente x unitária de modo queA
eB
sejam perpendiculares entre si.
Resolução:
Dados:
3 x 1
x y z
x y z
x y z
A B A
A a a a
B a a a
A 3
2
- y
2
- z
2 = 3 (02)
A B
^ A B 0
1 + 2y + 3z = 0 (03)
De (03) : 2
3 z 1 y
Substituindo (04) em (02), temos:
z 3 13 z 6 z 7 0 4
9 z 6 z 1 z 3 1 2
3 z 1 1
2 2
2 2
2
a raiz 13
z 1 (05)
a raiz: z 2 1 (06)
Substituindo (05) em (04) , temos:
y 2
y 1 1
Substituindo (06) em (04) , temos:
y 1 2
y 2 2
Substituindo (05) e (07) em (01) , temos:
1 x y z 13
A a a a
Substituindo (06) e (08) em (01) , temos:
A (^) 2 a x a y a z
- Página 1.3 –
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO
CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 – – AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL
Cz ( ) C z
C ( ) sen cos C ,
C ( ) cos sen C ,
z x y z z
x y z
x y z
C a a a a a
C a a a a a
C a a a a a
C a a az
(^) 0 , (^555) 4 , (^438) 4
1.3) Um campo vetorial é definido no ponto P ( = 20, = 120 o , z = 10) como
sendo:V 4 a 3 a 5 a z
. Determinar:
a) a componente vetorial deV
normal à superfície = 20 ;
b) a componente vetorial deV
tangente à superfície = 120
o ;
c) a componente vetorial deV
na direção do vetor
R 6 a (^) 8 a ;
d) um vetor unitário perpendicular a V
e tangente ao plano = 120
o ;
e) o vetorV
no sistema de coordenadas cartesianas;
Resolução:
a)
Dados:
V 4 a 3 a 5 a z
em P ( = 20, = 120
o , z = 10).
Sabe-se que V VN VT
e que VN V a a
Portanto: VN a a a a a VN a
[( 4 3 (^5) z ) ] 4
b)
Dados:
V 4 a 3 a 5 a z
em P ( = 20, = 120 o , z = 10).
Sabe-se que V VN VT
e que VN V a a
Cálculo de VN
:
V a a a a a V a
V V a a
N N
N
4 3 (^5) z 3
[( ) ]
- Página 1.4 –
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO
CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 – – AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL
Cálculo de VT
:
V (^) T V VN 4 a 3 a 5 a z 3 a VT 4 a 5 a z
( )
c) Dados: R a a
VR V a R a R
( ) , onde
a a a
a a
R
R
a
R R ,^ ,
V (^) R a a a a a a a VR a a
[( 4 3 (^5) z )( 0 , 6 0 , 8 )]( 0 , 6 0 , 8 ) 2 , 88 3 , 84
d) Seja A a a z a z
A (^) A A o vetor procurado.
Pelas condições apresentadas, temos:
1 ,pois éum versor
0 ,pois
0 ,pois étangenteaoplano 120
A A
A V A V
A
A
De (01) , conclui-se que A a z a z
A A (04)
De (02) , conclui-se que:
A V (A a Az a z)( 4 a (^) 3 a 5 a z) 4 A 5 Az 0
(05)
De (03) , conclui-se que 1
2 z
2 A A (06)
De (05) : 4
A (^) Az (07)
Substituindo (07) em (06), temos:
z
2 z
2 A (^) z A A , (08)
Substituindo (08) em (07) , temos:
A 0 , 781 (09)
Substituindo (08) e (09) em (01) , temos:
A 0 781 a 0625 a z
e) Cálculo das componentes, em coordenadas cartesianas, do vetor V
z z z
y y z y y
x x z x x
V ( ) V
V ( ) sen cos sen cos V ,
V ( ) cos sen cos sen V ,
V az a a a a z
V a a a a a
V a a a a a
V 4 598 a x 1964 a y 5 a z
(^) , ,
- Página 1.6 –
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO
CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 – – AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL
Substituindo (08) em (07) , temos:
(^2) y a (09)
Substituindo (08) e (09) em (04) , temos:
2 ^2 y z 5
a a a
b) Seja z z
y 3 y
a (^) (^3 3) x a x 3 a a
a a a o vetor procurado.
Pelas condições apresentadas, temos:
1 ,pois éum versor
,pois aoplanoformadopor e
3 3
3 1 2 3 1 2
a a
a a a a a a
De (01) , conclui-se que
3 x y z
x y z
3 15
4 5
15
2 5
15
4 5
15
5
5
5 5
2 5 0
3
2 3
1 3
(^2) a a a a
a a a
a
Logo: 3 (^5) x (^2) y (^4) z 15
a a a a
1.5) Determinar:
a) qual é a componente escalar do vetor E y a x x a y
no ponto P (3, -2, 6 ) que está
apontada para o ponto Q (4, 0, 1 ) ;
b) qual é a equação (escalar) da linha no plano z = 0 que é perpendicular ao vetor
A 3 a x 4 a y
e passa através do ponto P (1, 5, 0 )?
Resolução:
a)
Definições:
E P
é o vetor dado E
no ponto P E (^) P y a x x a y E P 2 a x 3 a y
PQ é um vetor dirigido do ponto P para o ponto Q.
