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Fundamentos da

Mecânica dos

Sólidos e das

Estruturas

Paulo de Mattos Pimenta

Professor Titular do

Departamento de Estruturas e Fundações da

Escola Politécnica da Universidade de São Paulo

São Paulo

À Ciça e ao

Leandro

ii

culo Variacional, que é condição sine qua non para o entendimento das formulações integrais

da Mecânica dos Sólidos e das Estruturas, as quais são empregadas na forma de teoremas tão

importantes como o Teorema dos Trabalhos Virtuais e na formulação de métodos aproxima-

dos de solução como o Método dos Elementos Finitos. Trata-se de uma parte da Matemática

que geralmente não é abordada em cursos de graduação de Engenharia.

Nos quatro capítulos seguintes os fundamentos da Mecânica dos Sólidos Deformáveis são

apresentados. No Capítulo 6, expõe-se a Cinemática dos Sólidos Deformáveis, utilizando-se o

ferramental matemático do Capítulo 2 em toda a sua potencialidade. No Capítulo 7, os Princí-

pios da Mecânica são reapresentados ao leitor, inicialmente para os pontos materiais, a seguir

para os sólidos rígidos e finalmente para os sólidos deformáveis. No Capítulo 8 a Estática e

Dinâmica dos Sólidos são descritas. O conceito de tensão é discutido com profundidade e as

Equações do Movimento e do Equilíbrio são deduzidas. No Capítulo 9, uma introdução à Te-

oria das Equações Constitutivas é elaborada, completando os conhecimentos básicos necessá-

rios para a compreensão da moderna Mecânica dos Sólidos e das Estruturas.

Nos capítulos finais diversas aplicações da Mecânica dos Sólidos Deformáveis são apresenta-

das, como a Teoria Linear da Elasticidade, a Teoria Não-linear da Elasticidade, a Teoria da

Plasticidade, a Teoria da Viscoelasticidade e a Teoria da Estabilidade. É óbvio que tais apli-

cações são expostas em caráter preliminar, não se almejando uma apresentação completa so-

bre o assunto. Elas servem para ilustrar o poder da Mecânica dos Sólidos na resolução de pro-

blemas da Teoria das Estruturas.

Devo o meu agradecimento aos alunos que me ajudaram a preparar este texto, em particular

com figuras, exercícios, correções e sugestões. Sem ser exaustiva, a lista de meus credores

contém o Eduardo de Moraes Barreto Campello, o Elivaldo Elenildo da Silva, o Evandro Ros-

si Dasambiagio e o Hudson Chagas dos Santos.

Aproveito o ensejo para agradecer ao CNPq, que tem me apoiado com uma bolsa de Pesqui-

sador, em nível 1, desde 1996, e ao Professor Peter Wriggers, chefe da cadeira de Mecânica

Estrutural e Computacional da Universidade de Hannover, que me proporcionou dois estágios

como Professor Visitante em 2002. Esta cadeira é sucessora da Cadeira de August Ritter, co-

nhecido dos alunos de Resistência dos Materiais pelos seus trabalhos no século XIX sobre o

cálculo de treliças. Agradeço também aos Professores Balthasar Novak e Wolfgang Ehlers da

Universidade de Stuttgart, respectivamente do Instituto de Projeto de Estruturas Leves e do

Instituto de Mecânica Estrutural, que me convidaram para um estágio de pós-doutorado nesta

renomada instituição. Sou também grato aos governos brasileiro e português que, através da

CAPES e do ICCTI têm apoiado a mim e ao Professor Sérgio Proença da Escola de Engenha-

ria de São Carlos em um convênio internacional entre a Universidade de São Paulo e o Insti-

tuto Superior Técnico da Universidade Técnica de Lisboa. Este convênio tem financiado está-

gios a diversos alunos e professores de ambos os países. Em particular, agradeço ao Professor

Teixeira de Freitas que tão bem tem-me acolhido em Lisboa. Nestes estágios tive a paz neces-

sária para preparar esta revisão.

Paulo de Mattos Pimenta

Hannover, Stuttgart, Lisboa e São Paulo, fevereiro de 2006

iii

Índice

Prefácio i

viii

As Estruturas da

Engenharia

1 Sólidos e estruturas

Como este texto trata de sólidos e de estruturas, é necessário primeiramente introduzir preliminar-

mente alguns conceitos e definições. Sólidos 1 , em oposição aos fluidos, são conjuntos conexos de

material que possuem forma definida quando não são submetidos à ação de nenhum esforço exter-

no.

Sólidos na Mecânica dos Meios Contínuos são considerados um conjunto contínuo de pontos mate-

riais que podem ser identificados pela posição que ocupam no espaço físico tridimensional. Sólidos

são considerados rígidos quando a distância relativa entre quaisquer dois de seus pontos materiais

não se altera no tempo. Caso contrário são chamados deformáveis.

Sólidos são considerados uma estrutura quando têm a função de transmitir ou resistir à ação de es-

forços externos. Para isso é necessário que tenham também mantenham uma forma definida quando

submetidos à ação dos esforços externos para os quais devam ser funcionais. Uma estrutura é por-

tanto um sólido com uma função mecânica. Estruturas podem ser projetadas e construídas para que

tenham a função desejada. Este é o objetivo principal da Engenharia Estrutural. Existem estruturas

em todas as construções civis, assim como nas máquinas, sejam elas guindastes, automóveis, avi-

ões, foguetes, navios ou submarinos. Existem estruturas naturais, como a formada pelo esqueleto e

músculos dos corpos dos mamíferos.

A Mecânica dos Meios Contínuos é a parte da física que trata de sólidos e fluidos, quando são con-

siderados um conjunto contínuo de pontos materiais que podem ser identificados pela posição que

ocupam no espaço físico tridimensional. Mecânica dos Sólidos é a parte da Física que trata tanto

dos sólidos rígidos como dos deformáveis. A Mecânica dos Sólidos trata também de sistemas for-

mados por sólidos, como uma máquina. A Mecânica dos Sólidos Deformáveis é a parte da Mecâni-

ca dos Meios Contínuos que trata apenas dos sólidos deformáveis. A Mecânica das Estruturas é a

parte da Mecânica dos Sólidos Deformáveis que trata especificamente das estruturas.

(^1) Quando definições são feitas ao longo do texto, coloca-se o conceito definido em itálico.

Os romanos levaram a técnica dos arcos e das abóbadas ao um grande florescimento com a constru-

ção de pontes e aquedutos assim como com a cobertura de grandes espaços, atingindo vãos que só

foram alcançados novamente na Renascença, muitos séculos depois. Na Figura 1.2a vê-se o aquedu-

to romano de Pont du Gard na Provença, exemplo muito bem conservado da técnica romana com os

arcos de alvenaria. Ao lado, na Figura 1.2b está um dos mais belos exemplos de abóbada da Anti-

güidade: o Panteão de Roma (diâmetro de 40 m).

Na Figura 1.3 vê-se a primeira tentativa de se utilizar a mesma técnica na Renascença: a cúpula da

Catedral de Florença, projeto de Bruneleschi

2

em 1420 (diâmetro de 42 m). A habilidade dos alve-

neiros (hoje, pedreiros) atingiu um máximo, tanto no aproveitamento dos materiais como na forma

arquitetônica, na construção das catedrais góticas européias, sejam elas em pedra natural como as

francesas e as do centro-sul da Alemanha, assim como as executadas em tijolos cerâmicos do norte

da Alemanha.