Q
EP é a componente escalar de E P
na direção de E PQ
a PQ.
é o vetor unitário de PQ
- Página 1.7 –
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO
CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 – – AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL
Cálculo de a PQ
(^2 5) x y z
PQ
x y z PQ
a a a a
a a a
PQ
PQ
a
Cálculo de
Q
P
E :
E
E E 2 3
Q
P
x y z x y Q
P PQ P Q
P
a a a E a a a
b)
Seja v x 1 a x y 5 a y
( ) ( ) o vetor dirigido de P para Q (vetor na direção da linha).
Mas v A
A v 0
( 3 a (^) x (^) 4 a y)[(x 1 ) a x(y 5 ) a y] 0 3 (x 1 ) 4 (y 5 ) 0 3x-4y 17 0
Assim, 3x-4y+17=0 é a equação da linha no plano z = 0 que é perpendicular ao vetor A
e
passa pelo ponto P
1.6) Encontrar o vetor em coordenadas:
a) cartesianas que se estende de P ( = 4, = 10
o , z = 1) a Q ( = 7, = 75
o , z = 4).
b) cilíndricas no ponto M ( x = 5, y = 1, z = 2) que se estende até N ( x = 2, y = 4, z = 6).
Resolução:
a) Dados:
Q 7 75 z 4
P 4 10 z 1
Definindo PQ como o vetor, em coordenadas cartesianas , que
estende-se do ponto P ao ponto Q, temos:
PQ OQ OP x a x y a y z a z
PQ PQ PQ , onde OQ é
o vetor dirigido da origem ao ponto Q e OP é o vetor dirigido
da origem ao ponto P.
Cálculo do vetor OP :
OP ax ay az
OPx OPy OPz , onde:
z 1
z z
y y
x x
OP OP
OP sen sen OP
OP cos cos OP
OP ax ay az
- Página 1.9 –
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO
CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 – – AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL
1.7) Sejam os pontos P ( 3, -4, 5 ) e Q ( 1, 2, 3 ) e W
um vetor localizado no ponto P cuja
magnitude seja igual à distância entre P e Q. Determine o vetorW
apontado para Q :
a) no sistema de coordenadas cartesianas;
b) no sistema de coordenadas cilíndricas;
c) no sistema de coordenadas esféricas.
Resolução:
No ponto P, temos:
x y z
z 07071 ;
x y z
x y 135 ; z
arctg
x 08 ;
y 5313 ; x
y arctg
x y 5
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
sen , cos ,
, sen , cos ,
a) W (^) x a x y a y z a z
W W W
W 1 3 a x 2 4 a y 3 5 a z W 2 a x 6 a y 8 a z
(^) ( ) ( ( )) ( ( ))
b) W a a z a z
(^) W (^) W W
Cálculo das componentes, em coordenadas cilíndricas, do vetor W
z z x y z z z
x y z
x y z
W ( ) W
W ( ) sen cos ( ,) (, ) W
W ( ) cos sen (,) ( ,) W
W a a a a a
W a a a a a
W a a a a a
W 6 a 2 a 8 a z
c) W a a a
Wr (^) rW W (01)
Cálculo das componentes, em coordenadas esféricas, do vetor W
W ( ) W sen cos
W ( ) W cos cos cos sen sen
W ( ) W sen cos sen sen cos
x y z
x y z
r r x y z r r
W a a a a a
W a a a a a
W a a a a a
- Página 1.10 –
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO
CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 – – AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL
Substituindo (01) em (02) , temos:
Wr 2 ( 0 , 7071 )( 0 , 6 ) 6 ( 0 , 7071 )( 0 , 8 ) 8 ( 0 , 7071 )Wr 9 , 90 (05)
Substituindo (01) em (03) , temos:
W 2 ( 0 , 7071 )( 0 , 6 ) 6 ( 0 , 7071 )( 0 , 8 ) 8 ( 0 , 7071 )W 1 , 41^ (06)
Substituindo (01) em (04) , temos:
W 2 ( 0 , 8 ) 6 ( 0 , 6 ) W 2 (07)
Substituindo (05) , (06) e (07) em (01) , temos:
W a a a
(^) 9 , (^90) r 1 , 41 2
1.8) Um campo vetorial é definido no ponto P ( r = 10, = 150
o , = 60
o ) como sendo:
G a a a
(^) (^3) r 4 5. Determinar:
a) a componente vetorial deG
normal a superfície r = 10 ;
b) a componente vetorial deG
tangente ao cone = 150
o ;
c) a componente vetorial deG
na direção do vetorR a a
(^6) r 8 ;
d) um vetor unitário perpendicular aG
e tangente ao plano = 60
o ;
Resolução:
a) Dados:
G a a a
(^3) r 4 5 em P ( r = 10, = 150
o , = 60
o ).
Sabe-se que G^ GN GT
e que G^ N G a r a r
(^ ).
Portanto:
G (^) N 3 a r 4 a 5 a a r a r GN 3 a r
[( ) ]
b)
Dados:
G a a a
(^3) r 4 5 em P ( r = 10, = 150 o , = 60 o ).
Sabe-se que G GN GT
e que G (^) N G a a
Cálculo de GN
:
G (^) N G a a a a a a a GN a
( ) [( (^3) r 4 5 ) ] 4