Figura 1.3: Cúpula da Catedral de Florença

A construção em alvenaria é ainda hoje muito importante, principalmente em obras residenciais. No

entanto, ela perdeu parte de sua significância após o desenvolvimento de novos materiais de cons-

trução como o aço e o concreto. A baixa resistência à tração da alvenaria limita o seu uso a paredes

e muros sujeitos a pouca solicitação de flexão, ou ao uso de arcos e cúpulas. Edifícios residenciais

de vários pavimentos com paredes estruturais de alvenaria, armadas ou não, complementados por

elementos estruturais de concreto armado como lajes e travamentos, podem ser uma opção em paí-

ses em desenvolvimento, nos quais a mão de obra é ainda relativamente barata. Já em países com

níveis salariais mais altos, a construção em alvenaria concentra-se em obras residenciais de pequeno

porte.

Existem alguns desenvolvimentos modernos em materiais para obras de alvenaria, principalmente

com o desenvolvimento de blocos leves, inclusive de materiais artificiais derivados do petróleo, e

de blocos de alto desempenho.

2.1.2 Estruturas de madeira

A execução artesanal de estruturas de vigas de madeira desenvolveu-se desde cedo tanto na China e,

depois, na Idade Média Européia, seja em coberturas, seja em pontes, conforme se podem ver nas

Figura 1.4a e na Figura 1.5. No entanto, a construção de estruturas de madeira passou a ser um as-

sunto propriamente da Engenharia somente após a Revolução Industrial. Em particular, nos Estados

(^2) Filippo Bruneleschi (1377-1446).

Unidos e na Europa Central, países ricos em florestas, inúmeras pontes ferroviárias foram erguidas

no século XIX, que posteriormente foram todas substituídas por pontes metálicas.

Figura 1.4: Estruturas em madeira

a) Igreja em Saalfeld (séc.XIII); b) Balneário de Bad Dürrheim (1985-1987)

Figura 1.5: Ponte em madeira sobre o Rio Reno em Schaffhausen

Projeto com 2 vãos de 60 m de J. U. Grubenmann (1756)

Uma inovação recente nas estruturas de madeira são as vigas de madeira colada que possibilitam a

construção de vigas curvas de grande vão (Figura 1.4b e Figura 1.6). Contribuiu, para isso, também

o desenvolvimento de diversos tipos de ligações metálicas que muito simplificaram estas constru-

ções e lhes deram um caráter de estruturas metálicas.

ro fundido, que são muito frágeis quando submetidos a compressão, eram ligados por encaixes e

molas ou com chapas de aço forjado.

Figura 1.8: Ponte de ferro fundido em Laasan, Silésia

Além das pontes em arco, a partir de 1825, com a construção acelerada das estradas de ferro, foram

executadas inúmeras pontes em treliça em diversos esquemas. Este sistema estrutural atingiu seu

apogeu com a ponte sobre o Firth of Forth (Figura 1.9), próxima a Edimburgo, com o vão principal

de 521 m, construída em 1883-1890.

Figura 1.9: Ponte sobre o Firth of Forth, Escócia

Paralelamente ao desenvolvimento da tecnologia do aço, a compreensão de forma racional do com-

portamento das estruturas foi um fator importantíssimo para o rápido desenvolvimento da Engenha-

ria de Estruturas no século XIX. A partir de meados do século XIX, as estruturas passam a serem

concebidas não mais artesanalmente e suas formas não mais determinadas por proporções, mas sim

por sua capacidade portante calculada a partir de fundamentos científicos e de resultados de ensaios.

Baseados na Mecânica, e com o auxílio de resultados experimentais, Hooke (1635-1703), Belidor

(1693-1761), Bernoulli (1700-1782), Coulomb (1736-1806) e outros haviam estabelecido os fun-

damentos da Estática. Navier (1735-1806) ordenou em 1821 este conhecimento, resumindo-o e

complementando-o em suas preleções na "École des Ponts et Chaussées", transformando-o em um

conhecimento prático, ou, como hoje denominamos, em tecnologia. Em 1858 aparecia uma outra

obra importantíssima, denominada “Manual of Applied Mechanics” do engenheiro escocês William

Rankine (1820-1872). Contribuições importantes vieram também do alemão Karl Culmann (1821-

1881) com a Grafostática, hoje desnecessária depois dos computadores, e do físico escocês James

Clerk Maxwell (1831-1879) e do italiano Carlo Alberto Castigliano (1847-1884) com os teoremas

de energia de deformação. A exemplo de Maxwell, outros físicos e matemáticos também se ocupa-

ram dos fundamentos da Mecânica dos Sólidos no século XIX, como Lagrange (1763-1813), Young

(1773-1829), Poisson (1781-1840), Cauchy (1789-1857) e Kirchhoff (1824-1887). O matemático

August Ritter (1826-1908), da escola Politécnica de Hannover (hoje Universidade de Hannover),

viabilizou, na segunda metade do século XIX, métodos de análise para as já mencionadas pontes em

treliças metálicas 3. Sua cadeira existe até hoje com o nome de Mecânica das Construções Civis e

Computacional. Por outro lado, no final do século XIX, contribuições mais técnicas vieram de en-

genheiros alemães como Engesser (1848–1931), Mohr (1835-1918), Müller-Breslau (1851-1925) e

Wöhler (1819-1914), levando à formação da disciplina denominada na época de Resistência dos

Materiais. A premissa básica da Resistência dos Materiais era que a determinação das tensões nas

estruturas era suficiente para um bom dimensionamento.

A "École des Ponts et Chaussées" havia sido fundada em 1747 para a formação científica dos ofici-

ais do exército francês, que também se ocupavam da construção pelo estado francês de pontes e

obras enterradas. Cabe aqui comentar que, desde o Império Romano até o século XVIII, a profissão

de engenheiro estava ligada à atividade militar, sendo muitas vezes considerada uma das armas do

exército e da marinha. A construção, hoje dita civil, era tocada basicamente por artesãos e arquite-

tos, cabendo aos engenheiros a tarefa de construir fortificações e pontes. É também interessante

comentar que a palavra engenheiro vem do latim “ingenium”, através do francês antigo “ingenieu-

re”, significando fazer com o espírito, ou seja, fazer com razão e habilidade, enquanto que a palavra

arquiteto vem do grego “architekton”, significando operário-chefe, ou mestre-de-obras.

Em 1775, é fundada a "École Polytechnique“ de Paris, a qual, embora seja uma escola militar, passa

também a formar Engenheiros Civis, tornando-se paradigma para diversas escolas técnicas em todo

o mundo. Logo após, em Troy, Nova York, é fundada a primeira Escola Politécnica do continente

americano. A partir do início do século XIX, elas se espalham por toda a Europa.

A primeira escola de engenharia brasileira é fundada no Rio de Janeiro em 1810, por D. João VI,

com o nome de Academia Real Militar. Dela é desmembrada, em 1874, a famosa Escola Politécnica

do Rio de Janeiro, “alma mater” das Escolas de Engenharia do Brasil e que foi instrumento impor-

tantíssimo para mitigar o bacharelismo vigente até então nos centros de poder brasileiros. Ela foi

inspiração para a fundação da Escola de Minas de Ouro Preto em 1876, das Escolas Politécnicas da

Bahia (1887) e de São Paulo (1893), do Mackenzie College em São Paulo (1896) e das Escolas de

Engenharia do Recife (1896) e de Porto Alegre (1897). Adotando diversos nomes no decorrer do

século XX, acabou por ser incorporada à Universidade Federal do Rio de Janeiro.

A primeira Escola Politécnica alemã (Polytechnikum) é fundada em 1825 em Karlsruhe, tendo tam-

bém a co-irmã de Paris como inspiração. Da mesma época é a Escola Politécnica de Zurique, na

Suíça, hoje conhecida como ETH (Eidgenössische Technische Hochschule Zürich). Estas duas‚

serviram de modelo a Francisco de Paula Souza na fundação da Escola Politécnica de São Paulo em

1893, o que muito contribuiu para a industrialização da cidade. Em 1934, a Escola Politécnica de

São Paulo foi incorporada à recém criada Universidade de São Paulo.

Na Alemanha, as Escolas Politécnicas mais importantes, como a de Stuttgart, passaram a ter a de-

nominação de Escolas Técnicas Superiores (TH), deixando o termo escola politécnica para escolas

técnicas de menor importância. A partir da década de 50, muitas das Escolas Técnicas Superiores

passaram a ser denominadas Universidades Técnicas ou, simplesmente, Universidades.

(^3) A. Ritter, “Elementare Theorie und Berechnung eiserner Dach-und Brücken-Konstruktionen”, Rümpler, Hannover,

Figura 1.12: Pontes Pênseis do século XX

Verrazano Narrows, Nova York (1964); b) Ponte Akashi-Kaikyo (1990)

Hoje, planeja-se a superação dos estreitos de Messina (3 km) e de Gibraltar (11 km) por meio de

pontes que combinam cabos estaiados com cabos pênseis.

Figura 1.13: Ponte 25 de Abril sobre o Tejo em Lisboa (1972)

Na tabela a seguir expõem-se alguns dados sobre pontes suspensas que podem ser de interesse.

data Ponte suspensa Vão principal (m)

1796 Primeira ponte suspensa moderna (correntes) de J. Finley 21 1816-26 Ponte de correntes no Estreito de Menai de Th. Telford 127 1816 Primeira ponte pênsil nos EUA 124 1832-34 Grand Pont de Friburgo, Suíça, de J. Chaley 273 1870-83 Brooklyn Bridge em Nova Iorque de J. A. & W. A. Roebling 486 1929-32 George Washington Bridge em Nova Iorque de O. H. Ammann 1067 1933-35 Golden Gate Bridge em São Francisco de J. B. Strauss 1280 1964 Verrazano Narrows em Nova York 1660 1993-98 Ponte Akashi-Kaikyo no Japão 1990 planejada Ponte sobre o Estreito de Messina 3300 planejada Ponte sobre o Estreito de Gibraltar 3 x 3500

Figura 1.14: Ponte de Stromsund

Desde 1950, vãos médios a moderadamente grandes passaram a ser vencidos por pontes suspensas

por cabos retos (pontes estaiadas). Em 1955 a primeira ponte moderna deste tipo foi executada na

Suécia (Figura 1.14) pelo eminente engenheiro alemão Dischinger (1887-1953). Em 1957 foi exe-

cutada a ponte estaiada sobre o Reno, ao norte de Düsseldorf, com um vão principal de 260 m. Em

1995 foi erguida a Ponte da Normandia no Havre com 865 m de vão principal. A primeira ponte

estaiada brasileira é executada em 2000 sobre o Rio Pinheiros, em São Paulo, e contém uma estação

do trem metropolitano.

As primeiras pontes em viga de alma cheia, a ponte de Conway (122 m), mostrada na Figura 1.15a

e a Ponte Britannia (140 m), foram completadas por W. Fairbairn e R. Stephenson em 1847 e 1850,

respectivamente. Elas foram percussoras das pontes de seção celular que se tornaram, nas últimas

décadas, o tipo padrão de pontes de aço e de concreto protendido (Figura 1.15b) em todo o mundo.

Figura 1.15: Pontes em viga caixão

a) Ponte de Conway (1847); b) Ponte de Twinberg, Áustria, (1987)

Muitas pontes expressivas, várias delas suspensas, ruíram por ruptura frágil, por fadiga dos materi-

ais, por flambagem de elementos estruturais insuficientemente enrijecidos, por ressonância causada

pela marcha de soldados, por instabilidade aerodinâmica (Figura 1.16) ou por outros fenômenos

subestimados. Estes fracassos levaram invariavelmente a uma intensificação da atividade de pesqui-

sa e, posteriormente, a um maior desenvolvimento tecnológico.